航天轨道设计

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论文（设计）

题目：航天器多刚体动力学探讨

姓名王菲学号202300204025学院土建与水利学院专业工程力学年级2023级指导教师赵俊峰冯维明2023年5月28日

业山东大学学士学位论文

目录

摘要IIIAbstractIV第1章引言11.1研究背景及意义11.2神态动力学简介11.3论文主要工作介绍2第2章刚体神态运动学与动力学基础52.1参考坐标系和转动52.1.1参考坐标系52.1.2方向余弦矩阵的定义62.1.3方向余弦矩阵的性质72.2神态运动的描述72.2.1神态运动的方向余弦矩阵描述72.2.2神态运动的欧拉角描述92.2.3角速度112.3刚体动力学基础122.3.1动量132.3.2动量矩132.3.3刚体的动能142.3.4其次类拉格朗日方程152.4航天器动力学中的神态运动方程152.4.1旋转参考坐标系152.4.2矢量运动方程162.4.3标量运动方程172.4.4动能及拟拉格朗日方程18第3章两刚体系统模型213.1拉格朗日方程法213.1.1初始状态213.1.2转动后模型状态223.1.3动力学计算24

I

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3.2牛顿-欧拉（Newton-Euler）法313.2.1坐标系的建立及基本参数的表示313.2.2矢量运动方程333.2.3标量运动方程35第4章MATLAB数值分析39第5章总结与展望45致谢47山东大学学士学位论文

Abstract

.WiththevigorousdevelopmentofChina'sspacetechnology,multi-rigid-bodydynamicshasabroadapplicationprospectinthefieldofspacecraftattitudecontrol.Thispapermainlydiscussestheattitudekinematicsanddynamicsofthespacecraftmulti-rigid-bodysystemwhichrotatesarounditscenterofmass,andtheinfluenceofgeneralizedforceforspacecraftattitudechangecomesincalculationexamples.Fortheattitudekinematicsstudysection,itmainlyexpoundstheestablishmentofreferencecoordinatesystem,theprincipleofrotatingreferenceframetransformation,thedefinitionofEulerangleandtheexpressivemethodsofangularvelocity.Andstudyofattitudedynamicsofrigidbodymainlydiscussesandestablishes

the

momentum

equation,

theequationof

moment

of

momentum,

kineticenergyequationandtheLagrangeequationsofthesecondkind.ThenLagrangeequationmethodandNewtonEulermethodareusedinthispapertosolvetheproblemoftheattitudeofthetwo-rigid-bodysystembymodeling.Finally,usingMATLABsimulationcalculationtoobtainthechangesoftheattitudeofaspacecraftandachievethespacecraftattitudecontrolundertheactionofdifferentforceandmoment.

Keyword:two-rigid-bodyattitudemotionLagrangemethodNewton-Eulermethod

IV

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第1章引言

1.1研究背景及意义

自20世纪70年代以来我国先后成功发射多颗人造地球卫星和载人飞船。它们包括低轨道的返回式卫星，中、高轨道的资源、气象卫星、科学试验卫星、通讯、导航卫星等。特别是神舟载人飞船的成功发射、安全返回，极大的提高了中华民族的自尊心和凝聚力。在这些卫星、飞船的研制过程中，我国的科技工为航天器动力学的发展做出了自己的贡献。

在轨运行的航天器都承受着特定的空间探测、开发和应用的任务，为了完成这些应用任务，要求航天器神态正确的定向在给定的方向上，或从原神态机动到另一指向神态，本文正是在这样的背景下进行研究的。1

1.2神态动力学简介

航天器神态动力学是研究航天器在环境力和内力的作用下，围绕其质量中心运动的规律。它既研究航天器整体的神态运动，即刚体式的转动，也要研究其各部之间的相对运动。如天线、太阳帆板等绕轴承和铰链的相对转动，结构弹性变形的振动等。航天器为完成科学试验，天文观测，军事侦察，通讯等任务，经常要求本体或一部分部件（如天线、观测平台、天文望远镜、照相机等）在轨道运行期间保持某个确定的神态，如对准地球、太阳、恒星等。这就要完成神态控制，为确定神态方案就必需了解航天器在各种内力、内力矩、外力、外力矩作用下神态运动规律，这就是航天器神态动力学要解决的问题。

