第十九章含参量积分

第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含

参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：10学时§1含参量正常积分一.含参积分：以实例2xydy和，2殍地引入.定义含参积分和G3）=K*六时）如含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.含参积分的连续性：Th19.5若函数了3））在矩形域口=［卜5］乂［八』］上连续，则函数在［孔如上连续.在［孔如上连续.（证）P172Th19.8若函数J"）在矩形域D=［a,bMc,d］上连续，函数巧口）和叫⑴在［土知上连续，则屈数瑚*）=葺丫*鸯在也用］上连续.（证）P173含参积分的可微性及其应用:Th19.10若函数m协及其偏导数都在矩形域D=[a,b]y-[c,d]上连续,则函数E（x）=（即积分和求导次序可换）连续,则函数E（x）=（即积分和求导次序可换）.（证）P174Th19.11设函数及其偏导数尤都在矩形域D=[a!b]-x[c,d]上连续，函数巧⑴和顼的定义在[#,如，值域在[八次]上，且可微，则含"私刀G⑴Km/"""在上"微，且烫©=1X烫©=1X/+了化兀⑴⑴顼时1（矽）"⑴.（证）P174例1计算积分：*/小. P176.例2 设函数了（有在点 的某邻域内连续.验证当充分小时，函数沦）沦）的活T阶导数存在，且职*）3）=J3）. P177.§2 含参反常积分含参无穷积分:-12-

含参无穷积分：函数了（死对定义在也^］X［、+co）上（［孔力］可以是无穷区间）.以 砂为例介绍含参无穷积分表示的函数g含参无穷积分的一致收敛性：逐点收敛（或称点态收敛）的定义：寸兀［土知，^MI,引出一致收敛问题.定义（一致收敛性）设函数了"丸定义在［叽知工［J+b）上.若对V^>0?3M>c,使|G了3⑴办J对扁巴［孔饥成立，则称含参无穷积,，・+•»，一__，一一、 分［六石刃妙在［孔如（关于蜀一致收敛.Th19.5（Cauchy收敛准则）积分心=广火"dy在［如上一致收敛，令V^>Or V&业》虬n 面<E对也匕［孔如成立例1证明含参量非正常积分f圣动在［沉+上一致收敛,但在区间（0,+b）内非一致收敛.P1803.含参无穷积分与函数项级数的关系:3.含参无穷积分与函数项级数的关系:含参无穷积分一致收敛判别法：WeierstrassM判别法：设有函数g（力，使在［以档］*［、+由）上+CD -Hd有l?Wr）IW3）・若积分］g⑺妙Os,贝。积分［六石刃妙在例2证明含参无穷积分广竺号血在-s〈JJ〈+co内一致收敛.S1+广P182Dirichlet判别法和Abel判别法： P182含参无穷积分的解析性质：含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.连续性：积分号下取极限定理.Th19.7设函数M病在3档］乂也「+由）上连续.若积分办加在［孔知上一致收敛，则函数此刀在［七知上连续.（化为级数进行证明或直接证明）推论在Th.7的条件下，对V^e［a?5］,有Em「，（口）奸厂川"）砂fflim了（口）豚.可微性：积分号下求导定理.

