走进数学建模世界分析

走进数学建模世界分析走进数学建模世界分析/走进数学建模世界分析走进数学建模世界华南师范大学数学科学学院06级本科生(510631)黄泽君编者按：由中国教育部国际沟通司与师范司，以及东芝企业共同举办的第二届“东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生讲课技术创新实践大赛”2009年11月15日在上海落下帷幕。经过紧张的数学模拟讲课、讲课方案评选、即席演讲三项总决赛，最后华南师范大学的黄泽君夺得冠军，南京师范大学的向坤获亚军，陕西师范大学的金涛获季军。三名获奖选手每人除了获奖赏高级笔录本电脑一台以外，并获取免费赴日进行短期访学。本刊登载获取第一名的讲课方案,以飨读者。【教材】人教版数学必修①3.2函数模型及其应用【课时安排】第4课时【讲课对象】高一学生【讲课教师】华南师范大学数学科学学院黄泽君【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作详细安排，但是建议将数学建模穿插在有关模块的讲课中。而“3.2函数模型及其应用”一节但是经过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实诘问题中的作用，为此后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真切理解数学建模的真切全过程。本节课经过一个较为真切的数学建模事例，以填补教材的这一不足。【学情分析】高一学生在进入本节课的学习以前，需要熟习前面已学过的二次函数与三角函数的有关性质。【讲课目的】知识与技术1）初步理解数学模型、数学建模两个见解；2）掌握框图2——数学建模的过程。过程与方法1）经历解决实诘问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；2）提升学生经过成立函数模型解决实诘问题的能力。感神情度价值观1）体验将实诘问题转变为数学识题的数学化过程；2）感觉数学的适用价值，加强应企图识；（3）领悟数学以不变应万变的魅力。【讲课要点】框图2——数学建模的过程。【讲课难点、要点】方案二中答案的研究；要点是运用合情推理。【讲课方法】指引研究、讨论沟通。【讲课手段】计算机、PPT、几何画板。【讲课过程设计】一、讲课流程设计设计企图：与大学数学建模比较，过去的中学实诘问题化为数学建模缺乏理想化（模型假定）这一重要的设计企图：展现将理想化问题转变为数学识题理想化问题化为的数学化过程。求解数学模型设计企图：展现“解模”过程。数学建模过程最优解的研究什么是牛刀小试小结与思虑

设计企图：联合这一实诘问题的解决过程，归纳出数学建设计企图：1.让学生经历数学建模中的优化过程；设计企图：1.使学生获取科学的数学建模理论：数学建模与数学模型的见解、数学建模的详细过程；设计企图：1.依据桑代克的练习律与斯金纳的加强原理设设计企图:1.小结意在加强数学建模理论，形成知识组块；二、讲课过程设计讲课

教师

学生

设计教

学

内

容环节

活动

活动

意图现有宽为a的长方形板材，请将它设计制（一）成向来的张口的长条形水槽，使水槽能经过的流水量最大。实质教师学生与大学问题指引听讲数学建化为学生思虑模比较，理想阅读过去的化问理解中学数题1.初步理想化问题学建模估计在单位时间内，该水槽能经过的流水量取，缺乏理时间决于水流速度和它的横截面积。我们将问题并将想化这2理想化，假定水流速度是必定的。那么，要其理一重要分钟在单位时间内获取最大的流水量，就应当将想化的环节。水槽设计成横截面积最大。于是，问题化归本环节为：意在恢现有宽为a的长方形板材，请将它设计制成复数学一张口的长条形水槽，使水槽的横截面积最建模的大。”真切面2.进一步理想化目。假如将水槽的横截面设计成矩形，那么这一实诘问题能够转变为理想化问题：以以下列图所示，要建筑一个横截面为矩形ABCD的水槽,而且AB,BC,CD的长度之和等于a.问应当如何设计水槽的深度和宽度,使水槽的横截面积最大?ADBC1.找寻变量以及变量之间的关系在此问题中，水槽的深度是一个变量，宽展示将（二）度是另一个变量，横截面积也是一个变量。教师学生理想化设ABx，BCy.矩形ABCD的面积为S.指引听讲问题转将理那么，这三个变量之间的关系是Sxy.解说思虑化为数想化变量S由两个变量x和y确立.假如我们学识题问题能使面积S表达式只由一个变量确立，那么的数学转变我们研究的问题就能够简化，这就需要找寻化过程。为数两个变量x和y之间的关系。明显,学识2xya.题2.成立数学模型估计Sx(a2x)时间将实诘问题转变为一个纯数学识题：3a）当x取何值时，函数Sx(a2x)（0x分钟.2有最大值？因为Sx(a2x)a22(xa)2a2，848（三）因此，当xa时，S有最大值0.125a2.4此时，yaa2x.2求解数学模型当水槽的横截面设计成矩形时，只需将深度、宽度分别设计为a和a时，可获取最大的横42截面积，从而可获取最大的流水量。解说数学结果可将上述数学建模的过程归纳为下边的估计框图1：时间2

