人教版七年级数学上册第四章几何图形初步

4.1几何图形第四章几何图形初步第1课时认识立体图形与平面图形4.1.1立体图形与平面图形学习目标1.能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的区别.（难点）2.会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别棱锥与棱柱.(重点）埃及金字塔东方明珠

从城市建筑到乡村住宅,从立交桥到交通标志,从剪纸艺术到城市雕塑,从申奥标志到动物形态……图形世界是多姿多彩的!

物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容．将它做出来展示给大家！！！小组寻找常见几何图形的实物！你能从实物抽象出你熟悉的几何图形吗？它有哪些特点？找一找：试一试：想一想：分组探究小组汇报长方体特点小组汇报

正方体特点小组汇报圆柱体特点小组汇报圆锥体特点小组汇报球体特点小组汇报棱柱体特点小组汇报棱锥体特点小组汇报展示作品三角形长方形（矩形）正方形梯形圆形五边形六边形····点线段类似地观察罐头、足球或篮球的外形，可以得圆柱、球、圆等.长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学过的三角形、四边形等，都是从物体外形中得出的.

从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.你觉得几何图形可以分为哪几类？为什么？

有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.

有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.

三棱柱四棱锥六棱柱你能再举出一些棱柱、棱锥的实例吗？探究1：认识一下棱柱和棱锥正方体球六棱柱圆锥长方体四棱锥1.图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.思考2.如图，说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形.

下面各图中包含哪些简单的平面图形？请再举出一些平面图形的例子.探究二：1.图中的各立体图形的表面包含哪些平面图形?试指出这些平面图形在立体图形中的位置.虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某些部分是平面图形。练习2.如图,你能看到哪些立体图形?3.如图,你能看到哪些平面图形?

(第2题)(第3题)用“”构造图形好朋友吊环落日余晖眼镜拓展应用能说出你这节课的收获和体验与大家一起分享！4.1.1立体图形与平面图形第2课时从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图4.1几何图形第四章图形初步认识学习目标1.

了解立体图形与平面图形之间的联系.2.

能画出简单立体图形从不同方向看得到的平面图形.(重点、难点)3.

了解研究立体图形的方法，体会一个立体图形按照不同方式展开可得到不同的平面展开图.4.

通过展开与折叠，了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、长方体、正方体的表面展开图或根据展开图判断立体图形.(重点、难点)猜猜他们是什么关系？导入新课别忘了从不同方向看。

对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理.从不同方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形.在建筑、工程等设计中,也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形.

这是一个工件的立体图,设计师们常常画出从不同方向看它得到的平面图形来表示它.我们把从正面看到的图形叫做主视图,从左面看到的图形叫左视图,从上面看到的图形叫做俯视图.主视图,左视图,俯视图合称三视图.三视图正方体的三视图都是正方形正方体主视图左视图俯视图圆柱圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆。主视图左视图俯视图四棱锥四棱锥的三视图下图主视图左视图俯视图

说出圆锥、球的三视图各是什么图形.说一说画一画主视方向主视图左视图俯视图

一个长方体的立体图如图所示,请画它的三视图.解:所求三视图如图注意：要写上各视图的名称几何体主视图左视图俯视图归纳总结几何体主视图左视图俯视图·

正面

左面

上面

探究：右图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？从上面看从左面看从正面看主视图左视图俯视图分别画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图。练一练

有些立体图形是有一些平面图形围成的，将他们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图展开圆柱探究常见的立体图形的展开图：展开长方体展开棱柱展开圆锥将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形动手做一做

一四一型二三一型二二二型三三型正方体的展开图有11种基本情况：

1.分别从正面、左面、上面观察下面的立体图形，各能得到什么平面图形？

立体图形

正面

左面

上面练习2.将正确答案的序号填在横线上：圆柱的展开图是———；圆锥的展开图是————；三棱柱的展开图是____.(4)(6)(3)3.下列图形能折叠成什么图形？圆柱

五棱柱圆锥三棱柱4.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后,与有“建”字的一面相对的那一面上的字是（）.（A）和（B）谐（C）社（D）会D

c建设和谐社会1.学会了简单立体图形从不同方向看得到的平面图形.（三视图）2.学会了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、长方体、正方体的表面展开图或根据展开图判断立体图形.本节课你学会了什么？4.1.2点、线、面、体第四章几何图形初步4.1几何图形学习目标1.

