九年级（初三）数学上册同步测试卷单元练习题加强训练题

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一元二次方程

21.1__一元二次方程__[见A本P2]

1．以下方程中是关于x的一元二次方程的是(C)1

A．x2＋2＝0

x

B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0

A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．

2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)

A．5，6，－8B．5，－6，－8C．5，－6，8D．6，5，－8

5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.

3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则(B)A．a>0B．a≠0C．a＝1D．a≥0

一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，应选B.

4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为(A)A．1B．－1C．2D．－2

由于x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1.

5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则以下方程不正确的是(C)

图21－1－1

A．x(x＋5)＝25B．x2＋5x＝25

C．x2＋5x－20＝0D．x(x＋5)－25＝0

大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.

1

6．以下关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有(C)

①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个

把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．

7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．

8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参与比赛？学习以下解答过程，并完成填空．

1

解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打__x－1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__x(x

2111

－1)__．根据题意，可列出方程__x(x－1)＝28__．整理，得__x2－x＝28__．化为一般式，

222得__x2－x－56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__．1

设应邀请x支球队参赛，则每队共打(x－1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为

2x(x－1)．

1

根据题意，可列出方程x(x－1)＝28.

211

整理，得x2－x＝28，

22

化为一般式为x2－x－56＝0.

二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.9．《九章算术》“勾股〞章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？〞大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)

假使设门的宽为x尺，那么这个门的高为(x＋6.8)尺，根据题意，得__x2＋(x＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x2＋13.6x－53.76＝0__．

1

10．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写

2出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：

1

(1)以下式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序

2号)__①②④⑤__．

11

①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤3x2－23x－4322＝0.

2

1

(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项

2之间具有什么关系？

解：(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a、常数项为－4a.

11．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2023－a－b的值是(A)

A．2023B．2023C．2023D．2023

∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个根，∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5，

∴2023－a－b＝2023－(a＋b)＝2023－(－5)＝2023.12．[2023·黔西南]已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab的值是__1__.

∵x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1

∴a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝(－1)2＝1.

13．若方程4xk1＋3x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为__3__．∵此方程是一元二次方程，∴k－1＝2，∴k＝3.

14．翠湖公园有一块长为32m，宽为20m的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之〞字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为xm，剩下的空地面积为540m2，请列出关于x的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．

－

图21－1－2

解：将图形中的“之〞字路进行平移得到如下图的图形．依题意得(32－x)(20－x)＝540，

整理，得一般形式为x－52x＋100＝0，

二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100.

2

3

2013

15．已知m是方程x2－2013x＋1＝0的一个根，试求代数式m2－2012m＋2的值．

m＋1解：∵m为方程x2－2013x＋1＝0的根，∴m2－2013m＋1＝0，

即m2－2013m＝－1，m2＋1＝2013m，

201320131

∴m2－2012m＋2＝m2－2013m＋m＋＝－1＋m＋.又由m2－2013m＋1＝0，

2013mmm＋11

两边同除以m得m＋＝2013，

m∴原式＝－1＋2013＝2012.

解一元二次方程

21．2.1配方法

第1课时用直接开平方法解一元二次方程[见B本P2]

1．一元二次方程x2－25＝0的解是(D)A．x1＝5，x2＝0B．x＝－5C．x＝5D．x1＝5，x2＝－5

2．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D)A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4

3．若a为一元二次方程(x－17)2＝100的一个根，b为一元二次方程(y－4)2＝17的一个根，且a，b都是正数，则a－b等于(B)A．5B．6

C.83D．10－17

(x－17)2＝100的根为x1＝－10＋17，x2＝10＋17，由于a为正数，所以a＝10＋17.(y－4)2＝17的根为y1＝4＋17，y2＝4－17，由于b为正数，所以b＝4＋17，所以a－b＝10＋17－(4＋17)＝6.

