三角形的证明 教学设计

第一章三角形的证明1.1等腰三角形（一）一、问题引入：1.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤2.列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角.（3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等.（5）公理：的两个三角形全等.（6）公理：全等三角形的对应边，对应角.注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1.利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2.议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理及定理证明这些结论吗？三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1.如图，已知：∥，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B;B.BF=CE;C.AE∥DF;D.AE=DF.2.如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.4.△ABC中，AB=AC,且BD=BC=AD，求∠A的度数.5.如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DG⊥CE,G是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.1.1等腰三角形（二）一、问题引入：1.在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理：.问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.二、基础训练；1.请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？2.我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理：；简称：.3.请同学们阅读课本“想一想”，这一结论成立吗？你能证明吗？若不会证明，请看课本小明是怎样证明的，这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？若不同应称为什么方法？三、例题展示：如图，△ABC中，D.E分别是AC.AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1.已知：如图，在△ABC中，则图中等腰直角三角形共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个第3题第2题第3题第2题第4题第1题第4题第1题2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D.E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424.在△ABC中，AB=AC,∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.5.如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.6.中考真题：同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例.1.1等腰三角形（三）一、问题引入：1.已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.2.有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.三、例题展示：1.等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高.2.判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3.证明三个角都相等的三角形是等边三角形.四、课堂检测1.等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.2.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，CD⊥AB，BD=1，则AB=.3.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC=.4.如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A=.5.在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.1.2直角三角形（一）一、问题引入：1.说出你知道的勾股数2.勾股定理的内容是：_____________________________;它的条件是：______________________________________;结论是：__________________________________________.3.将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：下面试着将上述命题证明：已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2求证：△ABC是直角三角形.得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形.二、基础训练：观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.（3）三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________.三、例题展示：1.判断A．每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理.（）B．命题正确时其逆命题也正确.（）C．角三角形两边分别是3，4，则第三边为5.（）2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17②4，5，6③7，5.4，8.5④24，25，7⑤5，8，10A：①②④B：②④⑤C：①③⑤D：①③④四、课堂检测:1.以下命题的逆命题属于假命题的是（）A.两底角相等的两个三角形是等腰三角形.B.全等三角形的对应角相等.C.两直线平行，内对角相等.D.直角三角形两锐角互等.2.命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为.4.已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.5.台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆原长16M，则旗杆在距底部几米处断裂.6.小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米.中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？1.2直角三角形（二）一、问题引入：1.直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2.问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论.问题2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？不妨动手做一做，并证明你的作法的正确性.二、基础训练:1.（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.2.D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，求证BF=CE[解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED三、例题展示：1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）A.两条直角边对应相等的两个直角三角形.B.两条锐角边对应相等的两个直角三角形.C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17②4，5，6③7.5，4.8，5④24，25，7⑤5，8，10A.①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④3.下列命题中，假命题是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形.B．三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形.C．三边长之比为的三角形是直角三角形.D．三边长之比为的三角形是直角三角形.四、课堂检测:1.下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等.（4）有两条边相等的两个直角三角形全等.（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等.A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列说法中错误的是（）A.直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边.B.等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.C.直角三角形中每条直角边都小于斜边.D.等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为3.以下列各组为边长，能组成直角三角形的是（）A.8，15，17B.4，5，6C.5，8，10D.8，39，404.命题：若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________.5.AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C｀的位置，则BC`与BC之间的数量关系是____________.6.四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积________.1.3线段的垂直平分线（一）一、问题引入：1.什么是线段的垂直平分线？2.你会画线段的垂直平分线？3.“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.做一做：阅读P25做一做，然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明为什么CD是线段AB的垂直平分线？AB反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？三、例题展示：例：如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB.BC延长线于F.E求证：（1）∠EAD=∠EDA;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B四、课堂检测:1.已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上.2.已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=.第5题第4题第1题第5题第4题第1题3.△ABC中，∠A=500，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数.4.△ABC中，DE.FG分别是边AB.AC垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=.5.如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AB，则△BCD的周长是.6.有特大城市A及两个小城市B.C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C1.3线段的垂直平分线（二）一、问题引入：1.等腰三角形的顶点一定在上.2.在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.3.在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC=.4.已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.AB二、基础训练：1.三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？剪一个三角形纸片，通过折叠观察一下，并与同桌交流.2.上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.三、例题展示：如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB的度数；如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB的度数.你发现了什么规律？请证明；如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A.三角形三条角平分线的交点；B.三角形三条垂直平分线的交点；C.三角形三条中线的交点；D.三角形三条高的交点.2.已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.不能确定3.等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.4.已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.ab中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900,∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1.角平分线的定义：______________________________________2.问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.四、课堂检测1.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PEB：OD=OEC：∠DPO=∠EPOD：PD=OD如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFGB:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFGD:△BDE≌△CDF3.△ABC中,∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4.与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6.在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7.如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.4角平分线（二）一、问题引入：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什