2023届江西红十校高三9月联考理数答案等

江西“红色十校”2023届高三第一次联考数学理科一、选择题1.已知集合，，则（）A.B.C.D.答案：B解析：因为，，所以，故选B.2.若复数满足，则的虚部为（）A.B.C.D.答案：D解析：因为，所以，故的虚部为，故选D.3.下图是国家统计局月发布的年月至年月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中年月看作个月.现有如下说法：①年月至年月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；②年月至年月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为；③从这个增速中随机抽取个，增速都超过的概率为.则说法正确的个数为（）A.B.C.D.答案：D解析：从年月至年月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；年月至年月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为，故②正确；从这个增速中随机抽取个，都超过的概率，故③正确，故选D.4.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.答案：A解析：因为，所以为奇函数，故排除C，D；又，故排除B，故选A.5.年月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排名工作人员去，等个场馆，其中场馆安排人，其余比赛场馆各人，则不同的安排方法种数为（）A.B.C.D.答案：B解析：分为两步，第一步：安排人去场馆有种结果，第二步：安排其余人到剩余个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为，故选B.6.设函数，若是奇函数，则（）A.B.C.D.答案:B解析：由已知可得，则.因为是奇函数，所以，因为，解得，所以，所以，故选B.7.设，，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：因为且，所以，，，所以，故选A.8.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则（）A.B.C.D.答案：C解析：依题意，，故，又的周期满足，得，所以，得，所以，又，得，，又，所以，所以，所以，故选C.9.“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离.如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的，两地竖起高度均为寸的标杆与，与分别为标杆与在地面的影长，在按影长与的差结合“寸影千里”来推算，两地的距离.记，，则按照“寸影千里”的原则，，两地的距离大约为（）A.里B.里C.里D.里答案：C解析：由题意可知，，所以，所以可以估计A，B两地的距离大约为里，故选C.10.已知，，满足，则的最小值是（）A.B.C.D.答案：D解析：由，得，而，，则有，因此，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选D.11.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，，，若三棱锥的体积最大值为，则球的半径为（）A.B.C.D.答案：D解析：设的外接圆圆心为，依题意可知为正三角形，所以圆的半径，设球的半径为，因为平面，所以，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的高等于，所以，得，解得，故选D.12.若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（）A.B.C.D.答案：A解析：设公共点为，的导数为，在处的切线斜率；的导数为，在处的切线斜率.因为在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即，解得，所以，解得，故选A.二、填空题13.已知向量，，且，则实数________.答案：解析：，因为，所以，解得.14.已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为，则的值为________.答案：或解析：由已知可得，到直线的距离为，解得或.15.已知，，，则________.的最小值是________.答案：解析：由题意得，，，，，所以.又，设，则，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是.16.韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将.历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法.有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数.设有个士兵，若，符合条件的共有________个.答案：解析：由“三三数之，剩二”知，是等差数列，，，，中的项，其中满足“五五数之，剩三”的最小数是，故是等差数列，，，，中的项，其中满足“七七数之，剩四”的最小数是，故是等差数列，，，，中的项，通项公式，令，解得，且，故符合条件的共有个.三、解答题17.在①，，②，③这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题.已知数列的前项和为，，且.（1）求的通项公式；（2）若是，的等比中项，求数列的前项和.答案：见解析解析：（1）若选①，则由，得，即，即，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，，所以的通项公式为.若选②，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，当时，，当，满足上式，所以的通项公式为.若选③，由，得，所以，当时，满足上式，所以的通项公式为.（2）依题意，所以，所以.18.如图，在四棱柱中，平面，底面四边形是正方形，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.答案：见解析解析：（1）证明：设与的交点为，连接.因为底面四边形为正方形，所以，.又点为的中点，所以.因为平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.（2）解：设，则.以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，可得，，.由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则，因为，所以，即平面与平面所成锐二面角的大小为.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求和.答案：见解析解析：（1）设的外接圆半径为，由正弦定理，得，结合余弦定理，得，因为，所以，得，因为，所以.（2）由（1）知，所以，所以，由余弦定理得，，即，解得或（舍去）.综上，，.20.设为坐标原点，椭圆的离心率为，且过点.（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，且的面积是，求证：.答案：见解析解析：（1）由题意得，，解得，所以的方程为.（2）证明：由，消去得，设，，则，所以.点到的距离，所以，所以，即，所以.21.已知函数.（1）求的极值；（2）若函数，，求的极小值的最大值.答案：见解析解析：（1）函数的定义域为，.令，则，所以在上单调递增，且.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时有极小值，无极大值.（2）因为，所以.由（1）知，在上单调递增，当时，；当时，，则有唯一解.当时，；当，时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，且满足.所以.令，则.当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以.所以的极小值的最大值为.四、选做题（二选一）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）与交于，两点，若，求.答案：见解析解析：（1）将的参数方程化为直角坐标方程得，的极坐标方程为.的极坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）将的极坐标方程代入的极坐标方程得.设，所对应的极径分别为，，则，，，，，满足