4．解关于x的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是(B)A．有两个解x＝±n

B．当n≥0时，有两个解x＝±n－m

C．当n≥0时，有两个解x＝±n－mD．当n≤0时，无实数解5．若关于x的方程(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为(B)A．1B．8C．16D．61

c±60

原方程可化为(3x－c)2＝60，3x－c＝±60，3x＝c±60，x＝.由于两根均

3为正数，所以c＞60＞7，所以整数c的最小值为8.应选B.

4

6．一元二次方程x2－4＝0的解是__x＝±2__．

7．当x＝__－7或－1__时，代数式(x－2)2与(2x＋5)2的值相等．由(x－2)2＝(2x＋5)2，得x－2＝±(2x＋5)，即x－2＝2x＋5或x－2＝－2x－5，所以x1＝－7，x2＝－1.

8．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__±7__．

把x＝2代入方程x2－x－a2＋5＝0得22－2－a2＋5＝0，即a2＝7，所以a＝±7.9．在实数范围内定义运算“☆〞，其规则为：a☆b＝a2－b2，则方程(4☆3)☆x＝13的解为x＝__±6__．

4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x＝72－x2，∴72－x2＝13.∴x2＝36.∴x＝±6.x2－410．假使分式的值为零，那么x＝__－2__．

x－2由题意得x2－4＝0且x－2≠0，∴x＝－2.11．求以下各式中的x.(1)x2＝36；

(2)x2＋1＝1.01；(3)(4x－1)2＝225；(4)2(x2＋1)＝10.

解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝0.1，x2＝－0.1；7

(3)x1＝4，x2＝－；

2(4)x1＝2，x2＝－2.

12．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根．则m的取值范围是(B)3

A．m≥－B．m≥0

4

C．m≥－1D．m≥2

(x＋1)2－m＝0，(x＋1)2＝m，

∵一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，∴m≥0.

13．已知等腰三角形的两边长分别是(x－3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是(C)A．2或4B．8C．10D．8或10

开方得x－3＝±1，即x＝4或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，则周长为10.应选C.

14．解以下方程：(1)[2023·永州](x－3)2－9＝0；(2)(2x－3)(2x－3)＝x2－6x＋9；

(3)(2x＋3)2－(1－2)2＝0.解：(1)(x－3)2＝9，x－3＝±3，∴x1＝0，x2＝6；(2)原方程可化为(2x－3)2＝(x－3)2，两边开平方得2x－3＝±(x－3)，

即2x－3＝x－3或2x－3＝－(x－3)，

5

∴x1＝0，x2＝2；

(3)原方程可化为(2x＋3)2＝(1－2)2，∴2x＋3＝±(1－2)．

∴2x＋3＝1－2或2x＋3＝－(1－2)．∴x1＝－1－

22，x2＝－2＋.22

15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s(单位：米)与标枪出v2

手的速度v(单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s＝＋2，假使抛出48米，

9.8试求标枪出手时的速度(确切到0.1米/秒)．v2

解：把s＝48代入s＝＋2，

9.8v2

得48＝＋2，v2＝46×9.8，

9.8

∴v1≈21.2，v2≈－21.2(舍去)．

答：标枪出手时的速度约为21.2米/秒．

23

16．已知＝，求关于x的方程x2－3m＝0的解．

m－1m23解：＝，方程两边同时乘m(m－1)，

m－1m得2m＝3(m－1)，解得m＝3，经检验m＝3是原方程的解．将m＝3代入方程x2－3m＝0，则x2－9＝0，解得x＝±3，

即关于x的方程x2－3m＝0的解为x1＝3，x2＝－3.

17．已知a＋b＝4n＋2，ab＝1，若19a2＋150ab＋19b2的值为2012，求n.

解：∵19a2＋150ab＋19b2＝19(a＋b)2－38ab＋150ab＝19(a＋b)2＋112ab，且a＋b＝4n＋2，ab＝1，

又19a2＋150ab＋19b2的值为2012，∴19×(4n＋2)2＋112×1＝2012，即(4n＋2)2＝100，∴4n＋2＝±10，当4n＋2＝10时，解得n＝2；

当4n＋2＝－10时，解得n＝－3.故n为2或－3.

