1991考研数一真题及解析

#/16一b1=nAn1daJa1^—bd1一c(A0『(A-iB-1J，易见001 23 3TOC\o"1-5"\h\zB-1J，易见001 23 3I0BJI0(1 -2一2 5A-1二0 00 0(二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)⑴【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为工丰0,所以函数的间断点为％=0,1+e-兀2 e^2+1hmy=lim =hm =8,所以工=0为铅直渐近线,X—>0 X—>01—e-x2x.0ex2—11+e-x2 ex2+1limy=lim ==lim =1，所以y=1为水平渐近线.X>8 X>81—e-X2 X_8ex2—1所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=X处有limf(x)=8，则0X-X0X=X是函数的一条铅直渐近线；0水平渐近线：当limf(x)=a,(a为常数)，则y=a为函数的水平渐近线.Xf8⑵【答案】(B)【解析】令u=J，则t=2u,dt=2du，所以f(x)=f2Xf(->t+ln2=JX2f(u)du+ln2,012J 0d[f(x)1一.两边对X求导，得f(x)=2f(x),这是一个变量可分离的微分方程，即 =2dx.解f(X)之得f(x)=Ce2X，其中C是常数.=Ce0=ln2，得又因为f(0)=J02f(u)du+ln2=ln2，代入f(x)=Ce2x=Ce0=ln2，得C=ln2，即f(x)=e2“ln2.(3)【答案】(C)【解析】因为TOC\o"1-5"\h\z(-1)n-ia—a-a+a-a++a-a+

n1 2 3 4 2n-1 2nn=1—(a—a)+(a—a)+ +(a —a)+-£(a-a)--£(a-a)-£a2n-1 2n Qn-1n—1 n—1-£a(收敛级数的结合律与线性性质),2n •…所以£a 二a -£(-1)n-1a-5-2-3.2n 2n—1 nn—1 n—1 n—1而£a=(a+a)+(a+a)++(a+a)+n1 2 3 4 2n—1 2nn—1-£(a +a)-£a-+2n-1 2n 2n-1n—1 n—-£(a +a)-£a-+2n-1 2n 2n-1n—1 n—1£a-5+3•-8,2nn—1故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图，将区域。分为%巳，巳，?四个子区域•显然，。，。关于y轴对称，。。关于x轴对称.=JJxydxdy-0cosxsinydxdyy1D2DI-1D4-10 1x、D由于xy对x及对y都是奇函数,所以JJxydxdy-0,JJxydxdy-0.D1+D2D3+D4而cosxsiny对x是偶函数,对y是奇函数,故有Ucosxsinydxdy=0,jjcosxsinydxdy-2JJcosxsinydxdy,D3/4 D1+D2所以JJ(xy+cosxsiny)dxdy=1+1-1 2DD12JJcosxsinydxdy,D1故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A、B、。均为n阶矩阵，且ABC=E，对等式两边取行列式，据行列式乘法公式IAIIB【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A、B、。均为n阶矩阵，且ABC=E，对等式两边取行列式，据行列式乘法公式IAIIBIIC1=1,得到|A|中0、|B|中0、|C|中0,知A、B、C均可逆，那么，对于ABC=E,先左乘A-1再右乘A有ABC=EfBC=A-1fBCA=E,故应选(d).其实，对于ABC=E先右乘C-1再左乘C,有ABC=EfAB=C-1fCAB=E.三、（本题满分15分,每小题5分.）⑴【解析】这是1-型未定式求极限.lim(cos弋％)%=lim(1+(cos-x-1))cos、--「冗(cos'--1)%%f0+%f0+令cosY%—1=t,则％f0+时tf0-,所以lim(1+(cos%--1))cos[-1=lim(1+1)t=e,%f0+tf0-所以- 1——式(cos--1)lim(1+(cos%-,%-1))cos---1l %%f0+=lime%f0+入（coslim=e%f0+万(cos,--1)%因为当%f0时，sin%%，所以-2兀-2兀-2兀%f0%f0+=lim%f0+lim%f0+71=- 2lim(cos7%)%=e-f+%f0+dududu（2）【解析】先求方向n的方向余弦，再求—,—,—，最后按方向导数的计算公式d.x0ydz0u 0u 0u0u=—cosa+—cosp+ cosy求出方向导数.0n 0- 0y- 0z曲面2%2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的法向量为±(4%,6y,2z}|={4%,6y,2z} =±2(2,3,1},1p (1,1,1)在点P(1,1,1)处指向外侧,取正号,并单位化得1 1n- ——{2,3,1}=-^={2,3,1}={cosa,cosP,cosy}.v,22+32+1 V14SxP z，6x2+8y2cu 8yzq6x2+8y2p_ 8ycz*x2+8y2Cu J6x2+8y2— -Cz z2P数CuCu—————cosaz"x2+8y2pJ6x2+8y2z2PCu Cu+——cosP+——coNu 6x 6x 6四、（本题满分6分）【解析】曲线y=〃sinx,(x£[0,兀]),贝11力=ocosxdx,所以/=f(1+y3)dx+(2x+y)dyL=J"[l+(Qsinx)3+(2x+asinx)acosx]dx0=%0=%0l+〃3sm3x+2〃xcosx+——sin2xax=兀+〃3J兀situxdx+2alnxcosxdx+—Psin2xdx

