《最大公约数与最小公倍数二》习题

《最大公约数与最小公倍数二》习题

这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，(18，12)=23=6，[18，12]=2332=36。假如把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

(18，12)[18，12]

=(23)(2332)

=(233)(232)

=1812。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依旧有类似的结论。从而得出一个重要结论：

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，

(a，b)[a，b]=ab。

例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

解：由上面的结论，另一个自然数是(672)18=24。

例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：假如将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”

转变以后的两个数的乘积是130=30，和是11。

30=130=215=310=56，

由上式知，两个因数的和是11的只有56，且5与6互质。因此转变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是

75=35和76=42。

例3已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：由于12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又由于[a，b，c]=120=2335，所以c=15。

由于a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，(a，b)=12，[a，b]=120，求a，b。”

当a=60时，

b=(a，b)[a，b]a

=1212060=24;

当a=120时，

b=(a，b)[a，b]a

=12120230=12。

所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。

要将它们全局部别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量一样。问：每瓶最多装多少千克?

分析与解：假如三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，

(150，135，80)=5。

上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装

5*1/36=5/36(千克)

在例4中，消失了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。

假如若干个分数(含整数)都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在全部公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。

由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：

(1)先将各个分数化为假分数;

(2)求出各个分数的分母的最小公倍数a;

(3)求出各个分数的分子的最大公约数b;

(4)b/a即为所求。

类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。

假如某个分数(或整数)同时是若干个分数(含整数)的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在全部公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。

求一组分数的最小公倍数的方法：

(1)先将各个分数化为假分数;

(2)求出各个分数的分子的最小公倍数a;

(3)求出各个分数的分母的最大公约数b;

(4)b/a即为所求。

练习

1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2.两个自然数