微积分旋转体体积

第四节微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

现在是1页\一共有66页\编辑于星期三现在是2页\一共有66页\编辑于星期三现在是3页\一共有66页\编辑于星期三现在是4页\一共有66页\编辑于星期三现在是5页\一共有66页\编辑于星期三现在是6页\一共有66页\编辑于星期三现在是7页\一共有66页\编辑于星期三现在是8页\一共有66页\编辑于星期三现在是9页\一共有66页\编辑于星期三现在是10页\一共有66页\编辑于星期三现在是11页\一共有66页\编辑于星期三变上限积分的求导公式现在是12页\一共有66页\编辑于星期三现在是13页\一共有66页\编辑于星期三现在是14页\一共有66页\编辑于星期三定积分的换元法现在是15页\一共有66页\编辑于星期三现在是16页\一共有66页\编辑于星期三现在是17页\一共有66页\编辑于星期三现在是18页\一共有66页\编辑于星期三现在是19页\一共有66页\编辑于星期三现在是20页\一共有66页\编辑于星期三现在是21页\一共有66页\编辑于星期三现在是22页\一共有66页\编辑于星期三现在是23页\一共有66页\编辑于星期三现在是24页\一共有66页\编辑于星期三第五节广义积分现在是25页\一共有66页\编辑于星期三现在是26页\一共有66页\编辑于星期三现在是27页\一共有66页\编辑于星期三现在是28页\一共有66页\编辑于星期三现在是29页\一共有66页\编辑于星期三现在是30页\一共有66页\编辑于星期三现在是31页\一共有66页\编辑于星期三现在是32页\一共有66页\编辑于星期三现在是33页\一共有66页\编辑于星期三现在是34页\一共有66页\编辑于星期三◆定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（演示）定积分的元素法（演示）应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx和积分区间[a,b]。一般地：若所量U与变量的变化区间[a,b]有关，且关于[a,b]具有可加性，在[a,b]中的任意一个小区间[x,x+dx]上找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式这种方法叫做定积分的元素法。dU=f(x)dx称为所求量U的元素。现在是35页\一共有66页\编辑于星期三◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、由x=a，x=b,y=0及y=f(x)所围成的平面图形的面积为2、由x=a，x=b,y=f(x)及y=g(x)所围平面图形的面积为3、由y=c，y=d,x=0及x=φ(y)所围平面图形的面积为现在是36页\一共有66页\编辑于星期三

◆平面图形的面积例题选举例1计算由及所围成的图形的面积。例2计算由曲线和所围成的图形的面积。例3计算由和所围成的图形的面积。例4求椭圆的面积。解现在是37页\一共有66页\编辑于星期三练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴（3）现在是38页\一共有66页\编辑于星期三练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）现在是39页\一共有66页\编辑于星期三一般地：如右图中的阴影部分的面积为练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或现在是40页\一共有66页\编辑于星期三12法一：以y作积分变量法二：以x作积分变量（7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。现在是41页\一共有66页\编辑于星期三例4求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线解由图形的对称性可得ab现在是42页\一共有66页\编辑于星期三旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）

旋转一周所得的立体（演示）。可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴。最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴旋转的情形。◆旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。现在是43页\一共有66页\编辑于星期三aby=f(x)dcx=g(y)◆旋转体的体积计算公式1、旋转轴为x轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（a<b,f(x)>0)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（c<d,g(y)>0)所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为y轴（演示）现在是44页\一共有66页\编辑于星期三oxyP(h,r)◆旋转体的体积计算公式例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r，高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解如图所示任取，形成区间体积元素为直线OP的方程为所求体积为现在是45页\一共有66页\编辑于星期三返回例3计算由曲线y=x2

与x=y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的立体的体积。解如图所示V2V1现在是46页\一共有66页\编辑于星期三◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周绕x轴旋转一周现在是47页\一共有66页\编辑于星期三◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周现在是48页\一共有66页\编辑于星期三1y=x31y轴轴◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周绕y轴旋转一周1y=x3y现在是49页\一共有66页\编辑于星期三21◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周现在是50页\一共有66页\编辑于星期三例4求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223x4现在是51页\一共有66页\编辑于星期三问题的提出返回现在是52页\一共有66页\编辑于星期三定积分元素法分析返回现在是53页\一共有66页\编辑于星期三定积分元素法返回现在是54页\一共有66页\编辑于星期三平面图形的面积（直角坐标）返回现在是55页\一共有66页\编辑于星期三求面积例题1返回现在是56页\一共有66页\编辑于星期三面积例题2返回现在是57页\一共有66页\编辑于星期三求面积例题3返回现在是58页\一共有66页\编辑于星期三例4求椭圆面积返回现在是59页\一共有66页\编辑于星期三旋转体概念返回现在是60页\一共有66页\编辑于星期三旋转体实例圆锥返回现在是61页