序列的平稳性及其检验

序列的平稳性及其检验1第1页，共27页，2023年，2月20日，星期四

其中a是常数，

t是线性趋势函数，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF检验

为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型

2第2页，共27页，2023年，2月20日，星期四

(1)如果-1<

<1，则yt平稳（或趋势平稳）。

(2)如果=1，yt

序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：显然yt

的差分序列是平稳的。

(3)如果

的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。3第3页，共27页，2023年，2月20日，星期四

因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验

是否严格小于1来实现。也就是说：

原假设H0：

=1，备选假设H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

从方程两边同时减去yt-1得，其中：

=

-1。4第4页，共27页，2023年，2月20日，星期四

其中：

=

-1，所以原假设和备选假设可以改写为

可以通过最小二乘法得到的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性水平的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究了这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布，它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项)和样本长度T

。5第5页，共27页，2023年，2月20日，星期四

Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过t统计量来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验(DF检验)。

上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmentedDickey-Fullertest）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。

6第6页，共27页，2023年，2月20日，星期四

2.ADF检验

考虑yt存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，在上式两端减去yt-1，通过添项和减项的方法，可得其中

7第7页，共27页，2023年，2月20日，星期四

ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt

的滞后差分项来控制高阶序列相关

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)8第8页，共27页，2023年，2月20日，星期四

扩展定义将检验

(5.3.14)

原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断的估计值是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p)过程是否存在单位根。类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验不同显著性水平的t统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。9第9页，共27页，2023年，2月20日，星期四

但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：

（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。

（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。10第10页，共27页，2023年，2月20日，星期四

①若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数项。

②若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。11第11页，共27页，2023年，2月20日，星期四

3.DFGLS检验在经验研究中，尽管DF检验的DF统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：

12第12页，共27页，2023年，2月20日，星期四首先定义序列yt的拟差分序列如下：

t=1,2,,T并且构造如下回归方程：

t=1,2,,T(5.3.14)其中xt

=(1)表示yt中只含有截距项，或xt

=(1,t)表示yt中含有截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量，在实际计算中通常如下定义参数a：

13第13页，共27页，2023年，2月20日，星期四利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列ytd为

t=1,2,,T然后，对退势后的序列ytd，应用ADF检验，即为DFGLS检验。检验过程如下：

t=1,2,,T原假设和备选假设同ADF检验一致，为

Elliott，Rothenberg和Stock(1996)给出了不同置信水平下的临界值，DFGLS检验同一般的ADF检验一样是左侧单边检验。14第14页，共27页，2023年，2月20日，星期四

EViews软件中单位根检验操作说明：

双击序列名，打开序列窗口，选择View/unitRootTest，得到下图：

单位根检验窗口15第15页，共27页，2023年，2月20日，星期四进行单位根检验必须定义4项：

1．选择检验类型

在Testtype的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供了6种单位根检验的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test16第16页，共27页，2023年，2月20日，星期四

2．选择差分形式在Testforunitrootin中确定序列在水平值、一阶差分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。17第17页，共27页，2023年，2月20日，星期四

3．定义检验方程中需要包含的选项

在Includeintestequation中定义在检验回归中是否含有常数项、常数和趋势项、或二者都不包含。这一选择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这3种情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。18第18页，共27页，2023年，2月20日，星期四

4．定义序列相关阶数

在Laglenth这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的滞后阶数的准则。一般而言，EViews默认SIC准则。定义上述选项后，单击OK进行检验。EViews显示检验统计量和估计检验回归。单位根检验后，应检查EViews显示的估计检验回归，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。19第19页，共27页，2023年，2月20日，星期四

例5.7

检验居民消费价格指数序列的平稳性

图5.9中国1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列20第20页，共27页，2023年，2月20日，星期四

例5.7用AR(1)模型模拟1983年1月～2007年8月居民消费价格指数一阶差分CPI的变化规律。在用ADF进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从图5.7的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。CPI序列的ADF检验结果(选择既无常数项也无趋势项)如下：21第21页，共27页，2023年，2月20日，星期四

1983年1月～2007年8月的CPI序列单位根ADF检验结果。可以看出不能拒绝原假设，存在单位根。22第22页，共27页，2023年，2月20日，星期四

1983年1月～2007年8月的CPI序列单位根DF-GLS检验结果。采用含有常数和趋势项的形式。不能拒绝原假设，CPI序列存在单位根。23第23页，共27页，2023年，2月20日，星期四

检验结果显示，CPI序列接受原假设，因此，CPI序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分CPI序列进行单位根检验，ADF检验结果如下：

检验结果显示，一阶差分CPI序列拒绝原假设，接受CPI序列是平稳序列的结论。因此，CPI序列是1阶单整序列，即