6

第2课时用配方法解一元二次方程[见A本P4]

1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝2

1

2．用配方法解方程x2－x－4＝0时，配方后得(C)

3333939x－?＝B.?x－?＝－A.??2??2?44357

x－?＝D．以上答案都不对C.??2?4

357

x－?＝.先把方程化为x－3x－12＝0，再移项得x－3x＝12，配方得??2?4

2

2

22

2

2

3．若一元二次方程式x2－2x－3599＝0的两根为a，b，且a＞b，则2a－b之值为(D)

A．－57B．63C．179D．181x2－2x－3599＝0，移项得x2－2x＝3599，x2－2x＋1＝3599＋1，即(x－1)2＝3600，x－1＝60，x－1＝－60，解得x＝61或x＝－59.∵一元二次方程式x2－2x－3599＝0的两根为a，b，且a＞b，

∴a＝61，b＝－59，∴2a－b＝2×61－(－59)＝181.

4．关于x的一元二次方程x2－5x＋p2－2p＋5＝0的一个根为1，则实数p的值是(C)A．4B．0或2C．1D．－1

把x＝1代入原方程有1－5＋p2－2p＋5＝0，即p2－2p＋1＝0，∴(p－1)2＝0，∴p＝1.

5．把以下各式配成完全平方式：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；

1?21?2

(2)x±__x__＋＝?x±2?.

4

6．若方程x2＋6x＝7可化为(x＋m)2＝16，则m＝__3__．7．当m＝__±12__时，x2＋mx＋36是完全平方式．

∵x2＋mx＋36＝x2＋mx＋62是完全平方式，∴m＝±2×1×6，∴m＝±12.8．用配方法解一元二次方程：(1)x2－2x＝5；(2)2x2＋1＝3x；

(3)2t2－6t＋3＝0；(4)6x2－x－12＝0；(5)2y2－4y＝4；(6)x2＋3＝23x；(7)x2－2x＝2x＋1.

解：(1)配方，得(x－1)2＝6，∴x－1＝±6，

∴x1＝1＋6，x2＝1－6；(2)移项得2x2－3x＝－1，

31

二次项系数化为1得x2－x＝－，

22

7

3?3?21?3?2

配方得x－x＋?4?＝－＋?4?，

223?21?即?x－4?＝，

16

2

311∴x－＝±，解得x1＝1，x2＝；

4423(3)移项、系数化为1得t2－3t＝－，

2939

配方得t2－3t＋＝－＋，

42433

t－?＝，即??2?433开方得t－＝±，

223＋33－3

∴t1＝，t2＝.

22(4)移项，得6x2－x＝12，x

二次项系数化为1，得x2－＝2，

61?2x?1?2?配方，得x－＋?12?＝2＋?12?，

61?2289?即?x－12?＝，

144

2

2

117∴x－＝±，

121234∴x1＝，x2＝－；

23

(5)系数化为1，得y2－2y＝2，

配方，得y2－2y＋1＝2＋1，即(y－1)2＝3，∴y－1＝±3；

∴y1＝1＋3，y2＝1－3；(6)移项，得x2－23x＝－3，

配方，得x2－23x＋(3)2＝－3＋(3)2，即(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3；

(7)移项得x2－4x＝1，

配方得x2－4x＋22＝1＋22，即(x－2)2＝5，

∴x－2＝±5，

∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

x＋1

用公式法解得x＝－1±5

.2

2．一元二次方程x2＋x－2＝0的根的状况是(A)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．[2023·南昌]已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是(B)

A．1B．－111C.D．－44

∵关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－a)＝0，解得a＝－1.4．[2023·广安]已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(C)A．a＞2B．a＜2

C．a＜2且a≠1D．a＜－2

Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2且a≠1.5．方程4y2＝5－y化成一般形式后，a＝__4__，b＝__1__，c＝__－5__，则b2－4ac＝__81__，5所以方程的根为__y1＝1，y2＝－__．

416．[2023·滨州]一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为__x1＝1，x2＝__．

217．方程2x2＋5x－3＝0的解是__x1＝－3，x2＝__．

28．假使关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，那么c的取值范围是__c＞9__．

∵关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数根，∴Δ＝(－6)2－4c＜0，即36－4c＜0，c＞9.

