平稳时序模型性质

平稳时序模型性质第1页，共142页，2023年，2月20日，星期四自回归过程的性质第2页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR模型平稳性判别

判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的

第3页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.1:考察如下四个模型的平稳性第4页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.1平稳序列时序图第5页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.1非平稳序列时序图第6页，共142页，2023年，2月20日，星期四一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或第7页，共142页，2023年，2月20日，星期四1、平稳性和可逆性A.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，AR(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，于是有：第8页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外平稳域判别

平稳域第9页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(1)模型平稳条件特征根平稳域第10页，共142页，2023年，2月20日，星期四二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或第11页，共142页，2023年，2月20日，星期四B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。第12页，共142页，2023年，2月20日，星期四第13页，共142页，2023年，2月20日，星期四注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足第14页，共142页，2023年，2月20日，星期四-202-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示第15页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(2)模型平稳条件特征根平稳域第16页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.1平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳第17页，共142页，2023年，2月20日，星期四p阶自回归过程AR(p)p阶自回归模型的形式为：或第18页，共142页，2023年，2月20日，星期四B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.平稳性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型总是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它们的绝对值|βi|>1第19页，共142页，2023年，2月20日，星期四其实也就是要求特征方程的特征根都在单位圆内。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p个特征根，那么为满足平稳性条件，必须有|λi|<1注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定平稳性条件满足。第20页，共142页，2023年，2月20日，星期四对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。第21页，共142页，2023年，2月20日，星期四平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数第22页，共142页，2023年，2月20日，星期四均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出第23页，共142页，2023年，2月20日，星期四Green函数定义AR模型的传递形式其中系数称为Green函数第24页，共142页，2023年，2月20日，星期四Green函数递推公式原理方法待定系数法递推公式第25页，共142页，2023年，2月20日，星期四方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得第26页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.2:求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差第27页，共142页，2023年，2月20日，星期四协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得协方差函数的递推公式第28页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(1)过程第29页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为第30页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为第31页，共142页，2023年，2月20日，星期四自相关系数自相关系数的定义平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式第32页，共142页，2023年，2月20日，星期四常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型第33页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR模型自相关系数的性质拖尾性呈复指数衰减第34页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(1)过程的自相关函数第35页，共142页，2023年，2月20日，星期四第36页，共142页，2023年，2月20日，星期四第37页，共142页，2023年，2月20日，星期四第38页，共142页，2023年，2月20日，星期四通过上述推导可看出，当过程平稳即时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈指数衰减。如果，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。如果，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。第39页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5—自相关系数按复指数单调收敛到零第40页，共142页，2023年，2月20日，星期四-6-4-202482848688909294969800模拟生成的AR(1)过程趋势图第41页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5:—第42页，共142页，2023年，2月20日，星期四-6-4-2024682848688909294969800Y模拟生成的AR(1)过程趋势图第43页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(2)过程的自相关函数第44页，共142页，2023年，2月20日，星期四第45页，共142页，2023年，2月20日，星期四第46页，共142页，2023年，2月20日，星期四第47页，共142页，2023年，2月20日，星期四通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。第48页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5:—自相关系数呈现出“伪周期”性第49页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5:—自相关系数不规则衰减第50页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(p)的自相关函数ACF第51页，共142页，2023年，2月20日，星期四第52页，共142页，2023年，2月20日，星期四通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有|λi|<1，AR(p)过程的ACF是由差分方程的根确定的，呈混合指数衰减或出现复根时的阻尼正弦波衰减。第53页，共142页，2023年，2月20日，星期四偏自相关系数定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是第54页，共142页，2023年，2月20日，星期四偏自相关函数的一般公式第55页，共142页，2023年，2月20日，星期四偏自相关系数的计算滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。第56页，共142页，2023年，2月20日，星期四第57页，共142页，2023年，2月20日，星期四第58页，共142页，2023年，2月20日，星期四第59页，共142页，2023年，2月20日，星期四第60页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(1)过程的偏自相关函数第61页，共142页，2023年，2月20日，星期四上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取决于。滞后一阶以后PACF截尾。第62页，共142页，2023年，2月20日，星期四偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾第63页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(2)过程的偏自相关函数第64页，共142页，2023年，2月20日，星期四第65页，共142页，2023年，2月20日，星期四通过上述证明可以得出如下结论：第66页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图第67页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5—理论偏自相关系数样本偏自相关图第68页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关图第69页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关图第70页，共142页，2023年，2月20日，星期四-4-202482848688909294969800模拟生成的AR(2)过程趋势图第71页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.5:—理论偏自相关系数样本偏自相关系数图第72页，共142页，2023年，2月20日，星期四-6-4-2024682848688909294969800模拟生成的AR(2)过程趋势图第73页，共142页，2023年，2月20日，星期四AR(p)过程的偏自相关函数PACF第74页，共142页，2023年，2月20日，星期四可以很容易地看出，当k>p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当k>p时,有φkk=0。所以，AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞后p阶截尾。第75页，共142页，2023年，2月20日，星期四移动平均过程的性质第76页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型第77页，共142页，2023年，2月20日，星期四移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