・+■»Th19.8设函数l/和^在［土B］乂［j・+■»-Kd/（工）=［砂在［孔5］上收敛，积分［兀（码X）必在［孔右］一致收敛.则函数£3）在［』&］上可微，且产（^=『£（兀切衣.3. 可积性：积分换序定理.Th19.9设函数了（E在也”］工［j+b）上连续.若积分“对（瓦丸心在［孔如上一致收敛，则函数此刀在［七知上可积，且有地.例3 计算积分卜Z池弘:m财法,P186四.含参瑕积分简介：§3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数，即「（时和&".它们统称为Euler积分.在积分计算等方面，它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数「（功 Euler第二型积分：1.Gamma函数：考虑无穷限含参积分当时，点A=0还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为f 来讨论其敛散性.f: 时为正常积分.0〈次1时，广七y>0.利用非负函数积的Cauchy判别法，注意到血广（工气*）=1,10<次1时积分f收敛.（易见8=0时，仍用Cauchy判别法判得积分发散）.因此，鼓0时积分/收敛.广：J，广七7=亍+妇TT饥”T+co）对撬eR成立,.因此积分_+g ・ —……j对PseR收敛.综上，M0时积分「广贤*收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了m+由）内的一个函数，称该函数为Gamma函数，记为「⑹，即「缶）=「办， 3》0）.「-函数是一个很有用的特殊函数.「-函数的连续性和可导性：「（司在区间（S+E）内非一致收敛.这是因为$=0时积分发散.这里利用了下面的结果：若含参广义积分在Re"]]内收敛，但在点…发散，则积分在（孔知内非一致收敛.但「缶）在区间（饥+B）内闭一致收敛.即在任何［"］u（S+co）上，一致收敛.因为亦次&时，对积分f,有广％七广/,而积分f器％「认收敛.对积分广，广妇T</%T,而积分收敛.由M—判法，它们都一致收敛，n积分「广/认在区间［"］上一致收敛.作类似地讨论，可得积分3服勺0也在区间（0,5内闭一致收敛.于是可得如下结论：的连续性：「（功在区间（0.+-）内连续.r（s）的可导性：「（矽在区间（S+-）内可导，且J?（广七T）办zi_1g_rln7dx.同理可得：「⑴在区间（0,+8）内任意阶可导，且.凸性与极值：亍％7（血可小》Cl,n「㈢在区间（S+-）内严格下凸.「⑴=「⑵=1（参下段、今「（E）在区间（）内唯一的极限小值点（亦为最小值点）介于1与2之间・4・「向）的递推公式 「-函数表：的递推公式：「*+1)=云(以 0〉0).证(矿*〕公=证(矿*〕公==-X七TS十%广/血=WX^Q^dx=£「(£).「(1)=『血=『/办=1.于是，利用递推公式得：「⑵=ra+d=i「⑴=1,「(3)=「(2+1)=2「(2)=》1=21,「(4)=「(3+1)=3「(可=3'2!=31, ,,一般地有「3+1)=如「(就)=风WT)「伽T)=…=或I.可见，在2*上，「(司正是正整数阶乘的表达式.倘定义E=「(s+1),易见对$》T,该定义是有意义的.因此，可视「(日7)为(-1,+8)内实数的阶乘.这样一来，我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(-L+e)内的所有实数上，于是，自然就有01=「(0+1)=「(1)=1,可见在初等数学中规定0!=1是很合理的.「-函数表：很多繁杂的积分计算问题可化为「-函数来处理.人们仿三角函数表、对数表等函数表，制订了「-函数表供查.由「-函数的递推公式可见，有了「-函数在0<sd内的值，即可对协>0,求得的值.通常把1.00<..<2,00内「-函数的某些近似值制成表，称这样的表为「-函数表也有在0<s<1.00内编制的「-函数表.)