o o 2o7. 〃2xd7. 〃2xdsinx+——4=71+〃3/(COS2X071sin2xd2xo=71+〃=71+〃31—COS3X-COSX3+2〃[xsinx+cosJ+—[-cos2xYo4 o4 )=兀+—〃3—4〃.34对关于〃的函数/=兀+彳。3-4〃两边对。求导数，其中〃>0,并令/'=0,得/'=4"2—4=0.所以〃=1,且4故a=1为函数/=兀+W〃3-4凡(〃>0)的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为y=sinx,(xg[0,兀]).五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式，先求"1)的傅式系数。与b.因/(x)为偶函数，所以nnb=-JzJ(x)sin—xrfx=0(n=1,2,3,),〃I./Iif/£(\〃兀1 2f\〃兀1=-'J(-^)cos—xdx=—JJ(x)cos-j-xdx=211(2+x)cosnJixdx=411cosrmxdx+—f1xdsinmix0 0 〃兀02「. 2(cos河-1)=-——Jsmrtuxdx= (n=1,2,3,),〃兀o "2兀2

a=2J1(2+%)d%=50 0因为f(%)=2+I%I在区间(-1<%<1)上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以，/、n,IIa,£(n兀，7 ；n兀、f(%)=2+I%I=—0-+jacos——%+bsin——%2In1n1 )n=15£2(cosn兀-1)二一十， cosn兀%2 n2兀2n=1=5-4£ 1-cos(2n-1)兀% (-1<%<1).2兀2 (2n-1)2n=1令%=0,有f(0)=2+0=5——£—1—cos0,所以，£—1—， 2兀2n=1(2n-1)2 ，二=1(2n-1)2n2n=n2n=1n=1 + (2n-1)2 (2n)2=£ +1£1(2n-1)24m'n=1 n=1£1£1n2n=1£1所以， £=n2n=1六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于J；f(%)d%，在区间(|,1)上存在一点自使得32 1一(f(%)d%=f化)(1—3)=3f化)，3即31；f(%)d%=f也)=f(0).3由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点c(0<c<^<1),使得f'(c)=0.七、(本题满分8分)【解析】设％牝+%2a2+%3a3+%4a4=「，按分量写出,则有%+%+%+%=112 3 4%-%a+2%=1<2 33 4%+3%+(a+2)%+4%=b+334%+5%+%+(a+8)%=5

