有限元课件(第一部分)

基础理论部分姚国凤吉林大学机械科学与工程学院力学系有限元发展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb教授，于1954—1955年间分阶段在《AircraftEngineering》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书内容提供了有限元法的理论基础。美国的M.T.Turner、R.W.cloagh、H.C.martin和L.J.Topp等人于1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。有限元分类：非线性有限元线性有限元几何非线性材料非线性有限元有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为基本未知数；力法——取节点力作为基本未知数；混合法——部分节点取节点力作为基本未知数，部分节点取节点位移作为基本未知数。有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。(1)

3、分析单元的力学特性（1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式(2)为单元内任一点的应变列阵（2）利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式(3)是单元内任一点的应力列阵，是材料的弹性矩阵。（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程（平衡方程）4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。5、组装总刚度阵，建立结构的平衡方程有两方面内容：①组装总刚②组装总的载荷列阵得到：6、求解结点的位移和计算单元应力第二章有限元法的理论基础—加权余量法和变分原理1.1引言在工程和科技领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们可以给出它们的数学模型，即应遵循的基本方程（常微分方程和偏微分方程）和相应的定解条件。已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类是以有限差分法为代表，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。另一类就是有限元方法。有限元法区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。等效积分的一般形式是加权余量法，它适用于普遍的方程形式。利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，例如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值分析方法。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函数的变分。有限元法区别于传统的加权余量法和求解泛函驻值的变分法，该法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。这样就克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难，是近代工程数值分析方法领域的重大突破。本部分讲述建立有限元方程的四种方法伽辽金法变分原理最小位能原理和最小余量原理虚功原理

1.2微分方程的等效积分形式和加权余量法1.2.1微分方程的等效积分形式

工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示未知函数u应满足的微分方程组（在内）（1.2.1）图1.1域和边界域可以是体积域、面积域等，如图1.1所示。同时未知函数u还应满足边界条件：（在内）（1.2.2）

是域的边界。例1.1二维稳态热传导方程

（在内）(1.2.3)

（1.2.4）

这里表示温度；k表示热传导系数；和分别是边界和上温度和热流的给定值；n是有关边界的外法线方向；Q是热源密度。复习一个高等数学知识设函数f(x)和g(x)是区间[ab]上的连续函数，并且对任意函数f(x)都有下式成立则有函数g(x)在区间[ab]上恒为0.

由于微分方程组（1.2.1）在域中的每一个点都必须为零，因此就有

（1.2.5）

其中(1.2.6)是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。同理，假如边界条件（1.2.2）亦同时在边界上每一个点都得到满足，则对于一组任意函数，下式应当成立。

(1.2.7)

微分方程的等效积分形式。(1.2.8)

上式对于所有的和都成立是等效于满足微分方程（1.2.1）和边界条件（1.2.2），因此称为微分方程的等效积分形式。

关于（1.2.8）式可积性问题可积性可参考高等数学。另外给出一个函数定义：一个函数在域内，函数本身（即它的零阶导数）直至它的n-1阶导数连续，它的第n阶导数具有有限个不连续点，但在域内可积，这样的函数称之为具有连续性函数。具有连续性的函数将使包含函数直至它的n阶导数的积分成为可积。1.2.2等效积分的“弱”形式

在很多情况下可以对（1.2.8）式进行分部积分得到另一种形式：

（1.2.9）其中C，D，E，F是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（1.2.8）式的A低，这样对函数u只需要求较低的连续就可以了。在（1.2.9）式中降低u的连续性要求是以提高及的连续性要求为代价的，在式（1.2.8）式中并无连续性要求。（1.2.9）称为微分方程的等效积分弱形式。例1.2仍以前面已提出的例1.1中的二维热传导方程为例，写出它们的等效积分形式和等效积分“弱”形式。由例1.1中二维稳态热传导方程（1.2.3）和边界条件（1.2.4）式，可以直接写出相当于（1.2.8）式的等效积分形式为：（1.2.10）

