边界单元法基础(直接法讲义)剖析

边界单元法基础(直接法)近年来在边界法方面人们发表了大量的文章和著作。这些方法是以不同的名称而提出来的，如“边界积分方程方法”“边界积分边界单元法简称BEM是七十年代兴起的一种新的计算方法。它将边界上的广义位移和广义力作为独立变量且同时用满足场方程的奇异函数(源函数)作为加权函数。所以，它是一种特殊格式的加权余量法。边界元法只需将求解域的边界划分成单元，故使求解问题的维数降低，如三维问题可转变成二维问题求解。二维问题可化为一维问题。因而，输入数据大为减少，计算时间缩短。由于它只对边界离散，故离散误差仅为来源于边界，而域内变量可由解析式的求域内变量时，只须改变其数量和坐标位置和有限元法一样，边界元法可广泛地用来解决各种工程问题，如弹性力学、断裂力学、塑性力学、流体力学、温度场和电磁场边界元法分为直接法和间接法。直接法是用物理意义明确的变量来建立积分方程，其中未知函数就是所求的物理量在边界上的值；间接法是用物理意义不一定很明确的变量来建立积分方程，如位势问题中用单层位势和双层位势表示物理量。本部分着重叙述在用加权余量法建立积分方程时，所使数学上是作为微分方程的特殊的非齐次解定义的，它在每个问题上分别具有不同的物理含义。求这个解，特别是便于解析的形式，数学教科书中有所推导，工程技术人员可直边界元法另一个问题是，代数方程组的系数矩阵一般是非对称的，且非零系数矩阵为满秩矩阵，这是由于边界点与全部边界单元有关得出的，编程序时需要注意这一点。我们先介绍位势问题的边界单元法公式。这些基本概念对任何其它工程问题是类似的。然后再介绍利用边界元法求解弹性体受力分析问题。这里强调的是方法在工程中的应用。作为有限元法数值法的一个补充。二、泊松方程的边界单元法1．积分方程的建立和基本解为了说明边界单元法的积分方程是如何由加权余量法推导得来的，我们以泊松方程为例来阐述其全部求解过程，这对了解其它问题的边界元法求解是有益的。考虑势函数φ。它在域内满足微分方程，即(9-1)在边界上满足边界条件，即?0?n(在上)0 0(9-2)=+0q可以证明，对于泊松方程或拉普拉斯方程()，一般加权余量表示式为f=0 对式(9-3)左边第二项进行分部积分，即 (9-4)式中右边第一项的被积函数形式称爱因斯坦求和约定，即?0?0*?0?0*?0?0?0*?0?x?x?x?x?x?x?x?x?x?x?x?nj(?0?0*)d=j0(20*)dj0?x?x?nkk把上式代入式(=+，把左右两边界积分合并时，得q0q0q0(9-5)解就是满足下列方程(9-6)取p点为坐标原点，并把式(9-6)写成dr2rdr(9-7)(9-8)r为p点到q点之间的距离。方程(9-6)或++=0dr2rdr(9-7)的解称为拉普拉斯方程的基本解。在式(9-7)中，当时，则为r0(9-9)(9-10)r=0时的(9-11)(9-12)p为圆心，以ε为半径作一小圆，将式(9-10)代入式(9-12)并c)0式(9-14式(9-14)即为二维拉普拉斯问题的基本解。由式(9-11)得C=C (9-14)22r(p,q)0*=一22r(p,q)同理可求得三维拉普拉斯问题的基本解为0(p)0(p)+jp0*d业+j0q*dr+j0q*dr(9-15)现在根据式(9-5)来建立积分方程。由于?0q=q业rrq0rrq0=jq0*dr+rrq0 考虑时，可写成=+q0项外，其余都是边界积分表达式，故称积分下面我们来建立边界解的积分表达式。如果在式(9-16)中把内点p取到边界上P点(三维举例)，如图9-3所示。这时，为了式(9-17)右端第二工面当Tq c当时，而式(9-17)右端第一项仍为c)0rq〈jrq-rc0dr卜=jrq0dr式(9-16)右端第一项在上积分同样分分，即和。而rqrqrq而r0所以，把P点取在边界上时，则式(9-16)为jf0*d+0(P)+j0d+j0dq(9-18)0泊松方程的边界解公式。它把边界上的函数值与边界上的导数值通过基本解的边界积分之间的关系联系起来了。如果，即为拉普拉斯方程的边界解公式，对于光滑边界，即为f=式，对于光滑边界，即为0(P)+jrq0*d+jr00*d=jrqq0*d+jr0q0*d或者写成一般式为(9-19)(9-20)C(P)是与P点处的边界几何形状有关的常数，如图9-4 为边界点P处的边界切线之间的夹。