9．不解方程，判断以下一元二次方程的根的状况：(1)3x2－2x－1＝0;(2)2x2－x＋1＝0；(3)4x－x2＝x2＋2;(4)3x－1＝2x2.

解：(1)Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＜0，方程没有实数根；

(3)Δ＝0，方程有两个相等的实数根；(4)Δ＞0，方程有两个不相等的实数根．10．用公式法解方程：(1)x2－5x＋2＝0；(2)x2＝6x＋1；(3)2x2－3x＝0;(4)3x2＋6x－5＝0；

11

(5)0.2x2－0.1＝0.4x;(6)2x－2＝2x2.

5＋175－17

解：(1)x1＝，x2＝；

22(2)x1＝3＋10，x2＝3－10；3

(3)x1＝0，x2＝；

2(4)x1＝(5)x1＝

－3＋26－3－26

，x2＝；332＋62－6，x2＝；22

(6)无解．

11．用两种不同的方法解一元二次方程x2＋4x－2＝0.解：方法一：由原方程得x2＋4x＋4＝2＋4，即(x＋2)2＝6，

∴x＋2＝±6，∴x＝－2±6，

∴x1＝－2＋6，x2＝－2－6.方法二：∵a＝1，b＝4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0，－4±24∴x＝＝－2±6，

2

∴x1＝－2＋6，x2＝－2－6.12．用适当的方法解一元二次方程：

(1)(3x＋1)2－9＝0；(2)x2＋4x－1＝0；(3)3x2－2＝4x;(4)(y＋2)2＝1＋2y.24

解：(1)x1＝，x2＝－；

33(2)x1＝－2－5，x2＝－2＋5；(3)x1＝

2＋102－10，x2＝；33

(4)无解．

3x－4x＋4

13．先化简，再求值：?x＋1－x－1?÷，其中x满足方程x2＋x－6＝0.

??x－13?x－4x＋4?x＋1－解：x－1?÷x－1?

2

2

?x－1－3?÷（x－2）

＝??x－1?x－1x－1?

（x＋2）（x－2）x－1＝·

x－1（x－2）2＝x＋2.x－2

12

22

由x2＋x－6＝0可解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝－3，x＋2－3＋21

∴x＝－3.∴原式＝＝＝.x－2－3－25

14．[2023·珠海]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0.(1)当m＝3时，判断方程的根的状况；(2)当m＝－3时，求方程的根．

解：(1)当m＝3时，b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，∴原方程没有实数根；

(2)当m＝－3时，x2＋2x－3＝0，∵a＝1，b＝2，c＝－3，Δ＝b2－4ac＝4－4×1×(－3)＝16，－2±16－2±4∴x＝＝，

22

∴x1＝－3，x2＝1.

15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＝0有两个实数根，求m的取值范围．由方程根的状况得到关于m的不等式，若二次项中存在字母系数，则系数不为零，从以上两个方面确定字母的取值范围．解：由于一元二次方程有两个实数根，所以Δ≥0，即(－2m)2－4(m－1)·m≥0，所以4m2－4m2＋4m≥0，m≥0.又由于m－1≠0，所以m≠1，

所以m的取值范围是m≥0且m≠1.

16．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根∴20－8k>05∴k

14．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2－2x)－5(x－2)＝0的根，求△ABC的周长．

解：原方程可化为x(x－2)－5(x－2)＝0，∴(x－5)(x－2)＝0，∴x1＝5，x2＝2.

∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∴第三边的长x的取值范围是10，∴此方程有两个不相等的实数根．

(2)∵ΔABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，

由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，

16

∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一个解．

将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，25－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5.当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0，x1＝5，x2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；当k＝5时，原方程为x2－11x＋30＝0，x1＝5，x2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．(必需检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5)．∴k的值为4或5.