其中和是任意的标量函数，并假设上的边界条件

在选择函数时已事先满足，这种边界条件称为强制边界条件。推导积分弱形式设，是的两个函数，高斯定理有

二重积分的分步积分公式若令：则得：移项后得到：这个公式可当作二重积分的分步积分公式

应用分部积分公式有：（1.2.11）于是（1.2.10）式成为：（1.2.12）

式中的为边界外法线的方向余弦。在边界上场函数的法向导数是：（1.2.13）

并且对于任意函数和，可以不失一般的假定在上（1.2.14）

这样，（1.2.10）式可以表示为：（1.2.15）

其中算子是：（1.2.15）式就是二维稳态热传导问题与微分方程（1.2.3）和边界条件（1.2.4）相等效的积分“弱”形式。在式中k以自身出现，而场函数（温度）则以一阶导数形式出现，因此它允许在域内热传导系数k以及温度的一阶导数出现不连续，而这种实际可能性在微分方程中是不允许的。

对（1.2.15）式，还应指出以下两点：（1）场变量不出现在沿的边界积分中。边界上的边界条件：在的边界上自动得到满足。这种边界条件称为自然边界条件。（2）若在选择场函数时，已满足强制边界条件，即在的边界上满足，则可以通过适当选择，使在的边界上而略去（1.2.15）式中沿的边界积分项，使相应的积分“弱”形式取得更简洁的表达式。1.2.3基于等效积分形式的近似方法——加权

余量法

在求解域中，若场函数u是精确解，则在域中任意一点都满足微分方程（1.2.1）式，同时在边界上任一点都满足边界条件（1.2.2）式，此时等效积分形式（1.2.8）式或其弱形式（1.2.9）式必然严格的得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难找到的，因此人们需要设法找到具有一定精度的近似解。对于微分方程（1.2.1）式和边界条件（1.2.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数u可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是:（1.2.16）其中是待定参数；是称之为试探函数（或基函数、形式函数）的已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。所谓完全的函数系列是指任意函数都可以用此序列表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数u是三维力学问题的位移时，可以取近似解：则有：其中，，是待定参数，共个；是函数矩阵；是单位矩阵，是坐标的独立函数。显然，在通常n取有限项数的情况下近似解是不能精确满足微分方程（1.2.1）式和全部边界条件(1.2.2)式的，它们将产生残差和，即：（1.2.17）残差和亦称余量。在式（1.2.8)式中用n个规定的函数向量来代替任意函数和，即：（1.2.18）

就可以得到近似的等效积分形式：（1.2.19）

亦可以写成余量形式：（1.2.20）

(1.2.19)式或（1.2.20）式的意义是通过选择待定系数，强迫余量在某种平均意义上等于零。和称为权函数。余量的加权积分为零，就得到一组求解方程，用以求解近似解的待定系数，从而得到原问题的近似解答。方程（1.2.19）的展开形式是:其中若微分方程组A的个数为，边界B的个数为，则权函数是阶的函数列阵，是阶的函数列阵。

近似函数所取试探函数的项数n越多，近似解的精度将越高。当项数n趋近于无穷大时，近似解将收敛于精确解。对应于等效积分“弱”形式（1.2.9）式，同样可以得到它的近似形式为

（1.2.21）采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法（weightedresidualmethod,WRM）。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法。任何独立的完全函数集都可以用来作为权函数。按照对权函数的不同选择得到的不同加权余量的计算方法并赋予不同的名称。常用的权函数的选择有以下几种：（一）配点法

取：若域是独立的坐标x的函数，则有如下性质：当时，但有

这种方法相当于简单地强迫余量在域内n个点上等于零。（二）子域法在n个子域内：在n子域以外：此方法的实质是强迫余量在n个子域的积分为零。（三）最小二乘法当近似解取时，权函数此方法的实质是使得函数取得最小值。即要求（四）力矩法以一维问题为例，微分方程，取近似解并假定已满足边界条件，令

则得到此方法是强迫余量的各次矩等于零。通常又称此法为积分法。对于有二维问题，。（五）伽辽金法

取，在边界上。即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数。近似积分形式（1.2.19）式可以写成