知道点、线、面、体是构成几何图形的元素.进一步认识点、线、面、体的几何特征.(重点)2.

知道点、线、面、体之间的关系.(难点)球体图中有哪些你熟悉的立体图形？长方体圆柱正方体象上面学过的长方体、正方体、圆柱、球、圆锥等这些立体图形，我们称之为几何体，简称为体。常见的立体图形包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种长方体正方体圆柱圆锥球棱柱棱锥你能举出一些平面与曲面的例子吗？面平面曲面平面曲面平面曲面曲面平面曲面平面曲面面数学中的平面是无厚薄（1）通过对以上物体或情景观察,你看到的面有什么不同点？下图是一个长方体的模型，面和面相交的地方形成了几条线？12条线面和面相交的地方是线。生活中有很多事物都给我们以线的形象比如面与面相交的地方形成线面与面相交的地方形成线面与面相交的地方形成线线：直线和曲线几何中的线没有粗细下图是一个长方体的模型，线和线相交成几个点？8个点········生活中有很多事物都给我们以点的形象比如线和线相交的地方是点。深邃的太空总给人遐想把夜空中的星星看作点.点地图上的城市看作点注意：数学上的点没有大小。点线面体

——线与线相交而成——面与面相交而成——包围着体的部分——物体的图形平面几何图形立体图形三角形点线段圆•••棱柱•••圆柱棱锥圆锥几何图形知识小结（几何中的点无大小）（几何中的线无粗细）（几何中的面无厚薄）·································点动成线探究点动成线点动成线点动成线线动成面线动成面线动成面线动成面线动成面面动成体三角形绕一边旋转成圆锥体长方形绕一边旋转成圆柱体面动成体点动成——线动成——面动成——线面体体是由面组成面与面相交成线线与线相交成点点，线，面，体关系连一连请将下列的平面图形和将它如图绕虚线旋转一周后得到的几何体连线.1.

围成圆柱体的面有()A.1个B.2个C.3个D.多于3个2.

下列说法：①平面上的线都是直线；②曲面上的线都是曲线；③两条线相交只能得到一个交点；④两个面相交只能得到一条直线，不正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个CA练习3.

笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字这说明了__________；自行车车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了_________；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，这说明了_________.

4.

如图：三棱锥有__个面，它们相交形成了__条棱，这些棱相交形成了__个点.点动成线面动成体线动成面4645、如图，把上面第一行的平面图形绕线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，请用虚线连一连：

1 23 45A B C DE6.长为4cm，宽为2cm的长方形，绕其一边进行旋转得到一几何体.(1)这个几何体是什么？(2)这个几何体的表面积是多少？(3)这个几何体的体积是多少？答案：圆柱.答案：(16+16)cm2

或(16+8)cm2.答案：16cm3

或32cm3.几何图形交成点面体线动成交成动成围成动成构成图形的基本元素无大小直线曲线无粗细平面曲面无厚薄物体的图形这节课你学到了什么？4.2直线、射线、线段第四章几何图形初步第1课时直线、射线、线段学习目标1.

掌握“两点确定一条直线”的基本事实，了解点和直线的位置关系.2.

进一步认识直线、射线、线段，会用正确的方法表示直线、射线、线段.(重点)3.理解直线、射线、线段的区别与联系.(难点)运动场爬竿跑道线输油管探照灯光

我们在小学已经学过线段、射线和直线，它们可以分别和图中的哪个事物相对应？结合图片你能回忆起线段、射线和直线的哪些特征？思考：过一点O可以画几条直线？过两点A，B可以画几条直线？动手试一试经过两点有一条直线，并且只有一条直线.经过思考和画图，我们可以得出一个基本事实简述为：两点确定一条直线.·O·A·Ｂ两点确定一条直线可以用来说明生活中的现象1.