18．“数学王子〞高斯从小就擅长观测和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100，①S＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1，②①＋②：有2S＝(1＋100)×100，解得：S＝5050.

请类比以上做法，回复以下问题：

若n为正整数，3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝168，求n.解：设S＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝168，①则S＝(2n＋1)＋…＋7＋5＋3＝168，②①＋②得2S＝n(2n＋1＋3)＝2×168，

整理得n2＋2n－168＝0，即(n－12)(n＋14)＝0，解得n1＝12，n2＝－14(舍去)，所以n＝12.

一元二次方程的根与系数的关系

1已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是(B)A．0B．2C．－2D．42．[2023·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则x1·x2＝(D)A．1B．－1C．2D．－23．[2023·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程(C)A．无实数根

B．两根之和为－2C．两根之积为－1

D．有一根为－1＋2

4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(C)A．2B．3C．4D．8

5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为(D)A．－7B．－3C．7D．3

由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.6．[2023·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22

17

的值为(A)

A．－3B．3C．－6D．6

∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.x2x1

7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为(B)

x1x2

A．5B．－5C．1D．－1

8．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x12＋x22＝__3__．由根与系数的关系得x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－1)2－2×(－1)＝3.1159．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则＋＝__－__．

mn3∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，－55311m＋n

∴m＋n＝－＝，mn＝－，∴＋＝＝

222mnmn

5

＝－.33－252

x210．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求以下代数式的值：(1)x12＋x22；(2)＋

x1x1；x2

(3)(x1＋1)(x2＋1)．

解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3＝36－6＝30；

22

x2x1x2＋x130(2)＋＝＝＝10；x1x2x1x23

(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝3－6＋1＝－2.

11．已知2－5是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根．解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－5＝4，得x1＝2＋5.

12．已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.

∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.

13．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是(C)A．1B．12C．13D．25

由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，

18

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2，∴m2－4m＋2＝7，∴m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.

当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，

Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11

元(均不计利息税)，设这种存款方式的年利率为x，则可列方程为__[2__000(1＋x)－1__000](1＋x)＝1__320__．

7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人．

(2)假使不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64解之，得x1＝7，x2＝－9，(不合题意，舍去)答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448.

答：又有448人被传染．

8．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援〞赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．

(1)假使其次天、第三天收到捐款的增长率一致，求捐款增长率；(2)依照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)设捐款增长率为x，则10000(1＋x)2＝12100

解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)答：捐款的增长率为10%.(2)12100×(1＋10%)＝13310

答：依照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13310元．

9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1－x)2＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.由于降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.

答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5000＝14400(元)，方案二所需费用为3.2×5000－200×5＝15000(元)．∵14400元25，即比墙长，∴x1＝20＋210不满

足题意，舍去，而0＜x2＝20－210＜25，满足题意，

∴鸡场的面积可达到180m2.设计的方案是靠墙的一边长为(20－210)m，另外的两边长都为(10＋10)m的矩形．

40－x

(2)同理可得x·＝200，解得x1＝x2＝20.

2

∵x＝20满足题意，∴鸡场的面积可达到200m2.

设计的方案是靠墙的一边长为20m，另两边长都为10m的矩形．(3)鸡场的面积不能达到250m2.∵若鸡场的面积为250m2，

25

40－x

则可列方程x·＝250，

2

整理，得x2－40x＋500＝0，配方，得(x－20)2＝－100，由于负数不能开平方，

∴方程x2－40x＋500＝0无实数根，∴鸡场的面积不能达到250m2.

11．小林准备进行如下操作试验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2〞，他的说法对吗？请说明理由．

解：(1)设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.4×3＝12，4×7＝28.

所以小林应把绳子剪成12cm和28cm的两段．

(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.由于b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－40，所以x＝－5.5不合题意，舍去，所以x＝5.5，所以小颖的设计方案中扇形的半径为5.5m.

