用特征方程求数列的通项

n22n22用征程数的项一递数特方的究探递推(迭代)是中学数学中一个非重要的概念和方法推数列问题能力要求高在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？（、若列

n

,1

n

(n

其项式求一采如下参法将推列化等数：设

n

(则n

n

catn

，令

(

，即

t

，当c

时可得a

n

d()cc

，知数列

d是以c

为公比的等比数列，a

dccc

将

a

代入并整理，得

n

bc

n

c

n

.故列

n

对的征方是,pa（、阶性推列nnn仿上，用上述参数法我们来探数列

n

n

的

特征：不妨设

n

tatann

n

)，a

n

)an

n

,

令

st

（※）（）方程组（※有两组不同的实数解

(t(st)

,则

n

(a)1nn

,

n

a(aa2n2

n

),即

n

1

n

2

n

比为s、的比数列，由等比数列通项公式可得2

n

)1n2111

n

①

a

a)2

②∵

t

由上两式①②去

n

可得

a1.st

aa21.sst1

.（）方程组（※有两组相等的解，易证此时t2

t1

，则

n

aa1n

(1

n

1

)1

nns1n22nns1n22

1

n

2

，

a21

,即

是等差数列，由等差数列通项公式可知

n.211

，所以

a12s11

211

.

1

n

．这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去t即2ps0，然s、s就方程x2px的根，我们不妨称方程为二阶线性递推数列paqa的特征方nn程，所有论若递推式

n

pan

n

,

则特方为

x

2

px、若方有相根s、s，则21

n22

；、若方有等

，

)n1

n

其

c

、

c

可初条确。（）式性推列

a

a

（

,,,Rc0

将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数)①，

t

，则令

t

bact

，即

2

)t0

②，记的两根为

t

，（）若

t

，将

t

分别代入①式可得a

ct)

a1

，aact)22

a以上两式相除得

aan11nactan22

于是得到a

为等比数列公比为acta

，数列

n

n

可由

aa11)aa2

求得；（若

t

将

t

代入①式可得

a

)

a1

,考虑到上式结构特2

1a21a2点，两边取倒数得a

11ct1

a)a1

③由于

t

时方程③的两根满足

2t

ac

，∴

ctdct1于是④式可变形为

a

1can1

11∴a1

c为等差数列，其公差为，act1∴数

n

n

可由

1cnaan1111

求得．这样利上述方法我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列

a

a

ax的特征方程为x，cx即

cx

2

)x

，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：分线递数

a

a

的征程

x

axcx、若程两异、s，

a成比列其比1；a2、若程两根

2

1，a1

c成差列其差.a1值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用但将递数转为比等）列思方更重。如对于其形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，三例例、已知数列

a2

n

aan

n

(

，求通项公式a。n解

设

n

taann

n

)

，∴

n

)an

n令

4st

，可得t

，于是a

n

an

n

)

2

(

n

a

n

)2(a)21

n

，3

∴

a3nnn2n

，即

是以

131为项、为差的等差数列，4∴

nn

n

，从而

n

n

.例2、设数列

n

a

2,

5a2a

求a

.解：对等两端同加参数

t

得

ta2taa2n

,令

t

7tt

，解之得

t

，

，代入上式得

a

，

,两式相除得

a1aa3a

a11即为,公比为a

的等比数列，∴

1从而4

．四本小：．可特方解递数的类型⑴．线性递推关系：已

,1

n

(n⑵．齐次二阶线性递推关系：已知

a,a,

且

n

pan

n

,⑶．分式递推关系：已

a，a

n

ancn特根程求⑴．

,n1的征根方程为x=px+q其根为,则n

n

an

)4

nnp1nnnp1n⑵

a

n

a(1a(2paqan

的特征根方程为

x2px

设两实根为,①若,n

=

1

,其中

c,2

是由

,a12

确定②若,则c)n1

n

其中c,c是,a12

确定⑶

n

的特征根方程为

x

pxrx

若方程的两根为若

1

且

,则

apan即nann

}等比数列若

1

且

,则

1r即apannn

}等差数列五练．知数列

{}足：n

1nN,4,a.3已知{

n

}满足

1

=3,

2

=6,

n

=4

n

-4

n

求

n已知数列{a}满足=6,nn

=2

n

+3求n各均为正数的{}a=a,=b且对任意的m+n=p+q的整数m，，，，n2都有

am(1)nmnq

14当,b=时，通项25

n已知列

1a2,nan

*

,求通项

n

.6．已知数列

{}足an1

n

(nn

*

)

，求数列

{}通项nn7．已知数列

{}n

满足

aa2,4a1

an

(n*)n

，求数列

{}n

的通项

n8．已知数列

{}n

满足

a1n

an2n

(n

，求数列

{}n

的通项

n9．已知数列

{}足an1

2an4an

(

*

)

，求数列

{}通项nn5

n2npna)n2npna)练答1作特征方程

x

13x则x.3222

1数列

为公比的等比数列于a

11111=（）()n()323323

,nN.2、：特征方程x=4x-4由征根方程得

=

=2故设

=(c+n2

n)

n

,其3=

c

+

c

2

,6=(

c

+2

c

2

)2，所以

c

=3,

c

2

=0,则

n

=3.

n3解作特征方程x=2x+3由特征根方程得所以a=3n1

+

c(2

其中3=c+,c-c，得=22

3,c=所以a=n+4

(n4、解由

aam)(1(1)(1mnp

得

aa1n)(1))(1)1n2

将a

1,b25

代入上式化简得

2aanan

考虑特征方程

x

2xx

得特征根

x

所以aa1annan

，所以数列

是以

a1a1

为首项,公为

13的等比数列，故

a1n))a33n

n

即

n

5、解考虑征方程

x

1x

，得特征根

x

，n

1n1annn所以数列a

是以

1a1

为首项公差为1的差数列，故

1an

即

a

nn6．解其特征方程为

x

，解得

x12

，令

an

2

n

，6

122nnaana122nnaana由

ac12a

，得，

n

n7．解其特征方程为

x2

，解得

x1

12

，令an2

n

，由

c)2cc)

，得

，

n

2n8解特征方程为

x

x2x

x2

得

x1

aanaan由

2,1

得

a2

4