（1.2.22）由（1.2.16）式，可以定义近似解的变微分为

（1.2.23）其中是完全任意的。由此（1.2.22）式可更简洁的表示为

（1.2.24）对于近似的“弱”形式（1.2.21）式则有

（1.2.25）

将会看到，如果算子A是2m阶的线性自伴随的(见1.3.1节)，采用伽辽金法得到求解方程的系数矩阵是对称的，这是在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫无例外地采用伽辽金法的主要原因，而且当微分方程存在相应的泛函数时，伽辽金法与变分法往往导致同样的结果。例1.3求解二阶常微分方程（1）边界条件：

（2）取近似解为（3）其中为待定参数，试探函数显然，近似解满足边界条件（2），但不满足微分方程（1），在域内将产生余量R。余量加权积分为零（4）近似解可取（3）式中一项、两项或n项，项数取得越多，计算精度越高。为了方便起见，只讨论一项和两项近似解。一项近似解：n=1（5）代入（1）式，余量为（6）两项取近似值：n=2（7）余量为（8）（一）配点法一项近似解：取x=1/2作为配点，得到

解得：所以求得一项近似解为：两项近似解：取三分点x=1/3及x=2/3作为配点，得到解得：所以两项近似解为：

（二）子域法一项近似解：子域取全域，即，当。由（4）式可得：解得：求得一项近似解为：两项近似解：取

由（4）式得到：解得：两项近似解为：（三）最小二乘法将余量的二次方在域中积分（9）选择近似解的待定系数，使余量在全域的积分值达到极小。为此必须有：

用式（9）对求得导数得到：（10）

由此得到n个方程，用以求解n个待定参数将（10）式和（4）式比较可知，最小二乘法的权函数选择为：

一项近似解时：（11）代入（10）式得到：

解得:一项近似解：两项近似解：代入(10)式后得到两个方程，即解得:

两项近似解：（四）力矩法一项近似解：取由（4）式得到：解得：一项近似解：此结果与子域法的结果相同。两项近似解：取，。由（4）式得：解得：两项近似解为：（五）伽辽金法取得近似函数作为权函数。一项近似解：取权函数:由(4)式得到:解得:一项近似解：两项近似值：取权函数为：代入（4）式得到：解得：两项近似解为：这个问题的精确解是：用加权余量的几种方法得到的近似解与精确解的比较见表1.1.由此可见，在此具体问题中取得两项近似解已经得到较好的近似结果，各种方法得到的近似解误差在3%以内，其中伽辽金法的精度尤其高，误差小于0.5%。表1.1不同加权余量法的近似解与精确解结果比较

由以上讨论可见，加权余量法可以用于广泛的方程类型；选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；通过采用等效积分“弱”形式，可以降低对近似函数连续性的要求。如果近似函数取自完全的函数系列，并满足连续要求，当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋近于精确解。但解的收敛性仍未有严格的理论证明，同时近似解通常也不具有明确的上、下界性质。下节讨论的变分原理和里兹方法则从理论上解决上述两方面的问题。1.3变分原理和里兹方法如果微分方程具有线性和自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，还可以建立与之相等效的变分原理，并进而得到基于它的另一种近似求解方法，即里兹方法。1.3.1线性、自伴随微分方程变分原理

的建立1、线性、自伴随微分算子若微分方程：

（1.3.1）其中微分算子L具有如下的性质

（1.3.2）则称L为线性算子，方程（1.3.1）为线性微分方程。其中和是两个常数。现定义和任意函数的内积为

（1.3.3）有时内积也表示为。对上式进行分部积分直至的导数消失，这样就可以得到转化后的内积并伴随有边界项。结果可以表示如下：

（1.3.4）上式右端表示在边界上由和及其导数组成的积分项。算子称为的伴随算子。若则称算子是自伴随的。称原方程（1.3.1）为线性、自伴随的微分方程。例6证明算子是自伴随的。构造内积，并进行分部积分得：从上式可以看到因此是自伴随算子。2泛函数的构造原问题的微分方程和边界条件表达如下

