浅析幂级数展开式的应用

浅析幂级数展开式的应用摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。关键词：函数；幂级数；展开式AnalysestheApplicationofthePowerSeriesExpansionsAbstract：Functiongenerativepowerseriescansolvealotofdifficulty.Thispaperdiscussedthepowerseriesexpansionsoftheapplicationinsolvingmathproblems.Keywords：function，powerseries，expansion目录0引言 11幂级数的展开 11.1直接展开法 11.2间接展开法 12幂级数展开式的应用 22.1利用幂级数求极限 2幂级数在不等式证明中的应用 2幂级数在组合恒等式中的应用 3应用幂级数求高阶导数 4应用幂级数展开式推导欧拉公式 5求非初等函数的原函数 5利用幂级数求数项级数的和 62.8幂级数在微分方程中的应用 72.9幂级数应用于近似计算 83结束语 11参考文献 11致谢 12浅析幂级数展开式的应用0引言形如的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算.1幂级数的展开函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法.1.1直接展开法直接展开法是比较麻烦的.首先，函数的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项，即使在初等函数中也是比较困难的.1.2间接展开法间接展开法是根据函数的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有：（1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式；（2）应用逐项求导或逐项积分法；（3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等；（4）用待定系数法.这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法.2幂级数展开式的应用幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.利用幂级数求极限例1求极限.解因为所以我们可以得到又因为所以幂级数在不等式证明中的应用例2证明不等式.证明因为而由于所以就可以得到幂级数在组合恒等式中的应用例3证明.证明由于所以是展开式的系数，同理可得是展开式的系数从而得到是展开式的系数又所以应用幂级数求高阶导数例4设，求.解由题目知令，则上式就为由此可以得到应用幂级数展开式推导欧拉公式例5试用幂级数展开式推导欧拉公式：.解当为实数时，由指数函数的幂级数展开式知用纯虚数代替变量，有由于，，，，，从而得到即在式中以替换可得由两式可得求非初等函数的原函数例6求连续函数的原函数.解由积分知识我们可知的原函数为因为令，从而得到对幂级数在收敛区间内逐项求积分得利用幂级数求数项级数的和例7计算数项级数的和.解首先构造一个辅助幂级数使其符合下面条件：使为幂级数当取特定值时的结果辅助幂级数容易求和本题取辅助级数，此时其收敛域为，然后求辅助幂级数的和函数记从而得到所以幂级数在微分方程中的应用例8求方程满足初始条件，的特解.解设是的特解则由，得，将与代入中得由于左边恒等于零，则各项系数必为零，即由此可以得到和递推公式由得，进而得到皆为；由得，进而得到皆为；由得，．故所求特解为：幂级数应用于近似计算函数值的计算例9计算的近似值，使之绝对误差不超过.解因为由令得由于所以例10计算，绝对误差不超过.解设，则两边积分得令得当时所以积分的近似值计算例11计算的近似值，使之绝对误差不超过.解因为所以就可以得到这是一个交错级数，由于于是有所以积分的符合精度要求的近似值为3结束语幂级数展开式在有些数学计算中提供了捷径，它有许多方便的运算性质，在研究函数方面成为一个很有力的工具.参考文献[1]：425～427.[2]刘玉琏.傅沛仁编;数学分析讲义[M].高等教育出版社,1992：61.[3]张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报.2005年S1期：95.[4]钟玉泉．复变函数论[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2003：164～165.[5]华东师范大学数学系．数学分析（下册）[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2001：52～60.[6]王高雄．常微分方程[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2007：173～174.[7]吉米多维奇．数学分析习题解（四）[Ｍ]．山东：山东科技出版社，1999：637～674.致谢本文是在张老师精心指导和大力