对方程组的增广矩阵作初等行变换：第一行分别乘以有(-2)、(-3)加到第三行和第四行上,再第二行乘以(-1)、(-2)加到第三行和第四行上，有11、<111112:*101—12:•14:*b+301a2:*b+1〃+8:•5>w2-2a+5:•2TOC\o"1-5"\h\z口1 1-01-1A=23a+25 1qi1*1:r0i—12:*i00a+10：b'1。00〃+1:*o>TOC\o"1-5"\h\z所以，当时，"A)+l=r⑷，方程组无解.即是不存在使得xa+xa+xa+xa 成立p不能表示成a、a、a、a的线性组合;11 22 33 44 1 2 3 4_ (2ba+/?+1bY当aw—1时，«A)=r(A)=4.方程组有唯一解—————,—-,0,Iq+1a+1a+1)02b a+b+1 b„故P有唯一表达式，且P=——-a+ —a+--a+0-a.a+1ia+1 2a+13 4【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是机x〃矩阵,线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵Z=(Ab)的秩，即是«A)="X)(或者说，人可由A的列向量a,a,,a线表出，1 2 n**亦等同于a,a,,a与a,a,,a/是等价向量组).1 2 n12 n设A是机矩阵，线性方程组Ar=b,则 …(1)有唯一解 今 r(A)=r(A)=n,(2)有无穷多解 = r(A)=r(A)<n.⑶无解 = r(A)+l=r(A).=》不能由A的列向量,叱线表出.八、(本题满分6分)•••【解析】方法1：因为A为〃阶正定阵，故存在正交矩阵。，使(八1九QtAQ=Q-1AQ=A= 2V其中九〉0(i=1,2,n),九是A的特征值.i i因此Qt(A+E)Q=QtAQ+QtQ=A+E•••两端取行列式得IA+E1=1Qt||A+EIIQ1=1Qt(A+E)Q1=1A+El=H(九+1),i从而IA+El>1.方法2：设A的n个特征值是九,九,,九.由于A为n阶正定阵，故特征值全大于0.1 2 n由九为A的特征值可知,存在非零向量a使Aa=Xa,两端同时加上a,得(A+E)a=(九+1)a.按特征值定义知九+1是A+E的特征值.因为A+E的特征值是九+L九+L卜+L它们全大于1,根据1Al二n九，知।a+ei=n(X+d>1.1 2 n i i【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵，若存在数X及非零的n维列向量X使得AX=XX成立,则称X是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向•••量.九、(本题满分8分)【解析】曲线y=y(元)在点P(元〜)处的法线方程为Y-y=--4(X-x)(当y'w0时)，y它与x轴的交点是Q(x+y/,0)，从而IPQi=式yy)2+y2=y(1+y4)；.当y'=0时，有Q(x,0),IPQI=y,上式仍然成立.因此,根据题意得微分方程y" = 1,31(1+y2)2y(1+y2)2即yy"=1+y'2.这是可降阶的高阶微分方程,且当x=1时，y=1,y'=0.

dy

y. .._dP _dP._PdPdy

y令y'二P(y)加y-Pd二阶方程降为一阶方程叫二1+P2,即E即y=CC1+P2,C为常数.因为当x=1时，y=1,P=y'=0,所以C=1，即y=J1+P2=41+y%,所以y'=土\：'y2-1.分离变量得,d=±dx.<y2-1令y=sect,并积分,则上式左端变为—Insect+Jsec21-1+C—Iny+Jy2-1—Insect+Jsec21-1+C—Iny+Jy2-1+C.因曲线在上半平面,所以y+、：;y2-1>0,即ln(+6故y+{y2-1=Ce土x.当x=1时，y=1,当x前取+时，C—e-1,y+%：y2—1=ex-1,y-%;y2-1=(y+、2y-%;y2-1=(y+、2-1)(y_Jy2-1)1 =e1-x；ex-1 ，当x前取-时，C=e,y+、:'y2-1—e-x+1,y-Jy2-1(y+Jy2-1)(y-\；y2-1)y+,y2-11 —ex-1；e1-x '所以y―1(e(x-1)+e-(x-1)).^2十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来，若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率，应该已知分布的两个参数N和O2,否则应先根据题设条件求出N,O2,再计算有关事件的概率,本