1。1CP组由上面推得了两个关系式，(i)即式边界上的函数值和导数值求得之后，即可求出域内任一点的函数值。(ii)即式(9-20)，得到边界上任一点的函数值与边界上其它点函数值与导数值之间的关系。分为边界单元来求边界上的函数值及其导数以二维问题为例，离散方案一般有三种 (b)线性单元，(c)二次单元。所谓常值单元即在单元中函数值和导数值均为常数，用中个单元具有两个节点，用节点值对对函数作线性插值。二次边界单元，每个单元有三个节点，函数和导数在单元内作二次变化，下面用常值单元将边界解公式化成节点对于0节点P，式(9q-20)可写为i(a)常值单元；(b)线性单元；(c)二(9-22)00的任意点。上的积i分与点P和单元有关iiiGij=jr0*(,Q)drJ| 0*0*q*=式(9-23)亦可求得。于是式8n(9-22)可写成2iijjijj (94)j=1ijjijjj=1(95)1H=H1ijij2(9-26)把式(9-25)写成矩阵形式，则为H=HˆijijH0=GQ=2n1H=2n1HH(9-27H垐HH垐H||||||||H23H?2n|(9-28C=|(9-28； )|||)|||l1l2llll1lnl1|rq(边界上导数值给定)。给在q(边界上导数值给定)。给在上有个qrrn2待求，在上有个2rrn0「HHH+HH|11l2ll2l1n「HHH+HH|11l2ll2l1n|H21HH|||H|HHH|||H|HHHlHHn1HH)|J已知||q||||ql||q|]「q]GGlGG|2|q||||ql||q|]「q]GGlGG|212lG2|2||l |121lnll|||nl1把式(9-30)简写为2|| (9-31) (9-33)AX=AX=FA=[GH]X=[qqq0ll+10]TnF=[H0+GQ]在式(9-33)中X中包含有n个待求的2未知函数值0(j=l+1,l+2,,n)和n1个待求的未知j中有n1个函数值0j(j=1,2,,l)和n2个导数值j稀疏的非对称的矩阵，与有限元系数矩阵Kj我们把式(9-16)(这里)改写为离散形式，即f=0(9-34)00是的系数，它是在单HiiG元ii上积分得到H0(P)iiii边界单元的两端点i的坐标分别是(x1，y1)和 pii由式(9-26)及(9-23)第一式知，对光而(9-35)H=Hˆ+1iiii2jii?r?r=0于是?nii是1H上积分的。由式iG=j0*d(j=i)把拉普拉斯方程ii基i本解式(则9-14)代入，(21ln(i中点，在=0ijij1122r=rd=dr=rdr=r=si1122边界的长度。代入到式(9-36)中，则i(9-37)iir2siir2sij的任意点，和G的计i算，可采用数值积j分ij(如高斯四H点ij积分)进行。我们先导出数值?n??n?r?n2"rr2"r2由式(9-23)第一式，得H=Hˆ=jq*drijijrjjr故ijijij图9-9P到的垂直距离ii把式(9-38)代入式(9-23)，得ij41h2ijH=sjj+ij41h2ij由图9-9所示，有ih=(xx)cos+(yy)sinijiiii(xx)(yy)(yy)(xx)=i1i21(xx)2+(yy)299ir譺1212r1r和r2r11i1i22i2ii1iij2iG的计算可由式(9-23)第二式得，即ijijTj 由式(9-39)和(9-41)所表达H和Gijij可用高斯四点数值积分算出，即Hij=-jijHij=-jij 在泊松方程中，有一项域积分，如式项并入到式(9-33)右端项F中去。其作法即B=jf0*(p,q)d=j0*(p,q)fdiieie=1=7A(0*f)Wekkek=1这项积分也可化为边界积分，在弹性全求解式(9-34)式可计算域内0任一点p的函数值0(p)。如果所求为泊松方程，则需加入域积分项，这时式(9-34)为0(p)=nGq-nH0-7A(0*f)Wijjijjekkjekijij式中，H和Gijij9-41)计算，但其中rij要换成域内p点到首先我们分析线性边界单元。线性单元具有两个节点，函数和导数在单元内作线性为ij=1jj=1j v飞飞jj+1jj+11222j下面分别来求式(9-43)的积分。