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#/11TOC\o"1-5"\h\z第。行 1第1行 11第2行 I2I第芸行 1331笫4行 14841第5行1510105I第6行3G152015G1⑴在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3：4:5?若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n,r为正整数,且nNr+3.求证：任何四个相邻的组合数C,C；TC/工，乙十口不能构成等差数列.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)解存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C：,k=0,1,2,n组成.若第n行中有三个相邻的数之比为3：4：5,Ck一i k3Ck k+1 4则~r^~= m=，~^n~= T=T，Ck n—k+14Ck+1 n—k5nn即3n—7k=—3,4n—9k=5,解得k=27,n=62.即第62行有三个相邻的数片，Ci,吃的比为3：4：5.(2)证明若有n,r(nNr+3),使得C"CT',CT'CT成等差数歹U，则2cL=C；+Ch，2ch=CL+c『,即 ~(llJ：!=7i—!+(r+2)!―! 2*n! J(,rr-r-2)!TOC\o"1-5"\h\z加 内!=(/-FD!~(ll。！+(r+3)!~5—L3)!'2 1 I所以(Hi)III】)=5-lI)(lf)+(HD［叶幻'2 I I(H2)=(用一L八金一Ll>+(H2)(叶3)'整理得n2—(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2—(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0.两式相减得n=2r+3,所以CM,必，成等差数列,由二项式系数的性质
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