山西省临晋中学高二数学上学期月考试题理

PAGE8-山西省临晋中学2020-2021学年高二数学上学期月考试题理第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)（1题图）1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为()（1题图）②①①B．②①②C．②④①D．③①①（2题图）2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()（2题图）A．6cmB．8cmC．(2＋3eq\r(2))cmD．(2＋2eq\r(3))cm3．下列命题中，错误的是()A．平行于同一平面的两个平面平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交D．一条直线与两个平行平面所成的角相等（4题图）4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有()（4题图）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛5.设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数为()（6题图）A．1B．2C．3D．4（6题图）6.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，且EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()（7题图）A.eq\f(9,2)B．5C．6D.eq\f(15,2)（7题图）7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．4（8题图）8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()（8题图）A．2B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2)D．6＋4eq\r(2)9.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为()（10题图）线段B1CB.BB1的中点与CC1的中点连成的线段（10题图）C．线段BC1D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段10．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60° D．30°11．已知直二面角α­l­β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.eq\f(\r(6),2)B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(5),3)12．已知三棱锥P­ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P­ABC的体积为eq\f(16,3)，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B.eq\f(40π,3)C.eq\f(64π,3) D.eq\f(80π,3)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．（14题图）14．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)

（14题图）15．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．（16题图）16.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：（16题图）①对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1∶2∶3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是eq\f(1,6)；④（17题图）17．(本小题10分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．（17题图）(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.（18题图）18.(本小题12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.（18题图）求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.（19题图）（19题图）19.(本小题12分)在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1­ABC的体积．（20题图）（20题图）(本小题12分)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2eq\r(3)，M，N分别是线段PA，PC的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．（21题图）（21题图）21.(本小题12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AD＝2eq\r(3)，∠ACD＝60°，E为CD的中点．(1)求证：BC∥平面PAE；(2)求点A到平面PCD的距离．(22题图）22.(本小题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(22题图）(1)证明：PA∥平面DBE；(2)证明：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小.

答案ABBBCDCCADCD13．314.不变15．20或416.①②④17.证明(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC.又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∵CC1，BC⊂平面BB1C1C，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，又B1C⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1C.(2)取A1B1的中点D1，连接C1D1，D1D和AD1，∵AD∥D1B1，且AD＝D1B1，∴四边形ADB1D1为平行四边形，∴AD1∥DB1，又∵AD1⊄平面CDB1，DB1⊂平面CDB1，∴AD1∥平面CDB1.∵CC1∥DD1，且CC1＝DD1，∴四边形CC1D1D为平行四边形，∴C1D1∥CD，又∵CD⊂平面CDB1，C1D1⊄平面CDB1，∴C1D1∥平面CDB1，∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1⊂平面AC1D1，∴平面AC1D1∥平面CDB1，又AC1⊂平面AC1D1，∴AC1∥平面CDB1.18.（1)如图,连接EF,CD1,BA1.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.又BA1∥CD1,所以EF∥CD1.所以E,C,D1,F四点共面.(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P.由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理,得P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.19.(1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，[又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.(2)解：因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离．由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3)，所以VC1­ABC＝VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·A1O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.20.(1)证明连接AC交BD于点O，∵M，N分别是线段PA，PC的中点，∴MN∥AC，∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.(2)解由(1)知，∠ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角．∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝2eq\r(3)，∴在Rt△BOC中，BC＝2，BO＝eq\r(3)，∴∠OCB＝60°，∴异面直线MN与BC所成的角为60°.21.解析：(1)证明：∵AB＝eq\r(3)，BC＝1，∠ABC＝90°，∴AC＝2，∠BCA＝60°.在△ACD中，∵AD＝2eq\r(3)，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，又E为CD中点，∴AE＝eq\f(1,2)CD＝CE，∵∠ACD＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°＝∠BCA，∴BC∥AE，又AE⊂平面PAE，BC⊄平面PAE，∴BC∥平面PAE.(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，PC＝2eq\r(2)，PD＝CD＝4，∴S△PCD＝2eq\r(7)，∵VP－ACD＝VA－PCD，∴eq\f(1,3)·S△ACD·PA＝eq\f(1,3)·S△PCD·d，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×2＝eq\f(1,3)×2eq\r(7)d，∴d＝eq\f(2\r(21),7)，∴点A到平面PCD的距离为eq\f(2\r(21),7).22.(1)证明连接AC交BD于点O，连接OE.在△PAC中，∵O，E分别是AC，PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又∵PA⊄平面DBE，OE⊂平面DBE，∴PA∥平面DBE.(2)证明∵PD⊥平面ABCD，又DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.又PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC.同理可证PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，∴PB⊥平面EFD.(3)解由(2)知PB⊥DF，∴∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD