平面向量学生版

本文格式为Word版，下载可任意编辑——平面向量学生版第四章平面向量、数系的扩展与复数的引入

第一节平面向量的基本概念与线性运算

考纲要求：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表

示；

2.把握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义；

3.把握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；4.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

考点梳理：

1．向量的有关概念(1)向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或模)．(2)零向量：________的向量，其方向是任意的．3)单位向量：长度等于__________的向量．

(4)平行向量：方向________的非零向量．平行向量又叫________．规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度________的向量．(6)相反向量：长度________的向量．2．向量的加法和减法

(1)加法法则：听从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a＋b＝________；(a＋b)＋c＝________.(2)减法与________互为逆运算；听从三角形法则．3．实数与向量的积

(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：

①长度：|λa|＝________；②方向：当________时，λa与a的方向一致；当________时，λa与a的方向相反；当________时，λa＝0．

(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝________．4．两个向量共线定理

向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得________成立。

基础自测：

1．(教材改编题)平面向量a，b共线的充要条件是（）

A．a，b方向一致B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．??∈R，b＝?2．已知O、

aD．存在不全为零的实数?1、?2，使?1a＋?2b＝0

A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2AC?CB?0,则

OC?()

-1-

A．2OA?OBB．?OA?2OBC．

1221OA?OBD．?OA?OB

33333．已知向量a、b，且AB?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线的三点是（）

A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D

讲练互动：

考向一向量的有关概念例1给出以下四个命题：

①两个向量相等，则它们的起点一致，终点一致；②若a?b，则a??b；

③若AB?DC，则ABCD为平行四边形；

④若a//b，b//c，则a//c.其中不正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

变式训练:

(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；(3)?a＝0(?为实数)，则?必为零；(4)已知?，?为实数，若?a??b，则

a与b共线。

其中错误的命题的个数为()

A．1B．2C．3D．4

考向二向量的线性运算

例2设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC则AM2?16，AB?AC?AB?AC，

?()

A．8B．4C．2D．1

延伸探究：

1.若在例2的条件下，再添加一个条件

-2-

AC?22，试判断?ABC的形状。

2.在?ABC中，AB?c,AC?b，若点D满足BD?2DC，则AD?()

21521b?cB．c?b33332112C．b?cD．b?c

3333A．

考向三共线向量定理的应用例3设两个不共线的非零向量e1,e2。

(1)假使AB?e1?e2，BC?3e1?2e2，CD??8e1?2e2，求证：A、C、D三点共线．(2)假使AB?e1?e2，BC?2e1?3e2，AF?3e1?ke2，且

A、C、F三点共线，求

k的值．

变式训练：(1)如图，在?ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交→→→→

直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m?n的值为________

(2)设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点一致，t?R，t为何值时，a，tb，

1a?b三向量的终点在一条直线上？3

-3-

??稳定练习：1．(2023·青岛质检)定义平面向量之间的一种运算“⊙〞如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是（）

A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)＋(a·b)＝|a||b|

2．(2023年*四川卷)设设a,b是两个非零向量。以下四个条件中，使件是（）

A．a??bB．a//bC．a?2bD．a//b,且a

→→→

3．已知AB＝a?2b，BC＝?5a?6b，CD＝7a?2b，则以下一定共线的三点是()A．A、B、CB．A、B、DC．B、C、DD．A、C、D

→→→

4.（2023·揭阳模拟)已知点O为?ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋OC＝0，则?ABC的内角A等于()

A．30B．60

C．90D．120

→→→

5．已知P是?ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中??R，则点P一定在()A．?ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上

→→→

6．设O在?ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则?ABC的面积与?AOC的面积之比为()

A．3B．4C．5D．6

→1→→

7．(2023·济南质检)如图4－1－4，在?ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝

3

→2→

mAB＋AC，求实数m的值．

11

?2222aa?bb成立的充分条?b

???

-4-

其次节平面向量的基本定理及坐标运算

考纲要求：

1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．把握平面向量的正交分解及其坐标表示；

3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

考点梳理：

1．平面向量基本定理

假使e1，e2是同一平面内的两个________的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a?________成立。

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一致的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a?xi?yj，把有序数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________．3．平面向量的坐标运算:已知a??x1,y1?,b??x2,y2?