建筑工人砌墙时，会在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参考线.应用举例：2.

植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上.要点归纳：表示直线的方法①用一个小写字母表示，如直线;②用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可交换顺序.ABl直线m、直线AB、直线BA

一、如图，有哪些方法可以表示下列直线？二、观察下图，说一说点和直线有哪些位置关系.OPl如图：点O在直线l上(直线l经过点O)，点P在直线l外(直线l不经过点P)ba三、

如图，直线a与直线b有什么位置关系？

交点O直线a

和b

相交于点O当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.

按下列语句画出图形：

(1)直线EF经过点C；(2)点A在直线l外.(2)AlCEF(1)解：画一画记作：射线OA(或射线d)OAd1.射线用它的端点和射线上的另一点来表示(表示端点的字母必须写在前面)或用一个小写字母表示思考：射线OA与射线AO有区别吗问题1、类比直线的表示方法，想一想射线该如何表示？

类比学习记作：线段a2.线段(1)用表示端点的两个大写字母表示(2)用一个小写字母表示aAB记作：线段AB(或线段BA)问题2

类比直线的表示方法，想一想线段该如何表示？

ABAB直线、射线、线段三者的联系：AB2.

将线段向两个方向无限延长就形成了直线.1.将线段向一个方向无限延长就形成了射线.3.

线段和射线都是直线的一部分.

想一想、怎样由一条线段得到一条射线或一条直线

直线、射线、线段三者的区别：类型线段射线直线端点个数2个不能延伸延伸性能否度量可度量1个向一个方向无限延伸不可度量无端点向两个方向无限延伸不可度量(2)CBAD按下列语句画出图形：(1)经过点O的三条线段a，b，c；(2)线段AB，CD相交于点B.解：(1)abcO画一画1、判断：（1）射线是直线的一部分。（）（2）线段是射线的一部分。（）（3）画一条射线，使它的长度为3cm。（）（4）线段AB和线段BA是同一条线段。（）（5）射线OP和射线PO是同一条射线。（）（6）如图，画一条线段ab。（）ab针对训练√√√×××2、用适当语句表述图中点与直线的关系A···BPlABCabc3.

如图，在平面上有四个点A，B，C，D

，根据下列语句画图：

(1)做射线BC；(2)连接线段AC，BD交于点F；(3)画直线AB，交线段DC的延长线于点E；

(4)连接线段AD，并将其反向延长.

EFABCD回顾一下，我想说…•直线、射线、线段的联系与区别。•直线、射线、线段的表示方法。•两点确定一条直线。数学知识:课堂小结•不同几何语言（文字语言、符号语言、图形语言）的相互转化。4.2直线、射线、线段第四章几何图形初步第2课时线段长短的比较与运算学习目标1.

会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.(重点)2.

理解线段等分点的意义.3.

能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.(重点、难点)4.

体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.5.

了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.(难点)知识回顾直线公理经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线。）直线、线段、射线的表示用两个大写字母表示；用一个小写字母表示。知识回顾直线的表示ABl直线AB直线l线段的表示ABa线段AB线段a射线的表示OA射线OAl射线l问题情境1、如何比较两个人的身高？我身高1.53米，比你高3厘米。我身高1.5米。目测法度量法：用一把尺子量出两个人的高度，再进行比较.目测法叠合法：两个人站在一起进行比较想一想怎么比较两条线段的长短呢？2、观察下列三组图形，你能看出每组图形中线段a与b的长短吗?abab(1)(3)你能判断吗?ab(2)和你判断的一样吗？比较两条线段大小（长短）的方法：目测法；直接观察，目测判断。（不准确，也不十分可靠，不建议采用）度量法；

用刻度尺分别量出线段a、线段b的长度，再比较线段a、线段b的长短（大小）。（近似值）叠合法。将一条线段放在另一条线段上，使它们的一个端点重合，观察另一个端点的位置关系。怎样作一条线段等于已知线段已知：线段a，作一条线段AB，使AB=a.第一步：用直尺画射线AC；第二步：用圆规在射线AC上截取

AB=a.∴线段AB为所求.aACaB

在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.探索新知方法一：先用刻度尺量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段AB。若没有刻度尺呢？作法：DCB试比较线段AB，CD的长短.(1)度量法；(2)叠合法

将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.(A)CDAB尺规作图练一练CD1.