18世纪在天体力学研究中达朗贝尔（D’Alembert）和欧拉（Euler）关于地球自转进动、章动、和岁差理论，以及朗格朗日（Lagrange）关于月球绕质心的天平动理论就是航天器神态动力学的前身。它们针对非球形地球、月球在太阳和地球的平方反比律引力场中神态运动的问题。

1

耿长福，《航天器动力学》，中国科技出版社，（2023）

1

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早期航天器规模小刚度大，可近似为六自由度的刚体。因此其神态动力学的建模问题可直接应用经典的刚体动力学理论来研究，且可得到满意的分析结果。

直接根据牛顿定律建立多刚体系统动力学方程的方法统称为矢量力学方法或牛顿-欧拉（Newton-Euler）法，或简称为N/E方法，它是经典力学中最古老的研究方法。矢量力学方法对于运动和力的描述具有很强的几何直观性，但对隔离提单独列出的动力学方程内不可避免的出现铰的理想约束反力，因而增加了方程中未知变量的数目。因此，直接采用牛顿-欧拉方法，必需加以发展，制定出便于计算机识别的刚体联系状况和约束形式的程式化方法，并致力于自动消除铰的约束反力。2

拉格朗日是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开拓了道路。采用拉格朗日方程可以避免出现不做功的铰的理想约束反力，使未知变量的数目减少到最低程度。但随着刚体数目和自由度的增多，动能和势能函数的项数急剧扩张，求导数的计算工作量巨大，推导过程繁琐枯燥且简单出错。当系统稍有改变或者物理模型稍有变化时，就必需重新推导。不过拉格朗日方程的推导过程虽然繁琐却十分程式化，因此有可能利用计算机代替手工操作。3

1.3论文主要工作介绍

回想航天器发展历史可以知道航天器动力学的研究，特别是神态动力学的研究方法，寻常是先对航天器及其环境做出简化假设，建立起力学模型，然后根据力学原理，写出神态运动的微分方程，最终用分析方法或计算仿真来研究计算方程解的稳定性，从中得出有益结论。

本文的主要内容及各章节安排如下：第一章主要阐述了航天器多刚体研究的背景23

刘延柱，洪嘉振，杨海兴，《多刚体系统动力学》，高等教育出版社，（1989）ThomasR.Kane.，SpacecraftDynamics.McGraw-Hill，1983

2

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及意义，并大致概括了论文的研究内容；其次章主要介绍了刚体运动学与动力学的基础理论；第三章通过建模并分别运用拉格朗日方程法和牛顿-欧拉法建立两刚体动力学方程求解问题；第四章使用MATLAB软件进行数值分析；第五章给出总结与展望。

3

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4

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第2章刚体神态运动学与动力学基础

在考虑描述航天器的指向之前要明确几个基本概念：向量和参考系。4向量可以用其对参考坐标系的三个方向余弦来描述。为了描述刚体在空间的指向可以用固定在刚体上的坐标系相对于某个参数系的指向来描述。假使我们假设航天器、飞轮、天线或太阳列阵为刚体，用固连其上的坐标系Fb、Fw、Fa等相对某个参考坐标系的相对关系就可以描述其在空间的指向了。

2.1参考坐标系和转动

2.1.1参考坐标系

??????ee三个汇交于O点的正交单位矢量e、、它们组成的右手正交参123称为基矢量。

考系Fa称为基，O为基点。同一基的基矢量之间满足一下正交条件：5

ei?ej?δijei?ej?εijkek?i,j?1,2,3??i,j,k?1,2,3?