教师学生展指引听讲示分析思虑解解说求解模模型过程分钟实诘问题理想化问题找寻变量关系成立数学模型纯数学识题联合这（四）教师学生一实际求解数学模型指引听讲问题的数学解说思虑解决过建模解说数学结果程，归纳过程出数学建模的估计基本过时间程，以实2分现由具钟.体到抽象的升华。（五）我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深度、宽度分别设计为a和a时，可获取教师学生1.让学42最优最大的横截面积，将学着手生经历解的假如将水槽的横截面分别依据以下列图中的生疏研究数学建研究五种方案进行设计，结果又如何呢？成五各自模中的估计个小的优化过时间组，设计程；7并巡方案2.培育分钟视指学生的导学探究意生解识。决问题.因为缺乏导数工具，教师应引导学生运用察看、试算、估计、来探究方案二的答案.下边，我们将全班分红5个小组，分别研究五个方案的设计。最后派代表报告本小组的研究结果.方案一：S1x(ax)sin1x(ax)教师22a21(x1a)2a20.125a2.总结最优822890，且x1a时，Smax0.125a2.讨论解的当2研究方案二：S1(2a2asin)acos最后2333总结a2教师(1sin)cos演示9数学估计（演示数学实验）实验发现时间30时，Smas0.144a2答案,7方案三（四个底角为67.5的等腰三角形）：并指出运分钟S41aatan67.50.151a2.用导248数工方案四（五个底角为72的等腰三角形）：具可以证S51aatan720.154a2.明我2510们的答案方案五：是正确的.

学生通过观代表察、试解说算、估计各自与数学方案实验，培的答养学生案的合情推理能力和数学发现能力.ra,ra.S1r2a20.159a2.22经过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的状况能够得出，方案五是这个实质问题的最优解，即：将水槽的横截面设计为半径为a的半圆形时，从而可获取最大的流水量。以上我们进行了六种设计方案的研究后，才找到了该问题的最优解。这就表示，数学建模需要对所获取的结果进行查验讨论，以确教师学生1.使学认结果能否合理，是不是较好的结果。假如解说听讲生获取（六）结果不满意，就需要从头回到“理想化问题”归纳思虑科学的这一环节。于是，我们就能够归纳出一个较数学建什么为圆满的数学建模过程的框图。模理论：是框图2：数学建数学模与数建模学模型的见解、估计数学建时间模的具6体过程；分钟2.领悟数学以不变应万变的实诘问题从头理想化理想化问题纯数学识题求解数学模型结果不理想结果能否合理是问题获取解决

