第四届高数竞赛（医学类）试题答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第四届高数竞赛（医学类）试题答案南昌大学第四届高等数学竞赛(医学类)答案

一、填空题(每空3分，共15分)1．1000！2．13．04．

5．y??x?2b

二．选择题(每题3分，共15分)

1．D2．B3．A4．C5．C

12ba三、（此题总分值6分）

?111?求极限lim?????22?n??(n?1)2(n?2)(2n)??解：由于

1111111………...(2分)??????????2222224n(2n)(2n)(2n)(n?1)(n?2)(2n)且

111111n??????????……….(2分)

(n?1)2(n?2)2(2n)2(n?1)2(n?1)2(n?1)2(n?1)2又由于lim1n?0,lim?0……………..(1分)

n??4nn??(n?1)2从而由迫敛性（夹逼原则）知，

?111?=0………….(1分)lim?????22?n??(n?1)2(n?2)(2n)??四、（此题总分值6分）

1??x2?esinx???4求极限lim?.x?0?|x|?1?ex???1?4?3????xxx2?esinx?2e?esinx???lim??lim??1……...(3分)4?4解：x?????0??x?0|x|?x??1?ex?ex?1????11????xx?2?e?sinx??lim?2?e?sinx??2?1?1lim44……….(2分)?x?0??x?0??|x|x??1?ex??1?ex?????1??x2?esinx???4从而lim?=1…………..(1分)x?0?|x|?1?ex???五、（此题总分值7分）

sinx设f(x)的一个原函数为，求

x''xf?(2x)dx.

?sinx?xcosx?sinx解：由题知f(x)??…………..(2分)??2x?x?1111sin2x?xf(2x)dx?2f(2x)x?2?f(2x)dx?2f(2x)x?42x?C12xcos(2x)?sin(2x)1sin2xxcos(2x)?sin2x?x??C??C22(2x)42x4x'……………..(5分)六、（此题总分值7分）设f(x)是在(??,??)定义域内以T为周期的连续函数，即对任意的x，总成立

f(x)?f(x?T)，证明：

?证明：由于?而故

a?Taa?Taf(x)dx??f(x)dx00Ta0T(a为任意实数)

a?TTf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??aa00f(x)dx……………..(3分)

?a?TTf(x)dx令t?x?T?f(t?T)dt??f(t)dt……………..(3分)

?a?Taf(x)dx??f(x)dx.……………..(1分)

0T七、（此题总分值8分）求函数f(x)?|x(x2?1)|的极值.

解：当x?0,?1时，f'(x)?(3x2?1)sgn(x3?x)令f'(x)?0，得x??3.……………..(3分)3另外，在x?0,?1处导数均不存在。……………..(2分)当x?(0,33)时，f'(x)?0;x?(,1)时，f'(x)?0.33323处f取得极大值.……………..(1分)39323处f也取得极大值.……………..(1分)39故在x?同理可得在x??由于f(x)?0,又f(0)?f(?1)?0,故在x?0,?1处f取得微小值0.……..(1分)八、（此题总分值7分）

某种类型的阿司匹林药物进入血液系统的量称为有效药量，其进入速率可表为

函数f(x)?0.15x(x?3)2试求(1)何时速率最大？这时的速率是多少？(2)有效药量是多少？.

解：(1)f'(x)?0.3(x?3)(x?1)……………..(2分)令f'(x)?0,得x?1或x?3.……………..(1分)易求得f(0)?0,f(1)?0.6,f(3)?0.

即当x为1时，此时速率最大，值为0.6.……………..(2分)(2)由题意知，有效药量为?f(x)dx?1.0125……………..(2分)

03(0?x?3)

九、（此题总分值7分）

设f?x?在[0，1]上是单调递减的连续函数，试证明对于任何q?[0,1]都有不等式

?q0f(x)dx?q?f(x)dx.

01证明：显然q?0和q?1时，不等式成立；……………..(1分)当0?q?1时，

?

q0f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)00010q11?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx(用积分中值定理)…………..(3分)

?(1?q)qf(?1)?q(1?q)f(?2)?q(1?q)[f(?1)?f(?2)]?0十、（此题总分值7分）……………..(3分)

事实上，由于?1?[0,q],?2?[q,1],即?2??1，由函数的单调性知f(?1)?f(?2)?0.

?2z?2z?2z设函数z?xln(xy),求2,,.

?x?x?y?y2解：zx?lnx?lny?1,……………..(1分)

?2z1?……………..(2分)2?xx?2z1?……………..(2分)?x?yyx?2zxzy?,2??2……………..(2分)

y?yy十一、（此题总分值8分）1r设v?g(t?),c为常数,r=x2?y2?z2.证明：

rcx?vyy?vzz?证明：

1v2tt.c1x1'xxx'?g?g?(?)??g?g232rrrcrrcr……………..(2分)222223x?r3x?r'xVxx?g?g?23g''54rcrcrVx??同样可求得

3y2?r23y2?r2'y2''Vyy?g?g?23g……………..(2分)

r5cr4cr3z2?r23z2?r2'z2''Vzz?g?g?23g……………..(2分)54rcrcrVt?1'1g,Vtt?g''……………..(1分)rr所以

3(x2?y2?z2)?3r2x?vyy?vzz?g?5r3(x2?y2?z2)?3r2'(x2?y2?z2)''g?g423crcr

111?2?g''?2vtt.crc……………..(1分)十二、（此题总分值7分）求圆x2?(y?R)2?r2(r?R)绕x轴一周所得旋转曲面的面积.

解：此旋转体的表面可看作是由两个半圆：

y?R?(r2?x2),?r?x?ry?R?(r?x),?r?x?r22……………..(1分)

绕x轴旋转而得到，所以