(1)(2)

其中?pq为克罗尼克（Kronecker）符号，?pqr为里奇（Ricci）符号，

?pq（p?q）?1??（p?q）?0

?pqr（p,q,r按1,2,3顺序循环置换）?1????1（p,q,r按3,2,1逆序循环置换）?0有重复标号）?（p,q,r中

??基矢量ep(p=1,2,3)排成的列阵称为基矢量列阵。

4

Andrews,G.C.,Kesavan,H.K.,TheVectorNetworkModel:aNewApproachtoVectorDynamics,J.维滕伯格，（谢传锋译），《多刚体系统动力学》，北京航空学院出版社，（1986）

5

MechanismandMach,Th.10(1975)57-75

5

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??e???e1e2?3?e?T(3)

任意矢量a在坐标系Fa的指向可以用其方向余弦和其长度a来表示：

??ce??a?ac1e122?c3e3

??(4)

?a?ei式中ci?cos?i?，假使定义ai?aci(i?1,2,3)，则

a

?1?a2e?2?a3e?3a?a1e(5)

?可称ai是a在Fa中的分量。定义矩阵

?1??e?a1???；F??e?a??aa?2??2????e??a3???3?(6)

?注意a是a在Fa中的分量阵，而Fa中的各元素为Fa的单位矢量。由于

????1?e?eij???0i?ji?j

所以可以写成

或

??a?a?Fa?Fa?a

?1?a2e?2?a3e?3a?aTFa?FaTa?a1e(7)

2.1.2方向余弦矩阵的定义

aT?a?FaT?FaT?a

(8)

??????考虑到两个坐标系Fa与Fb时，其中Fb的坐标轴的单位矢量为b1、b2、b3，那么可以写成

??ce????b1111?c12e2?c13e3???1?c22e?2?c23e?3?b2?c21e?

???ce???b?ce?ce3311322333??(9)

??????e其中cij?bi?e，即与bjj之间的方向余弦，上式简写成i

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Fb?AbaFa

(10)

其中Aba可简写成A??（下标可略）cij?，Aba称为Fa相对Fb的方向余弦矩阵。2.1.3方向余弦矩阵的性质

性质1：一致基之间的方向余弦矩阵为三阶单位阵。

Aaa?E

(11)

?性质2：设a为矢量，在两个基Fa和Fb中，可分别表示为a(1)和a(2)，则有

a?1??A12a?2?

(12)

性质3：任意三个基之间的方向余弦矩阵满足以下关系：

Aab?AacAcb

(13)

此性质可扩展为：在多个基组成的基族中，任意两基之间的方向余弦矩阵等于一系列按序排列的基之间方向余弦矩阵的连乘积。

性质4：方向余弦矩阵为正交阵，其行列式为1。

AAT?E，ATA?E(14)(15)

detA??1

性质5：任意两个基之间的方向余弦矩阵有等于1的特征值，其对应的特征矢量在两个基上的坐标列阵完全一致。

2.2神态运动的描述

2.2.1神态运动的方向余弦矩阵描述

位置描述如下图所示

7

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图1坐标系建立与位置描述

Ox1y1z1：固定坐标系Cx2y2z2：与质心相连的平动系Cx3y3z3：与质心相连的结体系

（矢量式，与坐标系无关）

R?RC?ρ

(16)

R(1)?RC(1)?ρ(1)

(17)

（投影式，与坐标系有关，要注明下标）

速度描述为

R?1??RC?1??A13ρ?3?A?A13?A12A23

(18)(19)

v?R(20)(21)(22)(23)

R?1??RC?1??Aρ?3?

v?1??R?1??RC?1??Aρ?3??Aρ?3?

v?1??vC?1??Aρ?3??vC?1??AATρ?1?

