2021年4月自学考试04184线性代数（经管类）试题答案

全国2021年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。1、已知4阶行列式的某一行元素及其余子式都为，则（A）A、0 B、C、 D、【解析】在中划去元素所在的第行和第列后剩下的行和列元素，按原来的相对顺序组成一个阶行列式，记为，即，称为元素的余子式。所以题目中4阶行列式的某一行元素及其余子式都为，即余子式为，可得由行列式的性质3推论可得，行列式中有两行相同，此行列式的值等于零，故.2、设3阶矩阵可逆，则（A）A、 B、C、 D、【解析】伴随矩阵行列式由逆矩阵公式可得把看成一个整体则两边同时左乘可得即所以。3、设向量长度依次为2和3，则向量与的内积（D）A、13 B、6C、5 D、－5【解析】根据向量长度的定义：，则，由向量内积的性质可得：4、齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是矩阵的（B）A、列向量组线性相关 B、列向量组线性无关C、行向量组线性相关 D、行向量组线性无关【解析】设矩阵齐次线性方程组仅有零解，即相当于当且仅当时成立，其中为的列向量组所以的列向量组线性无关。5、设矩阵，则与的关系为（C）A、相似但不合同 B、合同但不相似C、合同且相似 D、不合同也不相似【解析】矩阵的特征值为求矩阵的特征值：解得：由于矩阵与都是对称矩阵，且特征值相同，所以矩阵与相似。（教材第184页）将矩阵化为二次型化为标准型为可得正惯性指数为1矩阵的正惯性指数为1且矩阵与都有相同的秩故矩阵与合同。（对称矩阵与合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数）二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。6、设行列式中元素的代数余子式为，则_____.解：0【解析】由代数余子式的公式，（为元素的余子式）可得，所以7、设3阶矩阵满足，则_____.解：36【解析】由方阵行列式的性质2可得：由方阵行列式的性质3可得：又因为矩阵的逆的行列式为行列式的逆：故8、设向量与正交，则数_____.解：2【解析】由向量正交的定义得即解得9、设矩阵，则_____.解：【解析】10、设矩阵，则_____.解：【解析】，由逆矩阵公式可得11、设是3阶非零矩阵，，且，则_____.解：1【解析】满足，当且仅当的列向量组都是的解设，则方程组最多有个线性无关的解，所以且，所以，又因为是3阶非零矩阵，所以12、设向量组，，，若存在不全为零的常数，使得，则数_____.解：32【解析】由题可知向量组线性相关，根据个维列向量线性无关由此可得线性相关必有故，解得13、设3阶矩阵的各行元素之和均为0，，齐次线性方程组通解为_____.解：，为任意常数【解析】由3阶矩阵的各行元素之和均为0，可得：，所以向量是它的一个基础解系。又由于的基础解系中的解向量个数为故齐次线性方程组通解为，为任意常数。14、若矩阵满足，则必有一个特征值为_____.解：【解析】假设有一个特征值为，则必存在某个维非零列向量满足：为方程组的非零解，则为阶方阵，有为阶方阵题目已知，由行列式性质得解得15、设二次型正定，则的取值范围为_____.解：【解析】由题可得二次型矩阵为正定二次型，即的所有顺序主子式，解得：，解得：综上，有：三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。16、计算4阶行列式.解：（4分）（9分）【解析】17、己知向量，求（1）；（2）.解：（1）（5分）（2）（9分）【解析】（1）（2）由于18、已知矩阵，矩阵满足关系式，求.解：由可得由，故可逆.从而（5分）故（9分）【解析】由可得由，由阶矩阵为可逆矩阵，故可逆.两边同时左乘得：由逆矩阵公式可得故19、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组表出.解：对矩阵进行初等行变换，（6分）所以向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，（9分）（答案不惟一）【解析】构造矩阵所以向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，20、设线性方程组当为何值时，方程组无解？有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对增广矩阵做初等行变换：（4分）（1）当时，，，，方程组无解。（6分）（2）当时，，方程组有无穷多解。故非齐次线性方程组的通解为，为任意常数（9分）【解析】对非齐次线性方程组的增广矩阵做初等行变换：（1）当时，，，，方程组无解。（2）当时，，方程组有无穷多解。即得同解方程组为令得一组特解：导出组的同解方程组：当和时，得一组基础解系：，故非齐次线性方程组的通解为，为任意常数。21、求矩阵的特征值与特征向量.解：由得的特征值为，（4分）当时，解齐次线性方程组得基础解系，对应的全部特征向量，是不全为零的任意常数。（7分）当时，解齐次线性方程组，得基础解系，对应的全部特征向量，为非零任意常数。（9分）【解析】的特征方程为，即解得：，当时，求解齐次线性方程组即：对系数矩阵做初等行变换，有：同解齐次线性方程组为：令和得基础解系，对应的全部特征向量，是不全为零的任意常数。当时，求解齐次线性方程组即，同解齐次线性方程组为：令得基础解系，对应的全部特征向量，为非零任意常数。22、已知二次型经正交变换化为标准形，求正交矩阵.解：二次型矩阵，有题设知，特征值为（4分）当时，对应的特征向量，单位化得，当时，对应的线性无关特征向量，，正交化、单位化得，（7分）所求正交矩阵为（9分）【解析】所以二次型的矩阵，有特征方程，即：由题已知标准形所以特征值为当时，有对应的特征向量，单位化得，当时，有对应的线性无关特征向量，，正交