高二数学立体几何单元测试题(含答案)

单元测试题一、选择题（每题5分，共12题，共60分）1.下列符号语言描述正确的是（C）①若点A,点B,则AB，②若点A,点B,则AB，③若点A直线，则点A和直线确定一平面.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.下列几个图形中，虚线、实线使用不正确的有（D）A.(2)(3)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(4)3.在平行六面体中，向量、、是(C)A有相同起点的向量 B等长的向量C共面向量 D不共面向量4.“直线上有一点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（B）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5.设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是(C)A{+，－，} B{+，－，}C{+，－，} D{++，+，}6.，则下列式子中与相等的是(A)A－++ B++C－+ D－－+7.O、A、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则(D)AO、A、B、C四点共面，但不共线 BO、A、B、C四点不共线CO、A、B、C四点中任意三点不共线 DO、A、B、C四点不共面8.Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C9.“直线垂直于平面α内的无数条直线”是“⊥α”的(B)A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件10.两条直线a、b满足a∥b，b∥，则a与平面的关系是(D)Aa∥Ba Ca Da或a∥11.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是(D)A过A有且只有一个平面平行于a、bB过A至少有一个平面平行于a、bC过A有无数个平面平行于a、b D过A且平行a、b的平面可能不存在12.如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是(C)A BC D解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，∴∠BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE=a，DE=a，cos∠BDE==二、填空题（每题4分，共4题，共16分）13.请写出三垂线定理。14.过平面外一点P作平面的垂线，则这样的直线有1条。15.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的关系是。16.给出下列命题，其中正确的两个命题是②④。①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.三、解答题（共6题，17~21每题12分，2214分，共76分）17.如图，在空间平移△ABC到△,连接对应顶点，设,,,M是的中点，N是的中点，用基底表示向量。解：18.如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角解：取BC的中点E，连结EN、EM，∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角在△EMN中，EN==3，EM==5，MN=7，cos∠MEN=－，∴∠MEN=120°∴异面直线AC与BD所成的角是60°19.如图，已知平面∩平面=,a∥,a∥,求证a∥.证明：见教材P22第4题20.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上与A、B两点都不重合的任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，过A点作AF⊥PB于点F.求证：①AE⊥BC,②PB⊥平面AEF.证明：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC,而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC,又∵AE在平面PAC内，∴AE⊥BC。②由①可知：AE⊥BC，∵AE⊥PC，PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC,∴AE⊥PB,又∵AF⊥PB,而AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF21.如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且且B1E=C1F，求证：①EF∥平面ABCD②若点G是线段BB1上一动点，证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC∴EM∥BB1，FN∥BB1∴EM∥FN又B1E=C1F，∴EM=FN故四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则=∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴=∴FG∥B1C1∥BC,又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD22.如图，已知点P是矩形ABCD所在平面外一点，且AB=2，BC=a，又PA⊥底面ABCD（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围分析：本题第（1）问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC故当a=2时，BD⊥平面PAC（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求11如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD解：在面PCD内作EG⊥PD