只要RC、A已知，就可求出刚体上任一点的运动。A完全反映了刚体相对质心

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运动的规律。

2.2.2神态运动的欧拉角描述

欧拉角的定义为

图2欧拉角的定义

OXYZ：固定坐标系Fa（定系）。

Oxiyizi：与刚体固连的结体系（动系），下标表示第几次转动。其中，最终转成的坐标系Ox3y3z3用Fb表示。

欧拉角表示为?,?,?，各欧拉角的含义如下：

???0，2??进动角Precessionangle

???0，??章动角Nutationangle???0，2??自转角Spinangle

欧拉角的转动次序：①结体系与参考系重合；②绕Z轴转动?；③绕x1轴转动?；④绕z2轴转动?。6

6

张光枢，刚体有限转动合成的可交换性，北京航空学院学报，4（1982），363-368

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能，其次项为平动与转动的耦合项。如O点与质心重合，则其次项消失，得柯尼希定理，即刚体的动能是质量集中于质心的质点动能与绕质心转动的动能的简单叠加

Τ?11mvC2?ω?JC?ω22(47)

如O为固定点，则第一其次项均消失。2.3.4其次类拉格朗日方程

假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有n个广义坐标都相互独立，则拉格朗日方程成立：

d??T?dt???qj??T??Qj???qj??j?1,2,...,n?

(48)

其中，T?q、q、t?是系统动能，q??q1,q2,,qn?是广义坐标，是时间t的函数，

q??q1,q2,,qn?是广义速度。

2.4航天器动力学中的神态运动方程

神态动力学主要研究关于转动的自由度，但有时平移运动和转动运动有耦合。和

?点质量不同刚体有质量分布问题，寻常用质量分布函数或密度函数σ(r)表示。我们假

定航天器为刚体，并采用矢量力学的方法来处理航天器的神态动力学问题，即牛顿-

??????欧拉（Newton-Euler）法（基本公式为p?f，h?g）。这种方法已被现代航天器神态动力学学者公认为是较好的方法。92.4.1旋转参考坐标系

??假使旋转坐标系Fb对惯性系Fi有一角速度ω，则任一向量u对时间的导数表示为

??????u?u?ω?u

9

Roberson,R.E.;Wittenburg,J.:ADynamicalFormalismforanArbitraryNumberofInterconnectedRigid

Bodies.WithReferencetotheProblemofSatelliteAttitudeControl.3rdIFACCongr.1966,Proc.London(1968),46D.2-46D.9

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（?）表示相对惯性系Fi的时间导数，（?）表示相对转动坐标系Fb的时间导数。10112.4.2矢量运动方程

图5刚体R

图5表示刚体?相对于惯性系Fi的运动，为描述其运动，可用一固连其上的O

?点的位置RO（即O相对Oi的位置），及原点在O的固连于刚体的本体坐标系Fb相对

于Fi的转动来表示。其转动方向余弦矩阵为Abi，定义同前。可以把质点系的运动方程的基本结论推广到刚体来。1213定义刚体质量的一阶矩和二阶矩（相对O点）

J?c??r??r?dV

RR(49)(50)

??rU?rr???r?dV

2??式中，?(r)为位于r处体积元dV的质量密度函数。刚体总质量

m????r?dV

R(51)

?当刚体?代表整个航天器，一般取C为刚体的质心，这时对质心的一阶矩c?0，

??二阶矩J?I。

10111213

张光枢，多刚体系统动力学方程，北京航空学院学报，1（1986）钟奉俄，关于自由下落猫的双刚体模型，力学学报，1（1985），72-77钟奉俄，失重状态下人体的神态控制，力学学报，2（1986），142-148

刘延柱，人体空中翻转体运动的动力学分析，上海交通大学学报，1（1984），75-86

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由于

p?f

hO?vO?p?gO

(52)(53)

??f和g从离散的质点系推广到连续的刚体或质量团将分别是：单位体积作用力

??????fv(r)，单位表面积作用力fs(r)，当然还要考虑作用在rj的外力fj（如来自反作用推力器的推力）。这样

f?t???fv?r,t?dV??fs?r,t?dS??fj?t?

RRj(54)

gO?t???r?fv?r,t?dV??r?fs?r,t?dS??rj?fj?t?