AB?________

(1)AB?________(2)a?b?________

(3)a//b?________

基础自测：

1．(教材改编题)若向量a?a?b?________?a?________

a?b?________

?1,1?,b???1,1?,c??4,2?，则c＝()

3a?bC．?a?3bD．a?3b

A．3a?bB．

2．(2023·中山调研)已知平面向量a??x,1?，b???x,x2?，则向量a?b()

A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于其次、四象限的角平分线3．设向量

a??1,?3?,b???2,4?，若表示向量4a、3b?2a、c的有向线段首尾相接能

构成三角形，则向量c为（）

A．?1,?1?B．??1,1?

-5-

C．??4,6?D．?4,?6?

?3,1?,b??0,?1?,c??k,3?，若a?2b与c共线，则k＝

4．(2023·北京高考)已知向量a?_______．

考向一平面向量基本定理的应用

例1在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若

AC??AE??AF，其中?,??R，则???＝________

变式训练：

（1）如图，在?ABC中，AD?2DB,CB?a,CA?b，则向量CD?()

1212a?bB．b?a33333443C．a?bD．a?b

5555(2)(2023年*大纲全国卷)?ABC中，AB边上的高为CD。若

A．

CB?a,CA?b,a?b?0,a?1,b?2，则AD?（）1122a?bB．a?b33333344C．a?bD．a?b

5555A．

考向二平面向量的坐标运算

4，B3，?1，C例2已知A?2，??????3，?4?．设AB?a，且CM?3c，CA?c，BC?b，

CN??2b，

(1)求：3a?b?3c；

(2)求满足a?mb?nc的实数m,n；(3)求

-6-

M、N的坐标及向量MN的坐标．

变式训练：

已知点A??1,2?,B?2,8?以及AC?11AB,DA??BA，求点C、D的坐标和CD的坐标。33

考向三平面向量共线的坐标表示

例3（1）（2023年*广东高考）已知向量a?与c共线，则?A．

?1,2?,b??1,0?,c??3,4?，若?为实数，a??b?（）

11B．42C．1D．2

（2）（2023年*郑州质检）若平面向量a,b满足则a=________

变式训练：

（2023年*重庆卷）设x,y?R，向量a?a?b?1，且a?b平行于x轴，b??2,?1?，

?x,1?,b??1,y?,c??2,?4?,且a?c,b//c，则

a?b=（B）

A.

5B.10C.25D.10

考向四与平面向量有关的存在摸索性问题例4设坐标平面上有三点A、B、C,ij分别是平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，

若向量AB?i?2j,BC?i?mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线。

变式训练：设i、

j分别是平面直角坐标系Ox，Oy轴正方向上的单位向量，且

OA??2i?mj,OB?ni?j,OC?5i?j，若点A、B、C在同一条直线上，且m?2n，

求实数m、n的值．

-7-

稳定练习：

1．(211年*湖南高考)设向量a,b满足a?25,b??2,1?，且a与b的方向相反，则a的坐

标为________

2．（2023年*沈阳质检）已知

1A?7,1?,B?1,4?，直线y?ax与线段AB交于C，且

2AC?2CB，则实数a等于（）

A．

3．设向量a?A．

45B．C．1D．25311??1,0?,b???,?，则以下结论中正确的是(

?22?)

a?bB．a?b?2C．a?b?bD．a//b2??→→→

4．在?ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，且AN＝?AB＋?AC，则

???的值为(

A.

)

111B.C.D．1234

5．（2023年*天津卷）已知

?ABC为等边三角形,AB?2。设P,Q满足

3AP??AB,AQ??1???AC,??R。若BQ?CP??，则?=（）

211?21?10?3?22A.B.C.D.

2222

6．已知向量a??sin?,cos??2sin??,b??1,2?．

(1)若a//b，求tan?的值；(2)若

-8-

a?b，???0,??，求?的值．

第三节平面向量的数量积

考纲要求：

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

考点梳理：

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a与b的数量积(或内积，或点积)．

规定：零向量与任一向量的数量积为0．(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积．或等于b的长度|b|与a在b方向上的投影________的乘积。2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝________＝________．λ∈R；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的性质设非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，?a,b???．

基础自测：

1．(教材改编题)已知向量a、b满足A.

a?1,b?4,a?b?2，则a与b的夹角为()

????B.C.D.64322．已知a???3,2?,b???1,0?，向量??a?b???a?2b?垂直，则实数?的值为()

A.?