二次函数

22.1__二次函数的图象和性质__22．1.1二次函数[见B本P12]

1．以下函数是二次函数的是(C)

A．y＝2x＋1B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2D．y＝x－2

2．二次函数y＝3x2－2x－4的二次项系数与常数项的和是(B)A．1B．－1C．7D．－6

27

1

3．自由落体公式h＝gt2(g为常量)中，h与t之间的关系是(C)

2

A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对

4．已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3时，y的值为(A)A．4B．－4C．3D．－3

5．如图22－1－1所示，在直径为20cm的圆形铁片中，挖去了四个半径都为xcm的圆，剩余部分的面积为ycm2，则y与x间的函数关系式为(C)

图22－1－1

A．y＝400π－4πx2B．y＝100π－2πx2C．y＝100π－4πx2D．y＝200π－2πx2

20?22

S剩余＝S大圆－4S小圆＝π·?－4πx＝100π－4πx，应选C.?2?

6．二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为(D)A．2B．－2C．－1D．－4

y＝2x(x－3)＝2x2－6x，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，应选D.

7．以下函数关系式，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是(D)A．圆的周长与圆的半径之间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D．正方体的表面积与棱长的关系

A中，圆的周长C与圆的半径r是一次函数C＝2πr；B中，若我国原有人口为a，x年后人口数为y＝a(1＋1%)x也不属于二次函数；C中距离一定，速度与时间为反比例函数；只有D中表面积S与棱长a的关系为S＝6a2，符合二次函数关系式．8．二次函数y＝ax2中，当x＝－1时，y＝8，则a＝__8__．将x＝－1，y＝8代入y＝ax2中，解得a＝8.

2

图22－1－2

9．如图22－1－2所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝__24x__，长方体的体积为V＝__6x2__，各边长的和L＝__8x＋24__，在上面的三个函数中，__V＝6x2__是关于x的二次函数．

28

长方体的侧面展开图的面积S＝4x×6＝24x；长方体的体积为V＝x2×6＝6x2；各边长的和L＝4x×2＋6×4＝8x＋24，其中，V＝6x2是关于x的二次函数．10．若y＝xm是关于x的二次函数，则(m＋2011)2＝__2__013__．由y＝xm是关于x的二次函数，得m＝2，所以(m＋2011)2＝(2013)2＝2013.11．已知函数y＝(a＋2)x2＋x－3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是__a≠－2__．∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a＋2≠0，即a≠－2.12．已知函数y＝(k2－4)x2＋(k＋2)x＋3，(1)当k__≠±2__时，它是二次函数；(2)当k__＝2__时，它是一次函数．

根据一次函数、二次函数定义求解．(1)k2－4≠0，即k≠±2时，它是二次函数．

?k2－4＝0，?k＝±2，??(2)∵?∴?∴k＝2.

??k＋2≠0，k≠－2.??

13．把8米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径x(米)之间的函数关系式．

图22－1－3

1

解：半圆面积：πx2，

21

矩形面积：2x××(8－2x－πx)

2＝8x－(2＋π)x2，

1

∴y＝πx2＋8x－(2＋π)x2，

21

π＋2?x2＋8x.即y＝－??2?

14．若y＝(m－1)xm2＋1＋mx＋3是二次函数，则m的值是(B)

A．1B．－1C．±1D．2

2??1，?m＋1＝2，?m＝±

根据题意得?解得?∴m＝－1，应选B.

?m－1≠0，?m≠1，??

15．假使函数y＝(m－3)xm2－3m＋2＋mx＋1是二次函数，求m.

2

??m－3m＋2＝2，

解：依题意得?解得m＝0.

?m－3≠0，?

16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，

AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求(1)重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式和自变量

29

的取值范围．(2)当t＝1，t＝2时，重叠部分的面积．

图22－1－4

解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN＝2t，

∴AM＝MN－AN＝20－2t，∴MH＝AM＝20－2t，

1

∴重叠部分的面积为y＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200.

