f分布t分布与卡方分布

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§1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布

卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2当X1、X2、、Xn相互独立且都听从N(0,1)时，Z=X…?i的分布称为自由度等于n的?2分布，记作Z～?2(n)，它的分

nz?1?1??nx2e2,z?0布密度p(z)=?n??22??????2??0,其他,?i?n???式中的???=?0u?2?n?1?u2edu，称为Gamma函数，且??1?=1，

?1?=π。?2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z????2?相互独立，且Y～?2(n)，Z～?2(m)，则Y+Z～?2(n+m)。证明:先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独…、…、立且都听从N(0,1)，再根据?2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

2222+X2+2Y=X12…+Xn，Z=Xn?1+Xn?2+…+Xn?m，

22+X2+2+X2+X2Y+Z=X1+X++X……n?1n?2n?m，2n即可得到Y+Z～?2(n+m)。

2.t分布若X与Y相互独立，且

Y的分布称为自由度X～N(0,1)，Y～?2(n)，则Z=Xn等于n的t分布，记作Z～t(n)，它的分布密度P(z)=

n?1?1?(n2)?z2???1??2n??n?n?(2)?106

。

请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t

分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3.F分布若X与Y相互独立，且X～?2(n)，Y～?2(m)，则Z=

XnY的分布称为第一自由度等于n、其次自由度等于mm的F分布，记作Z～F(n,m)，它的分布密度

?nmnn?m??n2m2???1???z2?2???,z?0p(z)=?n?mnm???????????(m?nz)2?2??2???0,其他。?请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度

1的次序有关，当Z～F(n,m)时，～F(m,n)。

Z4.t分布与F分布的关系

2若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。证：X～t(n)，X的分布密度p(x)=

?n?1?????2??n?nπ????2?n?1?x2???1??2。??n??Y=X2的分布函数FY(y)=P{Y0时，FY(y)=P{-yλ}=1-F(λ)=α的数λ，双侧α分位数是使P{Xλ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。由于1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；

F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u

1-0.5α分位数记作u1-0.5α。0.5α，

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当X～N(0,1)时，P{Xu1-α}=1-F0,1(u1-α)=α，

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，

u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-2.326，u0.025=-u0.975=-1