1111B.C.?D.

7676-9-

3．（2023年*辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足（）

a?b?a?b，则下面结论正确的是

A．a//bB．a?bC．4．(2023·湖北高考)若向量a?A．

a?bD．a?b?a?b

)

?1,2?,b??1,?1?，则?2a?b,a?b?等于(

??3?C.D.

4464?5．（2023年*课标全国卷）已知向量a,b的夹角为，且a?1,2a?b?10，则

4?B.

?b?________

讲练互动：

考向一平面向量数量积的概念与运算例1（1）若a?

?3,?4?，b??2,1?，则?a?2b???2a?3b??________

（2）（2023年*湖南高考）在边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD，CA?3CE，则AD?BE?________

延伸探究：

(1)若将本例中第(2)题改为“在△ABC中〞，如下图，

AD?AB,BC?3BD，则

AC?AD?()

A.23B.

33C.D.323(2)(2023·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为

?，若向量3b1?e1?2e2,b2?3e1?4e2，则b1?b2?________．

考向二向量的夹角与模例2已知a?4,b?3,2a?3b?2a?b?61，

????(1)求a与b的夹角?；(2)求a?b；

(3)若AB?a,BC?b，求ABC的面积．

-10-

变式训练：

(1)(2023·江西高考)已知向量a、b，且夹角为________．

(2)(2023·余杭调研)已知平面向量?,?，?是________．

考向三平面向量的垂直

a?b?2|，a?2b?a?b??2，则a与b的

?1,??2，????2?，则2???的值

??????例3（1）（2023年*课标全国卷）已知向量a,b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a?b与向量ka?b垂直，则k=________.

（2）（2023年*浙江卷）设a,b是两个非零向量。（）A.若a?b?a?b，则a?b

a?b?a?b

B.若a?b，则C.若a?b?a?b，则存在实数?，使得b??a

a?b?a?b

D.若存在实数?，使得b??a，则

变式训练：（1）已知向量a?A.?

?1,2?,b??2,?3?，若向量c满足?c?a?//b,c??a?b?，则c?（）

?77??77?，?B.?-，-?C.9339?????77??77?-??，?D.?-，3993????（2）若?ABC的三个内角A、B、C成等差数列且AB?AC?BC?0，则?ABC一定

是()

A．等边三角形B．等腰非等边三角形C．等腰直角三角形D．直角非等腰三角形

稳定练习：

1．（2023年*广东高考）若向量a,b,c满足a//b，a?c，则c?A.4B.

???a?2b??（）

-11-

3C.2D.0

2．（惠州质检）在Rt?ABC中，?C?A．?16B．

?2→→

，AC?4，则AB·AC等于()

?8C．8D．16

→→→

3．已知P是边长为2的等边?ABC的边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)()A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．是定值24．（2023年*江西卷）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

PA?PBPC222=()

A．2B．4C．5D．10

5．（2023年*广东卷）对任意两个非零的平面向量?，?，定义??????。若平面向???????n?量a,b满足a?b?0,a与b的夹角???0,?，且a?b和b?a都在集合?|n?Z??4??2??中，则a?b=()A．

6．(2023年*浙江高考)若平面向量?,?满足?边形的面积为

7．已知向量a?

8．（2023年*安微卷）若平面向量a,b满足

9．(2023·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A?1,?2，B(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

→→→

(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．

135B．1C．D．222?1,??1，且以向量?,?为邻边的平行四

1，则??,???________。2?1.sin??,b??1,3cos?，则|a?b的最大值为________．

?2a?b?3，则a?b的最小值为_______。

???2,3?，??2,?1?．

-12-

第四节平面向量的应用举例

考纲要求：

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；

2.会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题；

考点梳理：

1．向量在几何中的应用

(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a//b?a??b?x1y2?x2y1?0b?0．

??(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：

a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0.

(3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用

?1?cos?a,b??a?b?abx1x2?y1y2x?y22121x?y2222

?2?AB?AB?AB??x2?x1?2??y2?y1?2

2．向量在物理中的应用

(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．

(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.3．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

基础自测:

1．(教材改编题)若向量OF1（）A.

