2023年高考第二次模拟考试试卷数学（甲卷文科）（全解全析）

年高考数学第二次模拟考试卷文科数学·全解全析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解指数不等式即对数不等式取交集即可.【详解】由题意得，所以.故选：B.2．年月某市星级酒店经营数据统计分析如下图（“同比”指与去年同期相比）：下列说法错误的是（

）A．整体来看，年月该市星级酒店平均房价相对上一年有所提高B．年月该市星级酒店平均房价的平均数超过元C．年月这个月中，该市星级酒店在月份的平均房价创下个月来的最高纪录D．年月该市星级酒店平均房价约为元【答案】D【分析】根据折线统计图和条形统计图逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由图可知，仅有月同比增速为，其余个月同比增速均为正数，故A正确；对于B选项，由图可知个数据的平均数为，故B正确；对于C选项，由图可知这个月的数据中，第个月的最大，故C正确；对于D选项，由，得年月该市星级酒店平均房价大于元，故D错误．故选：D.3．已知复数，则的实部为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，进而可得，即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，所以的实部为.故选：A.4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在处函数值的正负排除B和C,得出结果.【详解】,为偶函数,排除A.,排除B和C.故选:D.5．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有，设，由双曲线定义可知：，由余弦定理可知：，故选：B6．已知函数，，，则函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】先求时，函数的零点，再根据为偶函数，可得时，函数还有一个零点，由此可得答案.【详解】当时，，所以不是函数的零点，因为，所以，所以为偶函数，当时，，，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值，所以当时，有唯一零点，又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，综上所述：函数的零点个数为.故选：A7．已知某几何体的主视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由三视图的定义，结合正视图和左视图得图形相同，对题目中的图形进行分析,即可得到结论．【详解】对于④，中间是正三角形，它与正视图和左视图中矩形的宽度不一致，所以④不能作为该几何体的俯视图图形；对于其余4个图形，中间图形与正视图和左视图的矩形宽度一致，可以作为该几何体的俯视图图形；所以满足条件的图形个数为①②③⑤共4个．故选：C．8．在中，点分别在边上，且线段平分的面积，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，再结合基本不等式可求.【详解】设.根据三角形面积公式可得，，，又，.根据余弦定理可得当且仅当时，等号成立，的最小值为.故选：B.9．已知数列的前项和为，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意结合与的关系分析可得数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式和求和公式运算求解.【详解】当时，得，解得；由，得，两式相减得，整理得，故数列是以6为首项，为公比的等比数列，所以，，则．故选：A．10．从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合的所有情况，再根据古典概型公式即可得解.【详解】解：集合的非空子集有共7个，从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，因为，当时，则可为共3种，当时，共1种，同理当时，则可为共3种，当时，共1种，则符合的共有种，所以的概率为.故选：A.11．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的范围和，得到和的值，即可求出的值【详解】由题意，，，∴，，∴，，∴，故选：D.12．函数满足，令，对任意的，都有，若，则（