把式 (9-44)分别代入式(9-43)中去，左边第二1j2j+11j2j+1jjr1j(0)N2]q*dr|0j1(0)(9-45)令H2=jNq*drijr2j jj0q*dr=[j0q*dr=[H1rijj jq0*dr=[G1式中j(9-49)式中j(9-49)「q]「q]G1=jN0*drijr1j G2=jN0*drijr2j把式(9-47)和(9-48)代入式(9-43)iijiijjijj+1ijjijj+1j=1j=1C0+(H10+H20)+(H10+H20)+ii11i12i22i23=(=(G1q+G2q)+(G1q+G2q)+i11i12i22i23；0=0=0q=qn+11n+11将式(9-51)整理后得G0+(H1+H2)0+(H2+H1)0+(H2+H1)0iilin1i1i22i(j1)ijjHHGGqGGq++(G2+G1)qi(n1)inni1inii1i22i(j1)ijj++(G2+G1)q H=H2H=H2+H1iji(j1)ijiji(j1)ij(9-54)于是，对于节点P，式(9-43)可写成H=H2+H1G=于是，对于节点P，式(9-43)可写成i1ini1i1ini1 i (9-55)ijjijjj=1j=1AX=F(9-56)下面导出微元的计算，式(9-46)和 (9-49)N1和N2是的d函数而积分微元是对进与总体坐标(x，y)的关系为(d)2=(dr)2=(dx)2+(dy)2??ddx2dy2x2y2dJdJJx2y2 (9-57)称为雅可比行列式。如果对总体坐标x，yJ也进行线性插值，即JxNxNxyN1yjN2yN1yjN2yj1(9-58)式中，(xj，yj)和(xj+1yj+1)分别为边界单元两端点的坐标值。由式(9-58)可求得dxx-xdyy-ydxx-xdyy-y(9-59)((x-x)2(y-y)2sJ((x-x)2(y-y)2s式中sj为单元r的长度。G=jrjN10*d飞;G=jrjN2v*d飞jj二次单元是在边界单元内的函数和其导qNqNqNq=[N1N2N3]式中，为的二次函数，即i 223j0q*dr=[H1rijjjq0*dr=[G1rijjijijijG=jrN10*dr,G=jrN20*drG=jrN3q*drjjj(9-63)(9-64)的总体坐标。与线性单元一样，可写成(x,y)(x,y)(x,y的总体坐标。与线性单元一样，可写成112233x=Nx+Nx+Nx)112233 =(y1+y2-2y3)飞+(y2-y1)J将式(9-66)代入式(9-57)，得 (9-67)J=〈(x1+x2-2x3)飞+(x2-x1)2(y1+y2-2y3)飞+(y2-y1)2其它推导与线性单元相同，但在每个单元的首尾节点(如节点1和2)，同样有两项系数叠加以组成总体方程组的系数。为了简化起见，在弹性力学的表达式中用张量表示。所以，首先把用到的张量符号ii求和约定及哑标：某指标在某一项中重复出现，且仅重复一次，则该项代表一个和表y=ax(i,j=1,2,3)iijjy=ax+ax+ax0]0y=ax+ax+ax6ijij=|ij=|216666]66]6|||=0 6=66=36=66=36a=aijji6a=aimmjij eijk=〈|2eijk共代表27个量，有22个量为零。显然：e=e=e=e=e=eijkkijjkikjiikjjik用指标记法表示弹性体的基本关系时，其平xi=ui,j,ixx=ui,jk用指标记法表示弹性体的基本关系时，其平jjk?ij+W=0ij (在上)(在上)(9-(9-69) (9-70)ui=ui式中 ；EijijklklC=2G66+G(66+66)ijklijkl12ijklikjliljk(9-74)为(9-75)uGu+u)EaT+W=0k,k,kii,jjj,ij12,ii=2G6+2GTij12kkijijij T=2G(1+)eT,eT=aT6ijijijijijijEa如前所描述的势问题一样，我们把平衡方程和两类边界条件写成加权余量表达式为j(+W)u*d=j(pp)u*d+j(uu)p*djk,jkkkkkkkk (9-78)p=n*kjjk现在把式(9-71)和(9-72)应用到近似(9-79)到式(9-79)中左边第一项中去，即 有关温度影响，可并入体积力的域积分，在(9-81)jk,jkkkkkkkkpuu+jup*dkkp kkp关它的计算在以后介绍。