??2,2?,OF2???2,3?分别表示两个力F1,F2，则F1?F2为

2.5B.42C.22D.5

ABC所在平面上一点，若OA?OB?OB?OC?OC?OA，则O是

2．已知O是三角形

?ABC的（）

A.内心B.重心C.外心D.垂心3．（2023年*XX卷）在矩形ABCD中，AB?边CD上，若AB?AF?2,BC?2，点E为BC的中点，点F在

2，则AE?AF的值是________.

4．平面直角坐标系xOy系中，若定点A1,2与动点P

???x,y?满足OP?OA?4，则点P的

-13-

轨迹方程是________

讲练互动：

考向一向量在平面几何中的应用

例1(1)如下图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE。(2)（2023年*北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?CB的值为_______；DE?DC的最大值为为_______。

变式训练：

(2023·天津高考)已知直角梯形

ABCD中，AD//BC，?ADC??2，

AD?2,BC?1，P是腰DC上的动点，则PA?3PB的最小值为________

考向二向量在物理中的应用

例2如下图，已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数???0.002的水平平面上运动了20，问

F、摩擦力f所做的功分别为多少？

变式训练：

一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知成

F1、F2

?角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()327B.25C.2D.6

-14-

A.

考向三向量在三角函数中的应用例3(2023·南京模拟)已知向量a??cos?,sin??,b??cos?,sin??，c???1,0?．

(1)求向量a?b的长度的最大值；(2)设???4且a??b?c?，求cos?的值。

变式训练：已知向量a?(1)若x??cosx,sinx?,b???cosx,cosx?，c???1,0?．

?6，求向量a,c的夹角；

(2)当x?????9??,?时，求函数f?x??2a?b?1的最大值．28??

考向四向量在解析几何中的应用例4已知点P?0,?3?，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA?PM?0，

3AM??MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

2

变式训练：

设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关

??于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA,OQ?AB?1，求P点的轨迹方程．

-15-

稳定练习：1.共点力F1??lg2,lg2?,F2??lg5,lg2?作用在物体上，产生位移s??2lg5,1?，则共点力

对物体所做的功W为()

A．lg2B．lg5C．1D．2

2.(2023·课标全国卷)已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有以下四个命题：

2π2π

p1：a?b?1?θ∈[0，)p2：a?b?1?θ∈(，π]

33ππ

p3：a?b?1?θ∈[0，)p4：a?b?1?θ∈(，π]

33

其中的真命题是()

A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4

3．已知向量a??1,0?,b??0,1?，若向量c??m,n?满足?a?c???b?c??0，则点?m,n?到

直线x?y?1?0的距离的最小值为()

A.

12B.1C.D.222???Asin??x????A?0,??0,???在一个周期内的图象如

2??图所示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM?ON?0(O为坐标原点)，则A4．(2023·郑州调研)若函数y?等于()

A.

?7?B.612C.

7?D.67?35.已知在?ABC中，AB?a,AC?b,a?b?0,S?ABC?15，4a?3,b?5，则?BAC等于________．

6．已知i,j分别是与x,y轴方向一致的单位向量，一动点P与M?1,1?连结而成的向量与另一向量n?4i?6j垂直，动点P的轨迹方程是________．

7．在?ABC中，?A?2??1?，BC?3，向量m???,cosB?,n??1,tanB?，且m?n，3?3?则边AC的长为________．

8.（2023年*湖南卷）在?ABC中，AB?2,AC?3,AB?BC?1,则BC?________.

-16-

第五节数系的扩展与复数的引入

考纲要求：

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；

2.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在平面上用点或者向量表

示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；

3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义。

考点梳理：

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?________(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?________(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝________．2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点_______，与平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

（2）几何意义：

复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行。如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即

OZ?OZ1?OZ2,Z1Z2?OZ2?OZ1

基础自测：

1．(教材改编题)在复平面内，复数6?5i,?2?3i6＋5i，对应的点分别为A,B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()

A．4?8iB．8?2iC．2?4iD．4?i2．(2023年*湖北卷)A．

x2?6x?13?0的一个根是()

?3?2iB．3?2iC．?2?3iD．2?3i

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3．（2023年*陕西卷）设a,b?R，i为虚数单位，“ab?0〞是“复数a?bi为纯虚数〞的

（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（2023年*课标全国卷）下面是关于复数z?2的四个命题：?1?iP1:z?2；P2:z2?2i；

P3:z的共轭复数为1?i；P4:z的虚部为?1。

其中真命题为：（）

A．P1,P2C．P2,P4D．P2,P3B．P3,P4