2023年高考压轴题跟踪演练数学系列（全6套）

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备战2023高考数学――压轴题跟踪演练系列一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

?抛物线方程为:y2?4x………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?,?c=1…（2分）对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22?a?1?2?a?1?22??2?3?22………………（4分）?b2?a2?c2?2?22?椭圆方程为：x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2?a??2?1?a?2?3?22?b?2?c?2?a?2?22?2?双曲线方程为：x2?y2?1………………（6分）3?2222?2（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H

?x?3y1?,?………………（7分）令A?x1,y1?,?C?122??112?DC?AP??x1?3??y1222x1?31CH??a??x1?2a??3222112222??DH?DC?CH???x1?3??y12???x?2a?3????4?14???a-2?x1?a2?3a当a?2时,DH??4?6?2为定值;?DE?2DH?22为定值此时l?的方程为：x?22…………（12分）2．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点??Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；

??an,?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k??bn,?n为偶数?值；若不存在，说明理由；

an?1an??0成立，求正数a的取值范围.（Ⅲ）对任意正整数n，不等式

?n?2?an1??1??1??1???1????1???b1??b2??bn?

解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1?an?1?an?d?1?an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1,?bn?2n?1??n?5,?n为奇数?（Ⅱ）f?n???………………（5分）

2n?1,n为偶数????当k为偶数时，k?27为奇数，?f?k?27??4f?k?…………（4分）

?k?27?5?4?2k?1?,?k?4当k为奇数时，k?27为偶数，?2?k?27??1?4?k?5?,?k?35?舍去?2……（8分）综上，存在唯一的k?4符合条件。an?1an??0（Ⅲ）由??????n?2?an111?1???1????1???b1??b2??bn?即a??1??1??1??1???1????1??2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1??1???1????1??2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1??1?1?1??1?1?????????2n?5?b1??b2??bn??bn?1?12n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3?1记f?n???f?n?1????f?n?1?f?n?2?4n2?16n?164n?16n?15?f?n?1??f?n?,即f?n?递增，?f?n?min?f?1???0?a?4515………………（14分）3.（本小题总分值12分）将圆O:x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线C.(1)求C的方程;(2)设O为坐标原点,过点F(3,0)的直线l与C交于A、B两点,N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证:OE?2ON的充要条件是|AB|?3.解:(1)设点P(x?,y?),点M的坐标为(x,y),由题意可知?22221445?,3155??x??x,………………(2分)

?y??2y,x2?y2?1.又x??y??4,∴x?4y?4?4x2?y2?1.………………(4分)所以,点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),点N的坐标为(x0,y0),

㈠当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N就是原点O,

不合题意,舍去;………………(5分)㈡设直线l:x?my?3,

??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①

3m,………………(6分)

m2?43m23m2?4343∴x0?my0?3??2,??22m?4m?4m?4433m∴点N的坐标为(2,?2).………………(8分)m?4m?48323m①若OE?2ON,坐标为,则点E的为(2,?2),由点E在曲线C上,m?4m?44812m24222得,即∴m?8(m??4舍去).??1m?4m?32?0,2222(m?4)(m?4)∴y0??12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1,m2?4m2?4又|x1?x2|?|my1?my2|?|m(y1?y2)|,∴|AB|?m2?1|y1?y2|?3.………………(10分)4(m2?1)2m?8.?3,②若|AB|?3,由①得∴2m?4362∴点N的坐标为(,?),射线ON方程为:y??x(x?0),362?23?2x??x(x?0)?y???3∴点E的坐标为(23,?6),由?解得?233?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.综上,OE?2ON的充要条件是|AB|?3.………………(12分)1(x?R).x4?211(1)试证函数f(x)的图象关于点(,)对称;24n(2)若数列{an}的通项公式为an?f()(m?N?,n?1,2,?,m),求数列{an}的前m项和mSm;11112(3)设数列{bn}满足:b1?,bn?1?bn?bn.设Tn?.????3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n,Sn?Tn恒成立,试求m的最大值.

11解:(1)设点P0(x0,y0)是函数f(x)的图象上任意一点,其关于点(,)的对称点为P(x,y).

244.（本小题总分值14分）已知函数f(x)?

?x?x01??x?1?x0,??2?2由?得?1y?y1y??y0.0???2??4?21所以,点P的坐标为P(1?x0,?y0).………………(2分)

21由点P0(x0,y0)在函数f(x)的图象上,得y0?x.

40?214x04x0∵f(1?x0)?1?x??,x0x004?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x,?y0)在函数f(x)的图象上.∴点P,0224?22(4x0?2)211∴函数f(x)的图象关于点(,)对称.………………(4分)241kk1(2)由(1)可知,f(x)?f(1?x)?,所以f()?f(1?)?(1?k?m?1),2mm2km?k11)?,?ak?am?k?,………………(6分)即f()?f(mm22由Sm?a1?a2?a3???am?1?am,………………①得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am,………………②由①＋②,得2Sm?(m?1)?∴Sm?1m?11m1?2am??2???,226261(3m?1).………………(8分)1212(3)∵b1?,bn?1?bn?bn?bn(bn?1),………………③3∴对任意的n?N?,bn?0.………………④1111111由③、④,得.???,即??bn?1bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1111111111∴Tn?(?.……………(10分))?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列.n?0,∴Tn关于n递增.当n?2,且n?N?时,Tn?T2.11144452,b2?(?1)?,b3?(?1)?,33399981175∴Tn?T2?3??.………………(12分)b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6,∴m的最大值为6.……………(14分)∴Sm?5212523939225．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点.

（1）当AE?AF时，求?AEF的面积；

y（2）当AB?3时，求AF?BF的大小；（3）求?EPF的最大值.AP?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2M?AEF2m?n?82?FExO∵b1?B

（2）因??AE?AF?4??AB?AF?BF?8，

BE?BF?4??则AF?BF?5.

（1）设P(22,t)(t?0)tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

32232?222t223，?)?(1?)???22?1tttt?6t?6t33当t?6时，tan?EPF???EPF?30?

3212Sn6．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，32Sn?1a（2）求Sn的表达式及limn的值；n??S2n?(（3）求数列?an?的通项公式；（4）设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn.22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)2Sn?1SnSn?1所以??1?1.?是等差数列.则Sn?S2n?1?n?liman22?lim???2.n??S2n??2S?12limSn?1nnn??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?11?2??2，2n?12n?14n?1?1n?1????3综上，an??.?2?n?2???1?4n2111,b?（3）令a?，当n?2时，有0?b?a?（1）2n?12n?131111???法1：等价于求证.332n?12n?1?2n?1??2n?1?当n?