现在的问题是如何把左边第一项转变为边界积分。弹性问题的基本解是满足平衡方程(9-83)**+6i=0jk,jl于是得j(*+6i)ud=j(*)ud+j6iudjk,jlkjk,jklk=j(*)ud+ui=0jk,jklui=j(*)udljk,jk把上式代入式(9-82)，得 p)沿l方向的ipip作用时所产生的位移和表面力。如果考虑i点的三个方向时，则式(9-84)为(9-85)lklkklkklkklkklkupup(9-86)移分量和面力分量。l，k分别代表p点(或i量u(Q)和表面力分量pk(Q)之间的关系。lp*lk二维弹性平面问题的基本解，可由无限域的式(9-83)导出。对于平面应变问题，位移和面力的基本1k 之间的距离。nj是该点的表面法线的方向余k以奇点P为圆心以为半径作小半圆，如图eee(9-89)lkkklkklkklk以k ||lk|0|L0101|||| 式(9-89)是边界上的位移分量uk(P)，uk(Q)和表面力分量pk(Q)之间的边界积分关系式。由该式可以求出边界上的全部未知位移分量和表面力分量。积分进行离散化，可离散成常值单元、线性单元及二次和高次单元。该式写成矩阵表达(9-92)是即*lkp*plk**u*」；「u]2「p]Lp」P=|Lp」2「p*p*]P*=|1112|Lp1p2」「W] (9下面我们把式(9-92)离散成n个单元，jj由于采用的是常值单元，和势问题一样节点(9-95)ijjP分别为边界单元的位移i矢量和面力矢量。j|jP*dr=|rij(U*W)WWi(U*W)WWirijj业(9-96)l积分是把体积力的域积分用加权数值积分得出的。当然，也可转变为边界积分计算，在后于是式(9-95)可写成(9-97)CU+xnHU=xnGP+WiijjijjxnHU=xnGP+Wj=ijjijjj=1 ，H=HijijHij ij方程(9-97)或(9-98)对节点i给出一组方程式(三维是三个，二维是两个)，Uj与势问题的区别在于每个节点位移和面力有两个分量(三维问题是三个)，故和G是2Hij×2子矩阵。对所考察的每个节点ij都写出式 Hin||UiHH|Hi1CCCiiiiHin||UiHH|Hi1CCCiiii||HCCHC」nininnn「H|11|C21|「H|11|C21||Ci1||C]CHCH|11CHC|11CHCHC|H21||2i2i|H21||2i2i「P]1「P]1||||||||||||||||P22i22i||||||nnn式(9-99)写成简化形式为 求解方程组(9-100)以前，必须加入边界条界条件为在上() 边界条件给定的，因而式(9-100)中尚有未知项表示矢量X，写在等式的左边，其AX=FAX=F4．系数矩阵中元素H和G的计算ijij首先计算对角线元素Hij和Gii。当j=ii由式(9-93)及(9-96)可知把式(9-88把式(9-88)代入上式，考虑到，同(9-102)pp]「H11H12]pp]「H11H12]?rlk?np*lk?n2,1i,2i2i,1i,2H=0ii「ci0]H=||iiL0ci任一方向上刚体有一个单位的位移，则式(9-100)变为HI=0对光滑表面。1ci=G的计算2是由式(9-93)和(9-96)中ii u*(dr=dr)-Ls()」|s-Ls()」|ic)i ijijijij把式(9-98)中的和分别代入和G中，计p*u*Hij1?rh=4(1)?n=1?rh=4(1)?n=rJ|J|和H11=-rlh[1-2r+2(r)2]dLijLr,1rjdL|r|dL|r|||dL|r|dL|r|||H22=-rlh[1-2r+2(r)2]dLijLr,2rj dL(9-106)只需将微元代入上式，如sdL=Jd农=jd农2H11=-psjhx4[1-2p+2(r)2]1WkiiijG分别由式(9-105)和(9-106)计算，但ijj一旦边界上的位移和面力算出后，就可成离散形式时，则为ijjijjijjkke将将式(9-106)代入几何方程(9-71)，再下面引出内点应力和边界点应力的计算由式(9-72)可知，应力表达式为 ijr|lijau*(au*au*ijr|lijau*(au*au*))| 点进行的。