2

所以自变量的取值范围为0≤t≤10.(2)当t＝1时，y＝162(cm2)当t＝2时，y＝128(cm2)．

17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80m的矩形养鱼池．(1)假使设矩形的一边长为xm，那么另一边的长为________m；

(2)假使设矩形的面积为ym2，那么用x表示y的表达式为y＝________，化简后为y＝________；

(3)根据上面得到的表达式填写下表：xy5101520253035(4)请指出上表中边长x为何值时，矩形的面积y最大．

图22－1－5

1

S矩形＝长×宽，(1)另一边长为(80－2x)＝(40－x)m.

2解：(1)40－x.

(2)x(40－x)，－x2＋40x.

(3)175，300，375，400，375，300，175.(4)当x＝20时，y最大为400m2.

18．如图22－1－6，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

30

图22－1－6

第18题答图

解：如图，把△ABC绕A逆时针旋转90°到△ADE，则BC＝DE，AC＝AE.设BC＝k，则AC＝AE＝4k，DE＝k，过D作DF⊥AC于F，则AF＝DE＝k，CF＝3k，DF＝4k，

由勾股定理得CF2＋DF2＝CD2，∴(3k)2＋(4k)2＝x2，x2

∴x＝25k，∴k＝.

25

2

2

2

y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE11＝(DE＋AC)·AE＝(k＋4k)·4k22x222＝10k＝10×＝x，

255

2

2

故y与x之间的函数关系式为y＝x2.

5

二次函数y＝ax2的图象和性质

1．关于二次函数y＝8x2的图象，以下说法错误的是(C)A．它的形状是一条抛物线

B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点

D．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)

∵抛物线y＝8x2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛物线的最低点．

31

3

2．对于二次函数y＝－x2，以下说法错误的是(A)

4A．开口向上B．对称轴为y轴C．顶点坐标为(0，0)

D．当x＝0时，y有最大值0

3

当a＝－＜0时，二次函数的图象开口向下．

4

3．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A)A．(2，4)B．(－2，－4)C．(－4，－2)D．(4，－2)

1212

4．已知二次函数：y＝2013x2，y＝－2013x2，y＝x，y＝－x，它们图象的共同

20142014特点为(D)

A．都关于原点对称，开口方向向上B．都关于x轴对称，y随x增大而增大C．都关于y轴对称，y随x增大而减小D．都关于y轴对称，顶点都是原点

根据y＝ax2的图象特征判断．D正确．

5．以下函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是(D)A．y＝x2B．y＝x－131

C．y＝xD．y＝4x

A不正确，二次函数y＝x2的对称轴为x＝0，在对称轴右侧y随x的增大而增大；

B、C中y随x的增大而增大，均不正确，D正确．

图22－1－7

1

6．函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象大致如图22－1－7所示，则图中从里到外的三条抛

2物线对应的函数依次是(D)1

A．y＝x2，y＝x2，y＝2x2

21

B．y＝x2，y＝x2，y＝2x2

21

C．y＝2x2，y＝x2，y＝x2

21

D．y＝2x2，y＝x2，y＝x2

2

|a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．

32

2

7．抛物线y＝－x2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x＝__0__

3时，函数有最大值为__0__．

8．若二次函数y＝(m＋2)xm2－3的图象开口向下，则m＝__－5__．

?m＋2m>0)，分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，点D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别为yE，yF.特例探究：填空：

当m＝1，n＝2时，yE＝________，yF＝________；当m＝3，n＝5时，yE＝________，yF＝________．归纳证明：

对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用：

(1)若将“抛物线y＝x2〞改为“抛物线y＝ax2(a>0)〞，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；

(2)连接EF，AE.当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．

图22－1－11

解：221515

归纳证明：猜想：yE＝yF.

证明：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，A，B的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)，∴C，D的横坐标分别为m，n.∵C，D在抛物线y＝x2上，

∴C点的坐标为(m，m2)，D点的坐标为(n，n2)．

设直线OC的解析式为y＝k1x，直线OD的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1m，n2＝k2n，解得k1＝m，k2＝n，

35

∴直线OC的解析式为y＝mx.直线OD的解析式为y＝nx，

把E，F的横坐标分别代入y＝mx与y＝nx得yE＝mn，yF＝mn，∴yE＝yF.拓展应用：(1)yE＝yF.

