2013年全国高校自主数学模拟试卷十一

（20分 2

<θ<π)zz（20分f(xax28x+3a<0)a,l(a使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立．问：al(a)最大?l(a)．证明你的结论（20分y22pxA(abBa0ab0b22pa)．M是抛物线上的点,设AM,BMM1,M2．M点在抛物线上变动时(M1M2M1M2)M1M2恒过一个定2013年高校自主招生数学模拟试卷十一．选择题（366分若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a–1)+lg(b–1)的值 （B）等于(C)等于 (D)不是与a,b无关的常若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a–5},B={x|3≤x≤22},则能使AA∩B成立的所有a的 （A）{a| (B){a| {a| 各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于 150或 50或

3舍

S40=10(q40－1)=150

Pxa1x2b1x2c10a2x2b2xc20的解集相同a1b1b2Q：b2

．则命题 PPPPPE,F,GABCDAB,BC,CD的中点,C—FG—E arcsin

2+arccos

22

(D)π－arccotEQPEQPFG=P，AM∩EH=QP、QCM、AMAC⊥BD，PQ⊥FG，CP⊥FG，∠CPQC—FG—EAC=2MC=MA=

22+(3)2－(22+(3)2－(2·2·在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共 84对顶点，6对棱中点，3134×6=241249个，选二、填空题(本题满分54分,每小题9分 1

1

解：f(19)=f(6－19)=f(19)．f17)=f(6－17)=f(17)，f15116

现f(x)是[0，1]上的增函数．而 ．故 1719 z(1+i)z2zP,Q,R.P,Q,R不共线时,PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶yQPOxR点为S,点SyQPOxR→→→→→→→→解：OSOPPQPROP+OQOPOR→→=OQ+OR－=+i+2z－z=iz+2z |OS|=5－4sin2θ≤9．即|OS|≤3sin2θ=1θ=4从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同 2C5310的偶数的方法有2－9=51各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样 △=(n－1)2－4(2n2－2n－100)=－7n2+6n+401≥0n≤8．n=8，则－4≤a≤－38项．

2

2)2≤0

2)2≤0若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点则实数a的取值范围是 ∴△=(4a－1)－16(a－1)=－8a+17≥0．a≤8两根皆负时 －1<a<1a<a<－1．∴－1≤a≤ ABC中,C=90o,B=30o,AC=2,MAB的中点.将ACMCM折起,A,B22M2D22M2D23

，此时三棱锥A－BCM的体积等 AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 2 CMAD⊥CM，ADBCEAD=3，DE=3，CE=3 BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，cos∠ECA=3 2 2M∴2 2M

3．AD2=AE2+ED2，AEBCMAEA－BCM的高，AE=2．3B2S△BCM=3，VA—BCM=3（20分 2

<θ<π)zzπ

2

cosπ

π

—

2π

2π

π2当<θ<πz=－2cos2

2+isin2π =－2cos(4+2)(cos(4－2)+isin(4 4（20分f(x)=ax28x+3(a<0)a,l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立．问：al(a)最大?l(a)4 f(x)＝a(x+a)+3a(1)3a＞5，即－8＜a＜0

(2)3a≤5a≤－8

－8－

综合以上，l(a)=

1+a≤－8

5－8+ 5当－8＜a＜0

＜ 1+a＝－8时，l(a)取得最大值2（20分y2=2pxA(abBa,0),(ab0b22pa).M是抛物线上的点,设AM,BMM1,M2．M点在抛物线上变动时(M1,M2M1M2.)M1M2恒过一个定 yMyM xA