令?u*(?u*?u*))?u*(?u*?u*)) (9-222)kijkijkijkijk,jj?u=p[(3-4,jj?u=p[(3-4p)6r-6r-6r2Crkk,jjk,kjk,k*?61*?61jj?r(r)=-jk+?r(r)=-jk+rrj?61?x,krr,k?61?x,krr,k,j 式中，如果将下标式中，如果将下标j+2rrr],k,k,jrr=1?u*p(1-2p)?k将式(9-113)的下标l换为i，便得 ?u=[(34)6r6r6r+2rrr]如将式j(9-113)的下标l和j分别换为j和i，就可以得到(9-116)?x2Grik如将式j(9-113)的下标l和j分别换为j和i，就可以得到(9-116)?u*jk=[(34)6r6r6r+2rrr]?u*?x2Grjk,iij,kik?x2Grjk,iij,kik,j,i,j,k D=[(12)(6r+6r6r)+2rrr]kijrik,jjk,iij,k,i,j,k「aa])|「aa])|j现在推导Skij表达式。在p点将p*对xj微分得lkjjanax,l,karanax,l,kj ax,l,krjl,kjk,l,l,k,j(2ax,l,krjl,kjk,l,l,k,j?x，ljj?p=?x，ljj?p=〈(2?r[(12)6r6r6r+4rrr]?xr2?nlk,jjl,kjk,l,l,k,j将上面关系以及前面导出，?r入式(9-118)，得j?(r)??(r)?j [(12)6+2rr]n+(12)(62rr)n(12)(62rr)n}**lkl*l*kjj和i，便得到?p*。将其结果均代入式(9-10)jjk?xikijr2l?nij,kjk,jjk,i,i,j,kkijr2l?nij,kjk,jjk,i,i,j,k,i,kj,j,kiikjjki,i,jkijk当采用常值单元并把式(9-111)写成离散后的矩阵形工，得任意内点p的应力为装ijj装ijj业ijijjijjeijkk装ij1ijD=[Dij1ij2ijD]2ij1p]T2jD；UU[uu]T12，装，装，，DSDSS装22 DDSD装S S 和||j111L(9n,1,1,1lj+2(1-2r)[1+(r)2]n-(1-4r)n}dL111r2S=2Grl{29rr[1-2r-4(r)2+211L9n,2,1j4rrrn+2(1-2r)(r)2n-(1-4r)n}dL,1,21,122r2S=2Grl{29rr[r-4(r)2+112L9n,2,1j2rr(rn+rn)+(1-2r)(n+2rrn)}dL,1,12,212,1,21r2S=2Grl{29rr[r-4(r)2]+212L9n,1,2j2rr(rn+rn)+(1-2r)(n+2rrn)}dL,2,12,211,1,22r2S=2Grl{29rr[1-2r-4(r)2]122L9n,1,2j+4rrrn+2(1-2r)(r)2n-(1-4r)n}dL,2,12,211r2S=2Grl{29rr[1-4(r)2]+4r(r)2n222L9n,2,2,22j|+2(1-2r)[1+(r)2]n-(1-4r)n}|,222r2 上述公式在编程序计算时，可用4点高D=sj4{r[1-2+2(r)2]}Wk1112k=1,1,1krk111jk=1r,1,1,11111jk=1r,1,1,11,111kr2kd=jdd=jd,=2?nrk边界上的应力在工程结构中往往是感兴趣的。边界上的全部位移和面力求出后，就可以计算边界上的应力。由于边界上的位移k边界上的应力在工程结构中往往是感兴趣的。边界上的全部位移和面力求出后，就可以计算边界上的应力。由于边界上的位移uk(Q)沿边界,上的变化是可以求得的(近似求出可)。再加上物理方程(平面问题为三个)和力的边界条件(二个)，七个方程正好求出七个未知数，即三个应力和四个位移在边界上的导数。具体写为rijckkGcij)|000n20n10||u|=|u1,c|离心力和温度载荷。含有体积力的弹性体的边界积分方程是式(9-86)或(9-89)。由该如果采用在域内划分单元，然后采用数值积分如式(96-96)那样，则是不胜其烦的，且所需的数据准备也较多。如果体积力为常量或无热源的稳态热载荷，就可以把体积力的域积分转化为边界积分。这就充分利用了边界单元法的优点。