5.函数的延拓:m>0时，「*+1）=W「0）= —.该式右端在时也有意义.用其作为-1CN0时的定义，即把延拓到了（T,0）5L+b）内.-时，依式「（矽=性必，利用延拓后的s「⑴，又可把「⑴延拓到（—2,—睥（-1,。）5°，3内.依此，可把「缶）延拓到（-8,+8）内除去应=F（招=0,1,2,…）的所有点.经过如此延拓后的「但）的图象如P192图表19—2.例1求R4E5）， 「0E5）， 215）.（查表得「(L85)=0,94561.)解「(485)=3,85「(3,舞)=335乂冬5「(285)=3.85x2.35x1.857(1.85)==3.85x2.85x1.85x0.94561=19.19506.「（1出）=。.85「（0出）， n 「（/5）=「二?=二螺'=1.11248.H-M5)=^.n-O5)-2.15 -2.15 -1.15 2.15x1.15-0.15=-——°H-M5)=^.n-O5)-2.15 -2.15 -1.15 2.15x1.15-0.15=-——°94561——=-2.549672.15x1.15x0.156. 「-函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为「-函数.倘能如此，可查「-函数表求得该积分的值.常见变形有:i>令应=刊3》0），有「（司={广妇办=尸'［投七*由,因此，.广,（P）饥E》0）.ii>令x=已与「0）=2］金.注意到P7的结果亍厂喝乂=与,得n>）的一个特殊值「；）=2「次冒=2.2^=7^^1.772454m>令应=一人匝f（1>0）,得「（功= 『七.取光=1得r（s）=£恒： 位=f（_hu）M也例2 计算积分「亍％湿如其中照葬4.二.Beta函数日Sg） Euler第一型积分:1. Beta函数及其连续性：称（含有两个参数的）含参积分f子'（1一办》Q,g》0）为Euler第一型积分.当歹和g中至少有一个小于1时，该积分为瑕积分.下证对#）S闩〉0,该积分收敛.由于尹用〈1时点x=0和x=1均为瑕点.故把积分f分成f和f考虑.1J:歹之1时为正常积分；0＜好＜1时，点q为瑕点.由被积函数非负，/F我a1（1_qE—I,（工—顷）和1—^〈1,（由Cauchy判法）习积分收敛.（易见尸=0时积分f发散）.g: 时为正常积分；0＜尸＜1时，点芫=1为瑕点.由被积函数非负，和 @〈1,（由Cauchy判法）n积分£收敛.（易见#时积分£发散）.综上, "0,3时积分f收敛.设D于是，积分f定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数，记为33,0）,即不难验证，函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续，因此，B-函数是D内的二元连续函数.2. B-函数的对称性:=gp）.证归3"j^xMCl-；r/_1^=====-J0（1-iy1^-1^=

成房）•由于函数的两个变元是对称的，因此，其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.3. 递推公式： B（『十1,0十1）=——-——归3十Lg）.W寸1证日(p+Lg+1)=《廖(1-扪'办=—j^(i-x'E3”'}=*3就*3就而j^m(1-泸*=£[户一(1-A)](l-对E=代入.）式，有磅月A顷-去KEM）,解得占1“7)=—-—召072).p+g+1由对称性，又有剧p+1菖+1）=—巴—君0^+1）.尸+g+l占-函数的其他形式:i>令丫=痒，有|^（1-若尹）勺厂富=

CE』 QJI以 [ii>特别地，m>令兀二土，有月S%）CE』 QJI以 [ii>特别地，m>令兀二土，有月S%）二赤二「总而此,出=&刷,iv>令£= ^,可得b~ab~a［侦P尸修一广1志=（占一qs-1月（翩^）, 渔>0?«>0.v> f————————dx= 3（酬日），@工0,一1,般如。，？？》0.上（盘+沪*妒（1+功”三.「-函数和占-函数的关系：「-函数和E-函数之间有关系式玖函）=(ZSO)玖函）=以下只就尸和9取正整数值的情况给予证明.尸和9取正实数值时，证明用到「-函数的变形和二重无穷积分的换序.证 反复应用E-函数的递推公式，有H—1 —1 W—/ \B伽= 风说』T)= ■ ■■- 目例,1),明十丸一1 -1洗十丸一2洒十1而B(mA)= =—,n_, . -1 «-2 1I-1)!D\^n)= ■ ■■■■ ■——■ =幽+占一1 -2幽+1m(维一1)!=如1)!(济1)!_「3)「(初(酬+出一1)! 「(活十都)特别地，户》0,0且p+q=l或p+g=2时，由于「(1)=「(2)=1,余元公式一一「-函数与三角函数的关系： 对0<^<1，有「。兀(1一我=.该公式的证明可参阅：①uxTeHra^BR,微积分学教程Vol2第3分册，利用余元公式，只要编制出0<s<1时「⑴的函数