若点A与点C重合，点B落在C，D之间，那么AB

CD.(A)B

＜叠合法结论：CDABB(A)2.

若点A与点C重合，点B与点D

，那么AB=CD.3.

若点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，那么AB

CD.重合＞BABACD(A)(B)已知：线段a、b。（如图）求作：线段AC，使AC=a+b。线段AD，使AD=a-ba··b··画一画

在直线上画出线段AB=a

，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是

与

的和，记作AC=

.如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是

与

的差，记作AD=

.

ABCDa+ba-babbaba+baba-b画一画a··b··如图，点B，C在线段AD上则AB+BC=____；

AD－CD=___；BC＝___－___=___－___.ABCDACACACABBDCD做一做

在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ABM探索新知ABM

如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.线段的三等分点线段的四等分点AaaMBM是线段AB的中点几何语言：∵M是线段AB的中点∴AM=MB=AB

(或AB=2AM=2MB)反之也成立：∵AM=MB=AB

(或AB=2AM=2AB)∴M是线段AB的中点随堂练习教材P131“练习”第1题

AB>ACAB=ACAB<AC2.

如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使

AB=2a－b.abAB2a－b2ab解：∵D是线段AB的中点，∵C是线段DB的中点，∴AD=DB=AB=×4=2(cm).∴CD=DB=×2=1(cm).3、如图点D是线段AB的中点，点C是线段CB的中点，若AB=4cm求：线段CD

的长是多少?ADBC

如图：从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.••AB思考：

经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.••AB你能举出这条性质在生活中的应用吗？简单说成：两点之间，线段最短.如图，AB+BC

AC，AC+BC

AB，AB+AC

BC(填“>”“<”或“=”).其中蕴含的数学道理是

＞两点之间线段最短练一练＞＞ABC2.

在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.CABl课堂小结线段长短的比较与运算线段长短的比较基本事实线段的和差度量法叠合法中点两点间的距离思想方法方程思想分类思想基本作图4.3角第四章几何图形初步4.3.1角学习目标1.

理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.(重点)2.

会正确使用量角器测量角的大小.3.

认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.(重点、难点)什么是角呢?生活中有许多与角有关的例子,我们先观察下列图片,看一看图片中哪些地方现出了角这个图形。然后我们一起来找一找，这些角都有什么共同的特点。

根据你的观察你能归纳出角的特点吗？用自己的话描述一下角是由什么组成的图形？两条射线公共端点角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.公共端点—角的顶点两条射线—角的边

(注意必须把顶点字母放在中间)用三个大写字母表示，如：∠AOB或∠BOA；ABO2.或用一个大写字母表示，如：∠O；思考：如图，还能把∠AOB记作∠O吗？为什么？当两个或两个以上的角共同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．COO角用“∠”表示，读做“角”。角的表示方法有下面四种方法：角的表示方法：3.

用一个数字表示，如∠1；4.

用小写希腊字母表示，如∠α.角的表示方法

用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.α1ABOC想一想：如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？始边终边O

AB(B)

平角周角角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.平角=180°周角=360°1.判断下列哪些图形是角

()()()()√×√√2、说出下列各图中角的顶点和角的两边.ABOABC(1)(2)3.下列说法正确的是()A.平角是一条直线B.一条射线是一个周角C.两条射线组成的图形叫做角D.两边成一直线的角是平角D接下来同学们思考一个问题

前面我们认识了平角、周角，它们都是以度为单位的，那还有没有比度还小的单位呢？

我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.1周角＝

°；1平角＝

°.3601801°＝

′；1′＝

″.6060以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制。除此以外还有其他度量角的单位制，例如以后我们将学到的弧度制和在军事上常见的密位制等。借助三角尺，我们可以画30°，15°，60°，90°等特殊角，借助量角器我们可以画出任何给定度数的角。例1：35°＝