现在我们先针对二维问题域积分的积分项在积分方程中为 ki4"Ekirki4"Ekir u*(p,Q)=G-Gkj,ji把式(9-127)代入到式(9-128)中去，得(9-129)kiki,把式(9-127)代入到式(9-128)中去，得(9-129)可以看出式(9-129)与(9-88)只差一个常数。常数只表示刚体位移，对计算结果是无可以看出式(9-129)与(9-88)只差一个常数。常数只表示刚体位移，对计算结果是无把式(9-128)代入到式(9-126)中去，得这个公式似乎复杂些，但易于转变为边界积下面我们针对几种常见的体积力把式9-130)转化为边界积分公式。WWpgpijgj 这就是重力为体积力的体力项转变为边界积把式(9-127)微分后代入式(9-131)中 于是，内点边界积分方程可以写为(9-133) (1+山)r(1)(Wnr)(9-135) 中去，得到(9-136))求导代入式(9-136)得到 在二维平面情况下，旋转体单位体积所产生的离心力为(9-138)f=po26y令f=po26y把式ij(9138把式ij(9138)代入到式(9-130)中去，得现在对式(9-159(9-139))作如下变换：jkm,ijkm,iikm,mikj,im等代入式(?jki,mjki,mmki,mmjjki,mm?jki,mjki,mmki,mmjjki,mmki,jm??yG 由于是对称的，方程(9-141)稍加改变，便得gij如重力载荷情形一样，kLk(9-142)(9-143)应力表达如同式(9-135)，(9-144)ij对二维稳态热载荷，体积域积分是由温差所产生的。根据热弹性方程的马克斯威尔-蒂互换定理，得内点边界积分方程为(9-146)lrlkkrlkk1-2p业ki,iu(p)=ju*plrlkkrlkk1-2p业ki,i代入式(9-147代入式(9-147)，得由改变整数虚标，于是式(式中，由式(9-128)得u*kiiki,ijj2(1)u*=kiiki,ijj2(1)iijj(9-149)(9-150)k2(1)ki,ijjk2(1)ki,ijj(9-152)k2(1)ki,ijjki,i,jjk2(1)ki,ijjki,i,jj为边界积分，即(9-153)k2(1)ki,ijki,i,jjWTk2(1)ki,ijki,i,jj这就是由于温度载荷所产生的边界积分式。该式也可简写为(9-154)把式(9-127)代入式(9-155)，分别得 于是，对于热弹性方程位移边界积分表达式为(9-157)ijkijkkijkijij,mm12EijjV*Tij,mm12Eij 五、三维弹性体的边界元公式(9-68)~(9-76)诸式，只是其中下标的取二维问题是类似的，在此不作重复。域内任二维问题是类似的，在此不作重复。域内任界点位移cul(P)与边界积分关系仍为式 1- ?rr=l?x=ll1与二维问题大体是类似的。只是现在自由度增加了，每个边界节点有三个位移分量和三分边界是三维空间域表面，即面积分。可采用有限元法有关插值公式和数值积分方案进在式(9-111)应力表达式中的三阶张量D和S分别为kijkij式中，，导数取在边界上，。?r?r?x山=4"(1-山)i2．三维体积力的边界积分式i三维体积力边界积分公式的导出，与二相应于三维基本解的伽辽金张量为 ij4"Eij将上式微分两次代入式(9-128)，得 ki8E(1)rki,k,iu*(p,Q)=1+{(3ki8E(1)rki,k,i把式(9-163)微分两次代入式(9-130)用与二维问题类似的方法得应力表达式中的用与二维问题类似的方法得应力表达式中的为 ="="ij1ij8"rm,mi,jj,i1_山ijm,ms,sm1ij8"rm,mi,jj,i1_山ijm,ms,smm(9-167)2m2m,mi,jj,iijji与二维问题一样，离心力体积力边界积分也可写成ij_ym(rg(nr+nr)+(1_2p)(ng+ng))]}2rssmi,jj,iijmjimWi=jPdTkTk(9-16 在稳态热载荷中，体积力的边界积分项也可写为式(9-154)的表达式，即WT=jPTTdT_jQTTndTkTkTk,jma(1+p)(n_nrr))ijV*ij aE(6)|S=aE" 燃气涡轮发动机等机械含有大量的轴对称体零、部件。这些零、部件用边界元法分析其结构完整性，会使其输入数据和计算时1．轴对称体基本方程及伽辽金矢量eF|用圆柱坐标表示的轴对体的纳维叶方程