人教版高中数学之高三(理科数学)测试卷(含解析)

高中第一学期期末联考高三理科数学注意事项：本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。2.用黑色中性笔在答题卡上作答，在试卷上作答一律无效。第Ⅰ卷选择题.（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，，则（）或2.复数，则的模等于（）3.已知向量，若∥，则实数的值分别为（）4.在中，，则（）5.双曲线的实轴长为（）6.等差数列的前项和为，若则（）7.已知实数满足，则的取值范围是（）8.正四面体中，是的中点，则直线与所成角的正切值为（）9.已知,由程序框图输出的S=（）A．0 B． C．1 D．10.下列四个结论中正确的有（）①△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B；②命题“”的否定是“”；③棱长为3的正方体外接球的表面积为；④抛物线的焦点到直线的距离为.个个个个11.过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,若是弦的中点,则椭圆的离心率等于（）若定义在上的偶函数满足，且当时，如果函数恰有8个零点，则实数的值为（）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题.（每小题5分，共20分）的展开式中的系数为__________________.14.是圆的内接正三角形,随机在圆中撒一把豆子,则豆子落到内的概率为__________________.已知数列满足：，当时，，则______________(结果保留三位有效数字).16.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围为__________________.三、解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(本小题12分)已知向量，函数.（Ⅰ）求的最小正周期及最大值；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间.18.(本小题12分)某中学是走读中学，为了让学生有效利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便学生在自习室自主学习，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（Ⅱ）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19.(本小题12分)如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅱ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由.20.(本小题12分)已知椭圆的两个焦点为、，离心率为，直线与椭圆相交于A、B两点，且满足，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：的面积为定值．21.(本小题12分)已知满足.（Ⅰ）求;（Ⅱ）求的单调区间;（Ⅲ）若,求的最大值.请考生从第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题10分)在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴,建立极坐标系.圆与直线交于两点，已知圆与直线的极坐标方程分别为：，.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）设是线段的中点，直线的参数方程为（为参数），求的值.23.(本小题10分)已知函数,.（Ⅰ）当时,求不等式的解集;（Ⅱ）设,且当时,,求的取值范围.高中第一学期期末联考高三理科数学参考答案2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.-72014.15.16.17.解：（Ⅰ）∵∴，......................6分（Ⅱ）向左平移个单位得，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得.,即.所以的单调增区间为................12分18.解：（Ⅰ）由2×2列联表，计算K2的观测值为k==＞7.879，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；...................6分（Ⅱ）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A、B、C；从第二次月考数学非优良成绩中抽取×5=2个，记为d、e；则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有AB、AC、BC、de共4个，故所求的概率为P==．.....................12分19.（Ⅰ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1所以MN∥平面ABB1A1．...................6分（Ⅱ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．所以A1B⊥QN．同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．................12分20.解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，∴a=，c=2，∴b2=4，∴椭圆方程为：；.................5分（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，...............8分∵∴，∴，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∴，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则====，∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，或有A（-2，），B（-2，），d=2S△OAB=．即△OAB的面积为定值2．.................12分解:（Ⅰ）由已知得所以，即.又,所以..............4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,.由于,故当时,;当时,.从而,在上单调递减,在上单调递增.................8分（Ⅲ）由已知条件得.若,则对任意常数,当,且时,可得,因此式不成立.(ii)若,式恒成立时,,此时.(iii)若,设,则.当时,;当时,.从而在上单调递减,在上单调递增.故有最小值.所以等价于.因此.设,则.所以在上单调递增,在上单调递减,故在处取得最大值.从而,即.当时,式成立,故.综合得,的最大值为................12分解:（Ⅰ）圆的直角坐标方程为,圆心,.直线的直角坐标方程为.解,得..................5分另解:圆心到直