找寻变量及关系成立数学模型

魅力；3.填补《标准》中数学的建模理论的不足。依据这个框图，我们就能够往返答什么是数学建模？数学建模(MathematicalModelling)：就是运用数学化的手段从实诘问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，查验模型的合理性，从而使这一实诘问题得以解决的过程。数学模型就是用数学语言符号来描绘客观事物的特点及其内在联系的数学构造表达式。比方，各样函数、方程、不等式、不等式组等等都是比较常有的数学模型。世界上最简单的数学模型是表示数的字母a.数学模型“a”有双方面的含义：作为结果，她表示的是一个确立的数值，能够参加运算；作为过程，她表示的是一个变量：小大由之；可正可负；能够是有理数也能够使无理数。因为数学模型拥有高度的抽象性、归纳性和构造确实定性，因此数学模型能以不变应万变。不论是中文仍是英文，一个字所能表达的意义十分有限，但我们的数学模型“a”却能够表示无量无尽的对象——流动的世界。又比方说勾股定理，这一模型能够用来办理数以亿计的实诘问题。从小到斜边长为一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八千里的直角三角形，只假如直角三角形，它们竟然都知足相同的构造模型：斜边的平方等于两条直角边的平方之和.我不知道，这个世界上还有什么学科象数学这样这样简短，这样归纳，这样一致。我只知道：“数学的魅力在于，她能以坚固的模式驾御流动的世界！”（七）牛刀小试估计时间14分钟

以以下列图，某房地产企业拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向以以下列图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积.北A100mE西东60m80mBC70mD数学实验

1.依据练习律教师学生和强化解说着手原理，强说明解决化刚刚问题.问题获取的最后数学建演示模理论；数学2.培育实验.学生的问题解决能力。1.小结1.小结这节课，我们经过解决一个实诘问题，意在强（八）带大家走进了数学建模世界。教师学生化数学数学建模就是；解说内化建模理小结数学模型就是；点化数学论，形成与数学建模的详细过程.建模知识组课后我们还感觉到了理论块；思虑“数学的魅力在于，2.设计她能以坚固的模式驾御流动的世界！”四个课估计2.课后思虑后思考时间（1）将各方案中的图形沿虚线向上翻折，并察看思问题，目2考：周长为2a的凸多边形，什么时候面积最大？教师学生的是培分钟（2）家庭物理小实验表现思虑养学生先将一条长度固定的娇贵丝线的两端连结起问题准备的数学来，再将此关闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的解决探究能正方形（边长约5cm）铁丝框上的肥皂膜上（注意，问题1:问题力、着手是让学别弄破肥皂膜！），最后用小钉将曲线内的肥皂膜刺生研究实践能发现周问题2:破。你察看到什么现象，说了然什么问题？长必定让学生力和数的凸多通过动边形中手实践学创新（3）请你帮助吉东皇后解决问题发现周，正多边形的长一定意识。吉东是泰雅皇帝的女儿，历经周折，逃到非洲，的图形面积最大.中，圆且成为迦太基的创始人和第一位奇怪的皇后。刚到的面积非洲时，吉东要在靠海岸线的地方购置“一张兽皮”最大.问题3：是等周问的土地：她把兽皮剪成细条，结成长绳，剩下的问题在解决实诘问题题是：怎么围，才会获取最多的土地呢？中的应用.（4）用数学家的目光看世界问题4：是将平面音乐家关注声响，文学家关注人性，而数学家内的等周问题拓展则本能关注对象的数目关系、空间形式和构造。用到了空间.数学家的目光看世界，就是从数学的角度察看，感受，认识，描绘客观对象，从而提出创办性的问题。少儿嬉戏时吹出的肥皂泡，老是一个个在空中起舞的彩球；水银落在桌面上，老是呈球形转动；清早荷萍树叶上的露珠，老是聚成一个个晶莹剔透的水珠；冬日里为避寒而盘成一团的看家狗。面对这些现象，物理学家想到了表面张力的作用。以数学家的目光，你看到了什么？你有什么勇敢的猜想？【板书设计】（此略）附：本讲课方案的创新之处1.数学建模是高中数学新课程的新增内容，但却没有教材，没有详细内容。《标准》中建议由教师灵巧掌握，但教师们感觉不好掌握。本节课经过一个较为真切的数学建模事例，弥补了教材与《标准》的这一不足，并充分圆满了《标准》中的数学建模理论。与大学数学建模比较，过去的中学数学建模缺乏理想化（模型假定）这一重要的环节。本设计恰巧解决了这一问题，恢复了数学建模的真切面目