（1.3.5）和以上微分方程及边界条件相等效的伽辽金提法可表达如下

（1.3.6）利用算子是线性、自伴随的，可以导出以下关系式（1.3.7）将上式代入（1.3.6）式，就可以得到原问题的变分原理

（1.3.8）

其中

是原问题的泛函，因为此泛函中（包括的导数）的最高次为二次，所以称为二次泛函。上式右端是由(1.3.7)式中的项和（1.3.6）式中的边界积分项两部分组成。如果场函数及其变分满足一定条件，则两部分结合成后，能过形成一个全变分（即变分号提到边界积分项之外），从而得到泛函的变分。这在后面将具体讨论。由以上讨论可见，原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金法而的得到。并称这样得到的变分原理为自然变分原理。泛函的极值性如果线性自伴随算子L的偶数（）阶的；在利用伽辽金方法构造问题泛函时，假设近似函数事先满足强制边界条件，对应于自然边界条件的任意函数W按一定的方法选取，则可以得到泛函的变分。同时所构造的二次泛函不仅取驻值，而且是极值。现对此条件加以阐述和讨论。对于阶微分方程，含阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应事先满足。含阶导数的边界条件称为自然边界条件，近似函数不必事先满足。在伽辽金提法中对应于此类边界条件，从含阶导数的边界条件开始，任意函数W依次取在此情况下，对原问题的伽辽金提法进行次分部积分后通常得到如下的变分原理，即

（1.3.9）其中

（1.3.10）是阶的线性算子，是在自然边界上的积分项。从上式可见，此时泛函中包括两部分，一是完全平方项，另一个是的线性项，所以这二次泛函具有极值性。现在还可以进一步验证。设近似场函数，其中表示问题的真正解，是它的变分。将此近似函数代入（1.3.10）就得到

（1.3.11）其中是真正解的泛函；是原问题微分方程和边界条件的等效积分伽辽金提法的弱形式，应有:（1.3.12）除非，即亦即近似函数取问题的真正解，恒有>0（为偶数）或恒有<0（为奇数）。所以真正解使泛函取极值。泛函的极值性对判断解的近似性质有意义，利用它可以对解的上下界作出估计。1.3.2里兹方法对于线性、自伴随微分方程在得到与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求近似解的标准过程——里兹方法。具体步骤是：未知函数的近似解仍由一族带有待定参数的试探函数来近似表示，即

（1.3.19）其中是待定参数；是取自完全系列的已知函数。将（1.3.19）式代入问题的泛函得到试探函数和待定参数表示的泛函表达式。泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得的方程等于零，即

（1.3.20）由于是任意的，满足上式时，必然有都等于零。因此可以得到一组方程为:

（1.3.21）

这是于待定参数的个数相等的方程组，用以求解。这种求解近似解的经典方法叫做里兹法。如果泛函中和它的导数的最高次为二次，则称泛函为二次泛函。大量的工程和物理问题中的泛函属于二次泛函，因此应以特别注意。对于二次泛函，（1.3.21）式退化为一组线性方程

（1.3.22）很容易证明矩阵K是对称的。考虑向量的变分可以得到:（1.3.23）

很容易看出矩阵的子矩阵为:

（1.3.24）

因此有:

（1.3.25）这就证明了矩阵是对称矩阵。由变分得到求解方程系数矩阵的对称性是一个极为重要的特性，它将为有限元法计算带来很大的方便。对于二次泛函，根据（1.3.22）式可以将近似泛函表示为

（1.3.28）上式的正确性用简单求导就可以证明。取上式的泛函的变分

（1.3.29）由于矩阵K的对称性，就有

（1.3.30）因此

（1.3.31）因为是任意的，这样就得到(1.3.22)式.里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。显然，近似解的精度与试探函数的选择有关。如果知道所求解的一般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探函数来改进近似解，提高近似解的精度。若精确解恰巧包含在试探函数族中，则里兹法得到精确解。例1.8用里兹法求解例1.3，并作简单的讨论。问题的微分方程是（1）边界条件是（2）此为强制边界条件。由于算子是线性自伴随的，可以立即利用1.3.1节的方法建立的变分原理。得到泛函为

（3）

具体过程由读者自己完成。选取两种试探函数形式，用里兹法求解。（1）选取满足边界条件（2）的一项多项式近似解（加权余量法中选取的一项解相同）

则有：（4）代入（3）式得到用待定参数表示泛函为：

（5）由泛函变分为零

解得（6）近似解为（7）与伽辽金法求解的结果相同。证实了1.3.1节中讨论：当问题存在自然变分原理时，里兹法