RRsj??gv?r,t?dV?RR?g?r,t?dS??g?t?jj(55)

?外力矩gO包括体积、表面力矩及离散的分量。

方程（52）、（53）左边的动量及绝对角动量为

p?mvO?c?ωhO?c?vO?J?ω

(56)(57)

??对于刚体模型r?0，所以刚体动能为

2.4.3标量运动方程

T?11mvO?vO?ω?c?vO?ω?JO?ω22(58)

上述矢量方程可以在选定的坐标系中用其分量形式写成矩阵方程，现在采用本体坐标系：

式中

17

?pRORCvORCfvOrfhOrgOhOcω?gOcω???Fb???pRO(59)(60)(61)(62)

J?Fb?J?FbTp??ω?p?f

hO??ω?hO?vO?p?gO

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p?mvO?c?ω;hO?c?vO?Jω

(63)(64)

J???r2E?rrT?dm

R惯量矩阵J是常值、对称、正定阵。

刚体?可以是航天器的一部分，也可以表示整个航天器。当表示整个航天器时，设O点为系统的质心，则方程（62）、方程（63）（矩阵微分方程和矩阵代数方程）可以简化为

p??ω?p?fp?mvC；；hC??ω?hC?gChC?Iω

(65)(66)

对于这种简单状况，将式（66）代入式（65）可以消除动量p

mvC??mω?p?f；Iω??ω?Iω?gC

(67)

这两个方程是耦合的，当解出vC(t)和ω(t)后，代入运动学方程

RC?ω?RC?vC；A??ω?A(68)

从而求出Abi和RC。假使只看式（67）是独立的，但寻常外力和外力矩是位移和神态的函数，即

f?f?RC,A,vC,ω,t?；g?gC?RC,A,vC,ω,t?

(69)

要解（67）和（68）这两个方程，就必需解12阶非线性微分方程。但当将本体坐标系Fb取在刚体的惯性主轴上时，式（67）可简化为如下的标量微分方程：

I1?1??I2?I3??2?3?g1??I2?2??I3?I1??3?1?g2?I3?3??I1?I2??2?2?g3??(70)

2.4.4动能及拟拉格朗日方程

假使式（58）按矢量的分量形式表达，则动能为

T?1T1mvOvO?ωTc?vO?ωTJOω22(71)

当O点取在质心上时，动能可简化为位移动能和旋转动能：

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T?Ttrans?Trot

1TmvCvC21Trot?ωTIω2Ttrans?(72)

当外力f?0时Ttrans为常数；当gC?0时，Trot是常数。从式（73）可导出拟拉格朗日方程（quasi-Lagrange）：

?T?ω?c?vO?Jω?hO?T

?v?mvO?c?ω?pO考虑到式（61）和（62）有：

d??dt??T??v??ω???T?

O????v?O??fd??T????T???dt???ω???ω???ω???v??TO???v??gO?O上式就是采用拟坐标写成的拟拉格朗日方程。

19

(73)

(74)

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第3章两刚体系统模型

航天器结构经常可以简化为两个刚体?1，?2，它们通过一个共同点M连接起来，并能相互运动。如某些科学试验卫星的天文望远镜要对准天体，要调整神态，它就可以简化为?2并通过M点相对卫星本体?1转动。对地定向天线系统和太阳能电池帆板的控制也可以用这个模型表示。

3.1拉格朗日方程法

3.1.1初始状态

建立坐标系：首先，在地球上建立惯性坐标系Ox0y0z0，该坐标系固结在地球上，固定不动。然后，初始状态下在刚体1的质点C1上建立平移坐标系C1x1y1z1，以及固连于刚体的旋转坐标系C1xc1yc1zc1，此时平移坐标系C1x1y1z1与旋转坐标系C1xc1yc1zc1重合。同样的，在刚体1的质点C2上建立平移坐标系C2x2y2z2，以及固连于刚体的旋转坐标系C2xc2yc2zc2，此时平移坐标系C2x2y2z2亦与旋转坐标系C2xc2yc2zc2重合。(如图6所示)

