8动量守恒定律

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在应用动量守恒定律处理问题时，除了要注意定律的适用对象和守恒条件外，还应当把握定律的四个方面的性质和三种特别情形，以及两种处理技巧．一、“四特性质〞

1.系统性——研究对象是相互作用的多个物体组成的系统

2.矢量性——表达式是矢量式，其应用只限于一维的状况（应先规定正方向，

化矢量运算为标量运算）

例1如图1所示，甲、乙两个玩具小车在

光滑水平面上沿同一直线相向运动，它们质量和速度分别为m1=0.5kg，v1=2m/s；m2=3kg，v2=1m/s．两小车相碰后，乙车的速度减小为v2′=0.5m/s，方向不变，求甲车的速度v1′．

v1甲图1

v2乙解析对两小车组成的系统，由于在水平方向上不受外力，所以动量守恒．而

动量守恒定律的表达式是矢量式，应先规定正方向．

设碰前甲车的方向为正方向，则表达式为：m1v1?m2v2?m1v1'?m2v2'．代入数值，解得：v1′=-1m/s，负号表示甲车碰后的速度方向与碰前的速度方向相反．

3.相对性——表达式中各速度应相对于同一参考系，一般选地面

4.同时性——表达式中相关速度存在同时性（即v1、v2为一一致时刻的速度，

v1′、v2′为另一一致时刻的速度）

例2如图2所示，在光滑的水平面上有一辆平

板车，上面站着一个人．已知车的质量为M，人的质量为m，车以速度v0前进．某时刻人突然向后跳离车，设人离车时，相对于车的速度是v，求人跳车后，车的速度v0′．以下几种解法中正确的是：

A.(M?m)?v0?Mv0'?mvB.(M?m)?v0?Mv0'?m(v0?v)C.(M?m)?v0?Mv0'?m(v0'?v)

1

v0v0′图2

解析三个选项的不同之处在于对末状态人的动量的表示.．．．

选项A，考虑了矢量性：人的速度为-v；但不满足相对性：人的速度应为相对于地的速度，不是相对于车的速度v.

选项B，考虑了相对性：人的速度为v0-v，是对地的速度；但不满足同时性：v0-v中的v0不是末态的速度.

选项C，既满足矢量性，又满足相对性和同时性：人的速度应是v0′-v，等于末状态车的速度v0′与人相对车的速度v之差，为末状态人对地的速度.

所以选项C正确.

二、“三种特例〞

1.单向守恒——假使系统所受合外力不为零，但在某方向所受合外力为零时，

则在此方向单向守恒

v0h例3如图3所示，内装砂子的小车总质量为

M，静止在光滑水平面上，在小车上方距砂子表面高为h处以速度v0水平抛出质量为m的铅球，铅球落入车内砂子中后，与小车一起运动，试求小车的运动速度．

图3

解析铅球落入砂子中后，铅球和砂子构成

的系统在竖直方向上所受合外力不为零，所以系统的总动量并不守恒．但在水平方向上，系统不受外力，因而在水平方向上动量守恒．

因此有：mv0?(M?m)v?v?mM?m?v0

2.近似守恒——假使系统所受合外力不为零，但当内力远大于外力时，可近

似认为系统的动量守恒

例4如图4所示，质量为m的子弹以速度v0从正

下方向上击穿一个质量为M的木球．若击穿后木球上升的高度为H，求击穿木球后子弹还能上升多高？

v0图4

解析选子弹和木球为系统．子弹击穿木球时，它

们除受相互间的作用力外还受重力的作用，系统所受合

外力不为零．但由于作用时间极短，相互作用的内力很大，远远大于系统所受的重力，所以系统的动量近似守恒．

2

设子弹击穿木球后，子弹的速度为v，木球的速度为V，由动量守恒定律，有：mv0?mv?MV

子弹击穿木球后，二者均做竖直上抛运动．设子弹上升的高度为h，木球上升的高度为H，则有：v2?2gh，V由以上三式解得：h?

2?2gH．

2gh)22(mv0?M2gm3.平均守恒——假使系统在整个过程中任意两时刻的总动量都相等，则在全

过程中平均动量必定守恒

例5长为L，质量为M的船停在静水中，一

个质量为m的人站在船的左端，如图5所示．当人从船的左端走到右端的过程中，船的位移为多大？（水对船的阻力忽略不计）

s2L图5

s1解析对人和船组成的系统，由于在水平方向

不受外力，所以系统在整个过程中任意两时刻的总动量都相等．

可以证明，在整个过程中，有：mv1?Mv2?0,(v1、v2为人和船的平均速度)

由于人、船运动的时间相等，则有：ms1?Ms2?0,(s1、s2为人和船的对地位移)

由图中几何关系，可知：s2?L?s1，可得：s2?mM?m?L

三、“两个技巧〞

1.巧选对象——根据需要，有时选取适当的研究对象，会使问题“迎刃而解〞例6总质量为M的火车，沿平直轨道以速度v0匀速前进，质量为m的末节

车厢突然脱钩，最终停下，若机车的牵引力是恒定的，且运动的阻力与车重成正比，则末节车厢刚停下来的时刻，列车其余部分的速度为多大？

F牵F阻=kMg解析假使分别选末节车厢和列车

其余部分为研究对象，则解决过程较繁杂．现将末节车厢和列车其余部分看作一个有关联的整体，从脱钩后到末节车

F牵F前阻=k(M?m)gF后阻=kmg

图6

厢中止前的这段时间内，系统所受外力的合力为零，如图6所示：

3

所以系统在此过程中动量守恒，有：

Mv0?(M?m)v?m?0，则：v?MM?m?v0

2.巧选过程——对多过程问题，可以不追究中间的具体细节，而只考虑初末

两个状态

例7如图7所示，两辆质量一致的小车，

静止在光滑的水平面上，A车上有一人先从A车跳到B车上，接着又从B车跳回A车．则最终A车的速率：

A.等于零B.小于B车速率C.等于B车速率D.大于B车速率

图7

ABAB解析若对人在两车间“跳来〞、“跳去〞的各个过程分析，此题很繁琐．若

以A、B两车与人组成的系统为研究对象，在整个跳的过程中，系统在水平方向不受外力，所