′＝

″；36″＝

′=

°

21001260000.60.01转化方法：由高级单位向低级单位转化时乘以进率；由低级单位向高级单位转化时除以进率，并逐级进行。例2：38°15′和38.15°相等吗？如不相等，请说明它们的大小关系.解：∵38°15′=38.25°，∴38°15′＞38.15°.你还有别的方法吗？拓广探索在钟表里，分针每走一小格表示多少度，时针每走一大格表示多少度。6时整时针与分针构成多少度的角？时钟显示为10：10时，时针与分针所夹角度是多少度？时针每小时旋转的夹角360°÷12=30°，故10分钟，时针旋转的角度为5°，即10：10时，时针与分针所夹角度为4×30°-5°=115°.角的定义有公共端点的两条射线组成的图形一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形角的表示方法用三个大写字母或一个大写字母表示用一个数字加弧线表示用一个小写希腊字母加弧线表示角的度量度、分、秒1°=60′，1′=60″课堂小结4.3.2角的比较与运算第四章图形初步认识4.3角学习目标1.

掌握角的大小的比较方法.(重点)2.

理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.(重点、难点)3.

会进行涉及度、分、秒的角度的计算.(重点、难点)ABCDEF怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?1.如图，已知线段AB、CD,你有哪些办法比较它们的大小？温故知新，引入新课2.叠合法1.度量法3.尺规作图讲授新课角的比较与计算一

类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？1.

度量法类比探究注意事项：“两重合”（1）量角器的中心与角的顶点重合（2）量角器的0刻度线与角的一条边重合2.

叠合法ABO(O')B'(A')ABOABO想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？(两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B')(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')注意事项：“两重一同”（1）两个角的顶点重合；两个角的一条边重合（2）两个角的另一条边在重合的边的同一侧1.估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法验证.练习巩固，应用新知图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它们的关系：∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=

.∠BOCABOC思考

如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？探究1：75°15°105°、120°、135°、150°、165°180°CAOB

动手做一做：在纸上画∠AOC，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OC重合.将角展开，折痕上任取一点记作点B.类比线段中点的定义，填空：∠AOB=∠BOC=;∠AOC=2∠AOB=2_____.观察思考，探究新知12

∠AOC∠BOC

一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.

应用格式：∵OB是∠AOC的角平分线，∴∠AOB

＝∠BOC

＝∠AOC，∠AOC＝2∠BOC

＝2∠AOB.OCABABCDO如图∠AOB＝∠BOC＝∠COD，则OB是

的平分线，＝

∠AOC，＝

∠BOD∠BOC＝

＝

AOCBOCBOCAODBOD此时OB、OC叫∠AOD的三等分线跟踪练习AOD探究2如何作一个角的平分线？你能想到什么方法？度量法折纸法例1

如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC

＝180°－53°17′

＝179°60′－53°17′

＝126°43′.OCBA如何计算？可以向180º借1º，化为60′.例2

把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.有余数，可以把度的余数化成分后再除（1）67°31′+48°49′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.计算（2）21°17′×5；

解：原式=21°×5+17′×5=105°85′=106°25′涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.2.

如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=31°28′，求∠BOD的度数.答案：∠AOD=58°32′.OABCD如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：因为OB平分∠AOC，∠AOC=80°，OABCDE所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.巩固练习：(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD

是多少度？

解：因为OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因为OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.OABCDE(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB

是多少度？解：因为∠COD=30°，OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因为OB平分∠AOC，OABCDE所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.角的比较角的平分线度量法叠合法角的运算加与减乘与除角的和差倍分关系角的计算小结与回顾今天你学到了哪些知识？4.3.3余角和补角以及方位角第四章图形初步认识4.3角学习目标了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、难点)2.