）A． B．3 C．1 D．【答案】A【分析】根据变形得到，即，再根据，，计算得到，，从而得到，由求出答案.【详解】因为，所以，即，，故，所以是奇函数，令，解得：，故，解得：，则，令，解得：，故，解得：，则，依次可得：，解得：，则，则，故，中，令得：，所以,故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：若，则函数关于对称；若，则函数关于中心对称；若，则是的一个周期第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为______．【答案】【分析】先根据条件求出，，再利用向量的夹角公式计算即可.【详解】由已知，，，又，故答案为：14．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为________．【答案】【分析】根据题意求出球体的半径，再利用勾股定理圆柱的底面半径与高，从而求圆柱的表面积即可.【详解】设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，则其高为，由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，则，因为球的表面积为，所以，则，又因为，即，所以，则，所以圆柱的侧面积为：.故答案为：..15．已知是的最小正周期，若，是的一个极大值点，则当取得最小值时，______．【答案】【分析】根据已知结合三角函数周期与诱导公式得出，即可得出，根据是的一个极大值点得，，，即可得出的最小值为1，则，代入求解即可得出答案.【详解】由题意可知，，则，由得，，所以，又因为，所以，由是的一个极大值点得，，，所以，，又因为，所以的最小值为1，此时，故.故答案为：.16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.【答案】4【分析】先由，判断出，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距.【详解】由题意得，，设，.连接，由，，可知，，，在以为直径的圆上，且，又原点为圆的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，所以，因为，所以，所以，当时，则0，若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，所以，所以，故圆的圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，所以，故椭圆的焦距为.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“，，”的化简､转化，由此得到，，，在以为直径的圆上以及该圆的方程.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．某高校为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），其中女生90名.(1)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(2)在样本数据中，有60名女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”.附：参考公式及临界值表：.【答案】(1)(2)列联表见解析，有的把握【分析】(1)根据频率分布直方图的性质求解；(2)根据独立性检验的定义求解.【详解】（1）由频率分布直方图得.该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率估计值为6分（2）由（1）知，300名学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300.所以有的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分18．已知数列的前n项和为，，，且.(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若等比数列满足，，，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）利用变形可得，进而可证明等差数列并求通项公式；（2）设等比数列的公比为，先通过条件列方程求出，进而可求出，再利用并项求和法求和.【详解】（1）由得，3分，又，数列是以2为首项，2为公差的等差数列；；.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分（2）设等比数列的公比为，则，，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分19．如图，四棱台中，底面ABCD是菱形，点M，N分别为棱BC，CD的中点，，，，．(1)证明：平面平面ABCD；(2)当时，求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，，得，又，所以面ACGE，从而．取点为线段AB的中点，可得，由得，即，证得面ABCD，从而得结论；（2）利用勾股定理可得，菱形ABCD是边长为2的正方形，由面ABCD可知四棱台的高为1，求得即可得出答案.【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线．因为M，N是BC，AD中点，所以，故．又因为，且多面体是四棱台，所以A，C，G，E共面，又，面ACGE，所以面ACGE，又因为面ACGE，所以．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分又因为多面体是四棱台，所以四边形AEFB是梯形．取点为线段AB的中点，连接FK．因为，所以四边形AKFE是平行四边形，故．在中，，故，即，因为MN与AB是相交直线，面ABCD，所以面ABCD，甴面ABFE，所以面面ABCD.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分（2）当MN＝时，，则，所以，故，菱形ABCD是边长为2的正方形.由（1）知，面ABCD，所以四棱台的高为1，．又因为，所以多面体的体积为..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分20．已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的值.【答案】(1)函数增区间为，减区间为(2)【分析】（1）确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得函数的单调区间；（2）求得函数的导数，讨论a的取值范围，确定函数的单调性，确定函数的最值，结合题意，求得a的值.【详解】（1）函数的定义域为当时，，，令得，；令得，或，结合定义域得，∴函数增区间为，减区间为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2）①当时，，∴，∴函数在上是增函数，∴，∴，∴符合题意；7分②当且时，令得，+0-增函数极大值减函数∴，∴，∴不符合题意，舍去；。。。。。。。。。。9分③若，即时，在上，∴在上是增函数，故在上的最大值为，∴不符合题意，舍去，综合以上可得.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分21．已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9．(1)求E的方程；(2)若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的性质得出，即，根据当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，根据得出，即可解出答案；（2）联立，根据韦达定理得出，，即可得出中点，即可得出直线MN的方程为：，由为等边三角形，则，代入化简即可求出答案.【详解】（1）抛物线E：的焦点，准线方程为，所以，故，又因为的最小值为9，所的最小值为，当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，此时，解得，故抛物线E的方程为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2）联立，消去x得，直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，，得，设，，则有，，所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分设线段AB的中点，则，，即，直线MN的斜率，直线MN的方程为：，令，得，即，所以，，又因为为等边三角形，所以，所以，解得，且满足，故所求m的值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的极坐标方程；(2)若，直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由已知可得，进而即可得出曲线C的直角坐标方程.消去参数，可得直线方程为，即可得出直线的极坐标方程；（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，.根据韦达定理得到的关系，代入即可求解；解法二：联立直线与曲线的方程，求出交点的坐标.然后根据两点间的距离公式，求出、的值，代入即可得出结果.【详解】（1