(2)n＝2m，四边形OAEF为平行四边形．

二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质[见B本P14]

1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(C)11

A．直线x＝B．直线x＝－22

C．y轴D．直线x＝2

2．以下函数中，图象形状、开口方向一致的是(B)1

①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；

2

④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.A．①④B．②⑤C．②③⑤D．①②⑤

a决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a一致，选B.

3．假使将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(C)A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋34．[2023·德州]以下函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是(B)A．y＝－x＋1B．y＝x2－11

C．y＝D．y＝－x2＋1

x

5．抛物线y＝－2x2－5的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．根据抛物线y＝ax2＋c的特征解答即可．

11

6．抛物线y＝x2－4可由抛物线y＝x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的

33开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y轴__，当__x＝0__时，y有最__小__

值为__－4__，当__x>0__时，y随x的增大而增大，当__x4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．

4

图22－1－15

15．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.(1)求a的值；

(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．

解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，∴B(4，0)，

把B点坐标代入解析式得：16a－4＝0，1

解得：a＝；

4

(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，1∵a＝，

41

∴y＝x2－4，

4令x＝－1，

115∴m＝×(－1)2－4＝－，

4415∴C(－1，－)，

4

∵C关于原点对称点为D，

1515

∴D的坐标为(1，)，则CE＝DF＝

44

40

11115115

S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝OB·DF＋OB·CE＝×4×＋×4×＝15，

222424∴△BCD的面积为15平方米．

41

第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质[见A本P16]

1．与函数y＝2(x－2)2形状一致的抛物线解析式是(D)1

A．y＝1＋2B．y＝(2x＋1)2

2x

C．y＝(x－2)2D．y＝2x2

2．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，以下说法正确的是(D)A．是中心对称图形B．开口向上

C．对称轴是x＝－2D．最高点是(2，0)

3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是(A)A．(1，0)B．(－1，0)C．(－2，1)D．(2，－1)

4．以下关于抛物线y＝4(x－1)2＋2的说法中，正确的是(B)A．开口向下

B．对称轴为x＝1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标为(－1，0)

335．二次函数y＝2(x－)2图象的对称轴是直线__x＝__.2212

6．函数：①y＝x－3，②y＝－(x1)，其中y随x的增大而增大的有__

2x①②③__(填序号)．

11

解：∵y＝x－3中，k＝>0，

22∴y随x的增大而增大；2

∵函数y＝－中k＝－2，

x

∴当x1)中，开口向上，对称轴为x＝1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，故答案为①②③.

7．二次函数y＝(x－2)2，当__x＜2__时，y随x的增大而减小．

2

8．抛物线y＝－(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，

3当x＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__．9．抛物线y＝2(x－2)2与x轴交点A的坐标为__(2，0)__，与y轴交点B的坐标为__(0，8)__，S△AOB＝__8__．

画草图帮助理解题意．

当x＝2时，y＝0；当x＝0时，y＝8，

42

11

S△AOB＝×OA×OB＝×2×8＝8.

221

10．已知：抛物线y＝－(x＋1)2.

4(1)写出抛物线的对称轴；(2)完成下表；xy……－7－9－31－13……(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．

图22－1－16

解：(1)抛物线的对称轴为x＝－1.(2)填表如下：xy……－7－9－5－4－3－1－101－13－45－9……

(3)描点作图如下：

11．确定以下函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．(1)y＝2(x＋1)2(2)y＝－4(x－5)2.解：(1)由y＝2(x＋1)2

可知，二次项系数为2＞0，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．

(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5，顶点坐标为(5，0)．

12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x

43

的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值．解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；

函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5，故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小；∵－3＜0，

∴二次函数的开口向下，

当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.

13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)．(1)求a和h的值；

(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式．解：(1)∵对称轴为x＝－2，∴h＝－2，

∵与y轴交于点(0，2)，∴a·22＝2，1∴a＝；

2

(2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，1

所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝(x－2)2.

2

14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式．

(2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．

解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，∴关于y轴对称的抛物