长安一中高2022届第一次模拟考试：数学

长安一中高2022届第一次模拟考试数学（理）答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1．复数等于（）A．B．C．D．【答案】D2．命题：“对任意一个实数，均有”，则为（）A．存在，使得 B．对任意，均有C．存在，使得 D．对任意，均有【答案】C3．已知向量,，若A，B，C是锐角的三个内角，，则与的夹角为（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上都不对【答案】A4.若函数的导函数在区间（－∞，4]上是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B5.双曲线的右焦点到直线的距离是（）A． B． C． D．【答案】C6．函数的图象大致为（）【答案】A7．某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为（）A．B．C．D．【答案】D8．已知不等式组表示平面区域D．现在往抛物线与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B9.对任意，恒有成立，则数列的前n项和为（）A．1 B． C． D．【答案】C10.设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有x之和为（）A． B． C． D．【答案】C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为.【答案】12．有一个容量为56的样本数据，分组后，组距与频数如下：[0，5）3个，[5，10）5个，[10,15)7个，[15,20)11个，[20,25)12个，[25,30)9个，[30,35)5个，[35,40)4个，则样本在区间[15，35）上的频率为.（分数表示）【答案】13．如果执行下面的程序框图,那么输出的S等于.【答案】314．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数x最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数.则其中真命题是__．（请填写序号）【答案】①②③15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）A．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，两点，间的距离是.【答案】B．（不等式选讲选做题）若不等式的解集为.【答案】C．（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．【答案】三．解答题：本大题共6小题，满分75分.16.（本小题满分12分）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．【解答】：（Ⅰ）．-------2分因为为偶，所以，即.又因为，故．--------4分所以．由题意得，所以．---------6分（Ⅱ）由知，所以．--------9分由，解得，因此的单调递减区间为．----12分17．（本小题满分12分）从四名男生和三名女生中任选3人参加演讲比赛．（Ⅰ）求所选3人中至少有一名女生的概率；（Ⅱ）表示所选参加演讲比赛的人员中男生的人数，求的分布列和数学期望.【解答】：（Ⅰ）记事件为“所选3人中至少有一名女生”，则其对立事件为“所选的3人全是男生”.∴.------------6分（Ⅱ）的可能取值为：.，，，.----------8分∴的分布列为：0123.------------12分18．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【解答】：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.--------2分（Ⅰ）由于，．则，．--------6分（Ⅱ）∵，，．设平面的法向量为，∵∴令，得是平面的一个法向量．---------8分设平面的法向量为，∵令，得是平面的一个法向量．----------10分∵．设二面角的平面角为，由图可知，∴.所以二面角的余弦值为．-----------12分19．（本小题满分12分）在等比数列｛an｝中，首项为，公比为，表示其前n项和．（=1\*ROMANI）记=A，=B，=C，证明A，B，C成等比数列；（=2\*ROMANII）若，，记数列的前n项和为，当n取何值时，有最小值．【解答】：（=1\*ROMANI）当时，，，，可见A，B，C成等比数列；————2分当时，，，．故有，．可得，这说明A，B，C成等比数列．综上，A，B，C成等比数列．————6分（=2\*ROMANII）若，则，与题设矛盾，此情况不存在；若，则，故有，解得．——8分所以，可知．所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．令，即．因为，所以，即得可知满足的最大的n值为11．所以，数列的前11项均为负值，从第12项开始都是正数．因此，当时，有最小值．————12分20.(本小题满分13分)已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点的坐标是，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．【解答】：（Ⅰ）设椭圆的方程为，则由题意知．∴．即．∴．∴椭圆的方程为．---------------5分（Ⅱ）方法一：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．∵，∴．∴，．----------------7分将点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理得：．---------------10分同理，由可得：．∴，是方程的两个根，∴．-----------------13分方法二：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．显然直线存在斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是．将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．------------8分∴，．又∵，，将各点坐标代入得，．---------10分．------13分21．(本小题满分14分)设函数，其中为实常数.（Ⅰ）当为何值时,；（Ⅱ）证明:当时,函数在内有两个零点.【解答】：（Ⅰ）∵，∴，.------------2分当时,,为减函数,当时,,为增函数,---4分根据函数极值判别方法，为极小值，而且对都有.故当时，.---------------6分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，,函数,在上为减函数.所以当时，异号．由函数零点判定定理知，函数在区间内有唯一零