高中数学12点线面之间的位置关系123空间中的垂直关系知识

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知识梳理

1.直线与平面垂直

定义:假使一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O,并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面垂直.易知,假使一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内的任意一条直线垂直.

判定定理:假使一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.推论:假使在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.性质定理:假使两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.2.平面与平面垂直

定义:假使两个相交平面的交线和第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线相互垂直,就称这两个平面相互垂直.

判定定理:假使一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面相互垂直.

性质定理:假使两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

知识导学

线面垂直与面面垂直是证明直线垂直的重要依据,要注意空间向平面的转化.

平面与平面的垂直和平行的关系要注意区分,在平面内,“两条直线同垂直于一条直线,则这两条直线平行〞,这个结论在空间不成立,推广到平面与平面上更不成立.但是,在空间“同垂直于一个平面的两条直线平行〞和“同垂直于一条直线的两个平面平行〞却是成立的.注意它们之间的类比.

与垂直有关的问题一般都可以结合初中平面几何内容进行求解,需要注意的是,直线与直线的垂直不一定相交,这是与平面几何不同的地方,而直线和平面垂直,以及平面与平面垂直意味着它们一定相交.但是它们之间的角的关系又不是很明显,因此只能根据定义及判定定理证明垂直的结论.

空间的平行与垂直采用了“线—面—线〞的思路,即由直线的平行与垂直定义线面垂直,再定义面面的平行与垂直,利用线线平行与垂直判定线面的平行与垂直,进一步判定面面的平行与垂直;反过来,由面面平行与垂直的性质证明线面及线线的平行与垂直.表达了研究立体几何的一般思路.疑难突破

1.求点到平面的距离有哪些常用的方法?剖析:求点到平面的距离的常用方法有:

(1)直接法:由该点向平面引垂线,直接计算垂线段的长,用此方法的关键在于找到这一垂线的位置及垂足的位置.

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(2)转移法:指将该点到平面的距离转化为求另一点到平面的距离,寻常有以下几种转移方式:一种是利用线面平行的性质(与平面平行的直线上各点到平面的距离相等)转化成求此直线上另一点到该平面的距离;另一种是利用“若一条线段的中点在一个平面上,那么它的两个端点到这个平面的距离相等〞的结论把一个端点到平面的距离转化为另一个端点到这个平面的距离.

(3)体积法:已知棱锥的体积和底面的面积,求顶点到平面的距离,可用体积公式的逆公式求点到平面的距离.2.空间的垂直关系.

剖析:空间的垂直关系主要有:两条直线的垂直、直线与平面的垂直、两个平面的垂直.空间中的两条直线更加广泛.在平面内相互垂直的两条直线一定相交,而空间中的两条垂线可以不相交,寻常把其中一条直线平移到和另一条直线相交后所得的夹角是直角就