阶移动平均系数多项式第78页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的可逆性MA模型自相关系数的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数第79页，共142页，2023年，2月20日，星期四可逆的定义可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。第80页，共142页，2023年，2月20日，星期四可逆MA(1)模型

第81页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外第82页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(1)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0

的根必须在单位圆外。第83页，共142页，2023年，2月20日，星期四注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：|θ1|<1。第84页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：AR(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。第85页，共142页，2023年，2月20日，星期四第86页，共142页，2023年，2月20日，星期四平稳性和可逆性A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。第87页，共142页，2023年，2月20日，星期四对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。第88页，共142页，2023年，2月20日，星期四逆函数的递推公式原理方法待定系数法递推公式第89页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.6续:考察如下MA模型的可逆性第90页，共142页，2023年，2月20日，星期四(1)—(2)

逆函数逆转形式第91页，共142页，2023年，2月20日，星期四(3)—(4)

逆函数逆转形式第92页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的统计性质常数均值常数方差第93页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的统计性质自协方差函数P阶截尾自相关系数P阶截尾第94页，共142页，2023年，2月20日，星期四常用MA模型的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型第95页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(1)过程的自相关函数ACF第96页，共142页，2023年，2月20日，星期四第97页，共142页，2023年，2月20日，星期四第98页，共142页，2023年，2月20日，星期四模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：第99页，共142页，2023年，2月20日，星期四第100页，共142页，2023年，2月20日，星期四模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：第101页，共142页，2023年，2月20日，星期四第102页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(2)过程的自相关函数ACF第103页，共142页，2023年，2月20日，星期四第104页，共142页，2023年，2月20日，星期四第105页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(q)过程的自相关函数(ACF)第106页，共142页，2023年，2月20日，星期四因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。第107页，共142页，2023年，2月20日，星期四例3.6:考察如下MA模型的相关性质第108页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的自相关系数截尾

第109页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的自相关系数截尾

第110页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的统计性质偏自相关系数拖尾第111页，共142页，2023年，2月20日，星期四样本偏自相关函数（SPACF）样本偏自相关函数有如下递推公式：第112页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(1)过程的偏自相关函数PACF我们介绍了求偏自相关的递推公式如下：第113页，共142页，2023年，2月20日，星期四第114页，共142页，2023年，2月20日，星期四由上推导可得出如下结论：在可逆性条件满足情况下,MA(1)过程的PACF呈指数拖尾。如果θ1>0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果θ1<0,那么PACF正负交替呈指数衰减。第115页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)第116页，共142页，2023年，2月20日，星期四对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是实数，则φkk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则φkk

是一衰减的正弦波。第117页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。第118页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的偏自相关系数拖尾

第119页，共142页，2023年，2月20日，星期四MA模型的偏自相关系数拖尾

第120页，共142页，2023年，2月20日，星期四自回归移动平均过程的性质第121页，共142页，2023年，2月20日，星期四ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型第122页，共142页，2023年，2月20日，星期四系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式第123页，共142页，2023年，2月20日，星期四ARMA(1,1)的性质第124页，共142页，2023年，2月20日，星期四ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性第125页，共142页，2023年，2月20日，星期四2.ARMA(1,1)过程的ACF第126页，共142页，2023年，2月20日，星期四第127页，共142页，2023年，2月20日，星期四第128页，共142页，2023年，2月20日，星期四通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数由φ1和θ1共同决定。当k≥2时，自相关系数仅取决于φ1即差分方程φ(B)=0的根，呈指数衰减。第129页，共142页，2023年，2月20日，星期四ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态由φ1和θ1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。第130页，共142页，2023年，2月20日，星期四平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定第131页，共142页，2023年，2月20日，星期四传递形式与逆转形式传递形式逆转形式第132页，共142页，2023年，2月20日，星