09年高考数学对数函数与指数函数的导数

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09年高考数学对数函数与指数函数的导数

3.5数函对数与数指数函的数

导

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、一复与引习：入.1数函导的的定数与几义何义意2..见常数函的数导式公..导数的四3运算法则则.4.合复函的导数数公式5.由.面几节前课的知,识们我已把握了经初等数函中的幂数函三、角函的数导数但还缺少,指函数数对、数函数的导数,而这是就我们今天新学的要内容.了有数指函、对数数数函的导数,也解就决了等函数初的导性.

可二、

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新——指数、对函数课的导数：1对.函数的导数数:(1x)e.下面给出公式证明,的中用间重到要限极imlx0证:yf(xln)x,xxxylnx(x)nlxnlln(1;)xxx

1(1)(lnx).x1x

1xy1xx1xxnl(1)n(l1)ln(1),xxxxxxxxxxy1xx1xxylmiliml(n1)nll[mi(1)]x0xxxxx0x0x11lne.xx

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1()(l2gaox)loga.ex证利用:对数的换公式即得底:lnx11logael(oagx)().nlalanxx2指数.函数的导数x:1)((e)e.xx()2()aalna(a0a,1).x由于以上个两公式证明的需,用到要函反的数求导法,这则经超出了目已我们的学前习围范,此因在这里们我加不以明证直接拿来使,用.

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、三例选题讲：例:1下求列数的函数:导(1y)=ln2x(+2x3+1)()y2l=g1x2(3)=y2ecosx3(x4y)=a5x14x32(2xx31)2.:(1解)y22x3x1x2x31xlge(1x)2.2)法1:y(222x1x11x1x

2glele

gx

12ylg1xlg(1x);(2法)2:221glxelgey2(1x)2.22x11x2xx22x()3y2eos3cxe(3sin3x)e(2cos3x3sin3).(x)4yax5lna(5x)a55xln.a

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例2:求列下数函导的:数e2xe2x(1yxx;)ee(exex)22xx2xxxx解:ye;ee(e)eex;xxexeeexx22e2(1e)xxxxxxyeexx2(ee)ee.2x2e(e)(1e)1(2)yacosx(a0,a1c)so1x

:设y=a解uu,c=sv,v=1o/x,:则ya()uuvvxau

11lan(sin)(2)xx

lna1si2naxx

osc1x

.

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3例已:知(xf为)导可函数试,以下求数的函数导:f(x)x2xe(1y)f=lnx()(;)2=yf(e);3)y(f=e().1:(1)解y[fl(nx)]f(lxn)(nlx)f(nlx).(2)y[(fex2

)]f(ef(ex2

x

2)(

ex

2)f(exx

2)(ex2)

(2x)

2xe

x

).2(3y)[fex)](f(ex)fe(x)[fe(x)](fex)exf(ex)

fe()x

fe(x)

f(x)xxxf(x)e[f(ee)f(e)f(x)].解此类应注题:(1)分意是清由些哪函复数合而的.成(2)用逐的方法来进行步求导

.

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练:求以下函数习导的:数

1)(y2;()y221

xogl3x

3()y1lx

(n4)ysn(lnix)sinxnlx答案

ln:2()1y22.(x)3y1.x21lnx1x

2lo3gxln2(2)yxln.(4)3ysixnco(lnx)scsolnxx.x

例4

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设:一质点的运规动律为se2tin(st),,为常,试求数=t/21时点质运的速动v0度.2t2t(e)si(nt)e[snit()]解:vste2t(t2)sin(t)e2tcos(t)(t)2e2tin(st)e2ctost().

当t=故1/2时,质点动运速度0v为:10vs|1[2si(n)cso()].t

e22

2

例5:求

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曲线y=lnxx的平行直线x-于+y=10切的线方程解.设:该切与曲线线切相的点切(为0xx,l0x0).n1yxlnxx(nlx)nxlxnlx1.x故线曲点(在x,00lxx0)处n的切斜线率为nl0+x1.由已知可得ln:0+1x=1即,x=01,切故点(为,1).0所所求以切方线程为y-=0x1,-即x-y-1=.练习2:分0别求曲①线=lyoxg;e②yexelnx点在e(1),的处线方程.切案答①:+eyx-e20=,(1+②ex)-e-e2=y0延.伸:设P点是曲线=yex任上意一,点求P到点线直yx的=最距离.小2.案:答2

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例

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6求:列函数下导的:数()y1=x(x0);(x2)=[fyx)(](x)g.:解(1两)取对数边,l得n=xynlx由.y于x的函是,由复数函数合的导法则求上对式两边x求对,可得:导11ylnxx,yy(nlx1),yxx(nlx1).yx()2两取边对,得数ln=yg()lxfn()x,两对边x导求可得:,1f(x)ygx()nlf(x)(gx);yy[g(x)lnf(x)(xg)f()x]f(y)fx(xg()x)f(x)y[f(x)]g[(x)lnf(x)(xg).f(])x明:说()解法1可对ln能y求导易不理,事实上,若解=luy,n1y=f(x,)则uxuyyxf()x.y

(

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)2本用题求的方导习法上惯为称数对导法,即求两先取边对数再对,求导.x般一适于用下两类列函数:①形y如(x-a1=)x-(a2)…x(-n)的函a,取数对后数可(,xa)(x1an)将积化为转的形式和,y或x(b()xb,)n

1取数后对,可转为代数和化形式的②无.函数理或形如y=f[x)(](xg)这类幂函数.指3()数求导对的优点法:是可一使题简问化(积单商、变和、差幂,根变、式)积,二可使较是杂函复数求变为导能可(求无导公变为式求有公导式.)如下又面一题我就们两有不同种的解法:练习

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:用两不同种解法求的数y函2xx的数导方.法:由于一y,0故边取两数,对得lnyn2lxlnx.11ln1x2y(x)nlxx(lnx)lnxx,yxx22xlnx2y2x2xxxx

12

(lnx)2

方.法:二y2xyeln2x2xxxnlx

eln2x

x

e

nl2xlnx.1(nlxx)x2x1

ln2(xlnx)eln2l(nx2)xx21