了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.(难点)

将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.1234思考：1.∠1与∠2有什么数量关系？∠1+∠2=90°2.∠3与∠4有什么数量关系？∠3+∠4=180°折纸活动

如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).余角与补角1234

如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).提问答疑，理解定义如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2，同样∠2的余角是∠1；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2，同样∠2的补角是∠1。两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。（1）定义中的“互为”一词如何理解？（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o80o100o120o150o170o60o同角的余角相等；∵∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，知识提升

O60°30°BOCAD213∴∠2＝90°－∠1，∠3＝90°－∠1∴∠2＝∠330°

1243等角的余角相等。

理由:∵∠1与∠2互余

∴∠2=90o-∠1

∵∠3与∠4互余

∴∠4=90o-∠3

又∵∠1=∠3

∴∠2=∠4解：∠2与∠4相等

如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？如图，画出∠1的补角1同角的补角相等；理由：∵∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，解：∠2与∠3相等.思考

123∴∠2＝180°－∠1，

∠3＝180°－∠1∴∠2＝∠3

如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?1234解：∠2与∠4相等。

这里，我们用到了“等量减等量，差相等”。因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补，所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3，又因为∠1=∠3，所以∠2=∠4。等角的补角相等例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.O

A

B

C

D

E

又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC

=(∠AOC+∠BOC)=90°.O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．变式训练∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．你知道表示方向的一个成语吗?“四面”—东、南、西、北“八方”--东、南、西、北和东北、东南、西北、西南东西北南O正东：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：

射线OAABCD45°EGFH45°八大方位45°45°射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG

表示方位的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到。一般以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向。如“北偏东30°”、“南偏西25°”。

方位角的一边是表示正北或正南的射线，另一边是表示偏西或偏东的射线。45°

如图，说出下列方位(1)射线OA表示的方向为

.(2)射线OB表示的方向为

___

_.

(3)射线OC表示的方向为

.

(4)射线OD表示的方向为

.北东西南CABD北偏东40°北偏西65°南偏西45°(西南)南偏东20°40°65°70°O20°例4

如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.东南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●1.一个角是70°39′，求它的余角和补角。练习2、∠A的补角是它的3倍，∠A是多少度？BAOC3、

如图两堵墙围一个角∠AOB，但人不能进入围墙，我们如何去测这个角的大小呢？4、如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？答案：∠A+∠B=90°∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°∠1+∠2=90°答案：∠B=∠2∠A=∠1(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B5、一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向（）A．南偏西30°B．西偏南40°C．南偏西60°D．北偏东30°A分析：相对方位，度数不变，方向相反你有什么收获？畅所欲言同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等互余互补两角间的数量关系对应图形性质方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向定义书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西小结与复习第四章图形初步认识(1)梳理本章知识，构建合理完整的知识结构；(2)通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，发展空间观念和空间想象能力；在解决一些有关线段及角的问题中，体会数形结合、分类讨论和方程思想．学习目标复习导航1.下面是本章学到的一些数学名词，你能简短的描述这些数学名词吗？你能画出图形来表示它们吗？立体图形平面图形展开图两点的距离余角补角2.你能举出几个平面图形和立体图形的实例吗？3

.找出几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图和从不从方向看到平面图形，你能由此说明立体图形和平面图形的联系吗？4.在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？5.在本章中学习了哪些关于角的知识点？有哪些重要的结论？立体图形平面图形几何图形从不同方向看立体图形展开立体图形平面图形直线、射线、线段角角的度量角的比较与运算余角和补角角的平分线线段大小的比较两点确定一条直线两点之间,线段最短等(同)角的补角相等等(同)角的余角相等知识结构图一、多姿多彩的图形1．几何图形的分类：

知识梳理4.几何体的构成元素及关系2.从不同方向看立体图形3.立体图形的展开图(1)体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点(2)点动成线、线动成面、面动成体从正面看从左边看从上面看二、直线、射线、线段1.有关直线的基本事实经过两点有一条直线，并且只有一条直线.2.直线、射线、线段的区别与联系3.基本作图（1）：作一线段等于已知线段4.有关线段的基本事实两点之间线段最短（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，5．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法:

一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD.

（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：注意：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.

三、角1.角的定义(1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角(2)角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形3.角的度量度、分、秒的互化1″＝(1/60)′，1′＝(1/60)°1°＝60′，1′＝60″2、角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.

4．角的比较与运算（1）角的比较方法: