18.2.2第2课时菱形的判定

知识管理第2课时菱形的判定菱形的判定定理定理：(1)对角线____________的平行四边形是菱形； (2)四条边_________的四边形是菱形．注意：(1)菱形的定义“有一组邻边相等的平行四边形是菱形” 是菱形其他判定方法的基础，可作为菱形的判定方

法；

(2)运用判定定理(1)时，要先证明四边形是平行四边

形，再证明对角线互相垂直；

(3)运用判定定理(2)时，可以直接证明一个四边形是菱

形．知识管理互相垂直相等拓展：由于菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，所以“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”也可作为一种判定菱形的方法.类型之一菱形的判定

[2014·厦门]如图18－2－34，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．

图18－2－34解：证明1：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形．例1答图证明2：连接BD，如答图．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵∠BAD＝∠BCD，BD＝BD.∴△ABD≌△CDB.∴AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形．【点悟】判定菱形的一般方法有：(1)四条边相等；(2)是平行四边形，并且有一组邻边相等；(3)是平行四边形，并且对角线互相垂直．类型之二菱形的性质与判定的综合运用

如图18－2－35，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．图18－2－35解：(1)∵AB∥CD，即AE∥CD，又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD.又∵CE∥AD，∴∠ACE＝∠CAD，∴∠ACE＝∠CAE，∴AE＝CE，∴四边形AECD是菱形；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：证法一：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.又∵AE＝CE，∴∠ACE＝∠BAC，BE＝CE，∴∠B＝∠BCE.∵∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∴2∠BCE＋2∠ACE＝180°，∴∠BCE＋∠ACE＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．证法二：连接DE，则DE⊥AC，且DE平分AC，设DE交AC于点F，∵点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形.1．下列命题正确的是 (

) A．对角线互相平分的四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【解析】由菱形的判定方法知选D.D2．[2013·海南]如图18－2－36，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是 (

)

图18－2－36 A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°B3．[2013·泰州]对角线互相________的平行