《概率论与数理统计》期末考试题（附答案）

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一.填空题（每题2分，共计60分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.5,p(B)?0.3,p(AB)?0.1，则

,P(A?B)=0.3。p(A-B)?0.4、p(A?B)?0.7、p(AB)?1/32、一个袋子中有大小一致的红球4只黑球2只，

(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：8/15。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：4/9。(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色一致的球一并放入袋中再取其次只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为：13/21.3、设随机变量X听从参数为6的泊松分布，则p?X?1??1-e?64、设随机变量X听从B（2，0.6）的二项分布,则p?X?2??0.36,Y

听从B（8，0.6）的二项分布,且X与Y相互独立，则X?Y听从B（10，0.6）分布，E(X?Y)?6。5、设二维随机向量(X,Y)的分布律是有

则a?_0.3_，X的数学期望

X01Y00.30.210.2aE(X)?___0.5_______，X与Y的相关系数?xy?___0.1_______。

6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作，

（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：p3；（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：1?(1?p)3；

〈0X〈2??0.5；E(X2)?_13/3，7、（1）若随机变量X~U(1,3)，则p?D(2X?1)?3/4．

1

（2）若随机变量X~N(1,4)且?(1)?0.8413则P{?1?X?3}?0.6826，。Y?2X?1,则Y~N(3，16）

8、随机变量X、Y的数学期望E(X)=1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y

相互独立，则：E(X?2Y)?5，D(X?2Y)?17。9、设X1,...,X10及Y1,...,Y15分别是总体N(20,6)的容量为10，15的两个独立样本，

2分别为样本方差。X,Y分别为样本均值，S12,S2则：X~N(20,3/5)，X?Y~N(0,1)，pX?Y?1=0.3174，

??S12322S1~?(9)，2~F(9,14)。2S2此题中?(1)?0.8413。

10、在假设检验中，显著性水平a是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误是指：H0成立的条件下拒绝H0的错误。

0?x?1?x?a,二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)??

,其它?0求：（1）常数a，（2）p(0.5?X?1?5)（3）X的分布函数F（X）。解:(1)由?f(x)dx?1,得a?1/22’

??1.511(2)p(0.5?X?1?5)=?f(x)dx??(x?)dx?0.6752’

0.50.52x?0?0?0?x?12’(3)F(x)??0.5x2?0.5x,?1,1?x????3x2,0?x?1,三、（6分）设随机变量X，Y的概率密度分别为：fX(x)??，

,其它?0?2y,0?y?1,，且随机变量X，Y相互独立（1）求（X，Y）的联合fY(y)??0,其它?概率密度为：f(x,y)

2

（2）计算概率值p?Y?2X?。

解:(1)X，Y的边缘密度分别为:

??122?0?x?1????f(x，y)dy??06xydy?3x，fX(x)???其他?0

??12?0?y?1????f(x，y)dx??06xydx?2y，fY(y)???其他?0X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为

,f（x，y）?f（?f（Xx）Yy）?6x2y,0?x?1,0?y?1f(x,y)??2’

,其它?0P(Y?2X)?y?2x??f(x,Y)dxdy??dy?y6x2ydx?021119420四、（8分）从总体X~N(u,?2)中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本

22方差分别是：X?80,S2?9，t0.025(24)?2.0639,x0.975(24)?12.4,x0.025(24)?39.36

求u的置信度为0.95的置信区间和?2的置信度为0.95的置信区间。解:(1)n=25,置信水平1???0.95,?/2?0.025,t0.025(1)?2.1315,

X?80,S2?9由此u的置信水平为0.95的置信区间为:

(80?325?2.0639),即(80?1.238)4’

22(2)n=25,置信水平1???0.95,?/2?0.025,x0.975(24)?12.4,x0.025(24)?39.36

S2?9由此?2的置信水平为0.95的置信区间为:

(24?924?9,)?(5.49,17.42)4’22?0(24)?(24).0250.975

五、（10分）设总体X听从N(u,?2),?2已知,u未知。X1,?,Xn是X的一个样本，求u的矩估计量，并证明它为u的无偏估计。解:样本X1,...,Xn的似然函数为:

3

L(x1,...,xn,u)?(2?)?n/21nexp[??(xi?u)2]2k?1

2’

而1’令1’解2’

1n?)?E(?Xk)?uE(unk?11nlnL(x1,...,xn,u)??n/2ln(2?)?[?(xi?u)2]

2k?1:

d(lnL(x1,...,xn,u))n??(xi?u)?0duk?1,

得:

1n???xiunk?1u的最大似然估量

1n???Xiunk?1,它为u的无偏估计量.

2’六、（5分）一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似听从正态分布,当设备正常时一天产800吨,现测得最近5天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为800吨。（取??0.05），此题中t0.025(4)?2.7764。解:按题意日产量X~N(u,?2),u,?2未知,现取??0.05检验假设:

H0:u?800,H1：u?8001’用t检验,现有n?5，??0.05，t0.025(4)?2.7764,拒绝域为:

?x?800t??2.7767,1’?s/5?算得:x?794.4,s?8.6169,t?x?800s/5??1.4527,2’

t值不在拒绝域内,故接受H0,认为日产量没有显著变化.1

七、（5分）设温度计制造厂商的温度计读数近似听从正态分布N(u,?2),?2,u未知,现他声称他的温度计读数的标准差为不超过0.5,现检验了一组16只温度计,得

2标准0。7度，试检验制造商的言是否正确（取??0.05），此题中?0)?24.996。.05(154

解:按题意温度计读数X~N(u,?2),u,?2未知,现取??0.05检验假设:

H0:??0.5,H1：??0.51’用?2检验,现有n?5，??0.05，t0.025(4)?2.7764,拒绝域为:

(n?1)s22