图6两刚体初始状态

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记录初始状态坐标：对于上述问题，我们已知初始状态下刚体1的质心矢径，记为OC1，刚体1和刚体2的转动惯量，分别为J1r和J2r，以及两个刚体的质心分别与铰接点之间的矢径，C1M和MC2。由图6可得到如下矢量关系，记

rC1?OC1

rC1M?C1M

rC2M?C2M

rM?OM?OC1?C1M?OC2?C2M?rC1?rC1M?rC2?rC2M

rC2?OC2?OC1?C1M?C2M?rC1?rC1M?rC2M3.1.2转动后模型状态

建立坐标系：刚体1运动后,其质心有初始时的C1平移到C1’，刚体1绕质心C1旋转的三个欧拉角为?1,?1,?1，刚体2运动后,其质心有初始时的C2平移到C2’，刚体2绕质心C2旋转的三个欧拉角为?2,?2,?2。运动后的刚体形态及坐标系改变如图7所示。

图7两刚体转动后状态

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运动后状态坐标：转动后刚体1的质心矢径记为OC1?；转动后刚体2的质心矢径

?。由图7可得到如下矢量关系，记记为OC2?r1?OC1?r2?OC2坐标系矩阵变换：由前文中神态运动的矢量矩阵描述可以得到平移坐标系C1x1y1z1与旋转坐标系C1xc1yc1zc1之间发生欧拉角转变的转换矩阵A1，

?c?1c?1?s?1c?1s?1A1???c?1c?1?c?1c?1s?1?s?1s?1??c?1s?1?s?1c?1c?1?s?1s?1?c?1c?1c?1s?1c?1s?1s?1??c?1s?1??c?1??(75)

以及转动的角速度ω1，

?s?1s?1ω1?L1q1???s?1c?1??c?1c?1?s?100???1????0???1?1?????1??(76)

同理得到平移坐标系C2x2y2z2与旋转坐标系C2xc2yc2zc2之间发生欧拉角转变的转换矩阵A2，

?c?2c?2?s?2c?2s?2A2???c?2c?2?c?2c?2s?2?s?2s?2??c?2s?2?s?2c?2c?2?s?2s?2?c?2c?2c?2s?2c?2s?2s?2??c?2s?2??c?2??(77)

以及转动的角速度ω2，

?sθ2s?2ω2?L2q2???sθ2c?1??cθ2c?2?s?200???2????0???2?1?????2??(78)

由以上关系可得，

rC1?M??C1?M??A1C1M?A1rC1M

?M??A2C2M?A2rC2MrC2?M??C2rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M??C2?M??r2?A2rC2M?OC2

??OC1??C1?M?C2?M?r2?OC2?r1?A1rC1M?A2rC2M

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3.1.3动力学计算

图8两刚体分解图

系统动量为

p?p1?p2?m1v1?m2v2

其中

v1?r1

v2?r2

约束条件为刚体1和刚体2在连接点M?的位移和速度一致，

?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M?????OC?2?C2M?r2?A2rC2M?????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?Aω?111C1M222rC2M?带入得

24

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????p?m?r1x??r2x?1r1?mr??m?2r2=m1r???1y???2?2y??r1z????r2z???rM??r1?A1rC1M?r2?A?2rC2M??r??C1Mx??r2x??rC2Mx????r1x?r??A??r?C1My???r??A??11?rC??1y????r1z????r??2y2My?CMz??r???1?2z??r?C2Mz???vM??r1?A1ω?1rC1M?r2?A2ω?2rC2M???r1x????0??1z?1y??rC1Mx?????r1y??A????1??1z0??1x??rC???1My???1y?1x????r1z???0??r?C1Mz?????0??2z?2y??rC2Mx

???r2x??r??A?2??2y?????2z0??2x??rC2My????r?2z??????2y?2x0????r?C2Mz?刚体1相对于其质心C1’的动量矩为

h1??J1A1ω1其中

?J1xyJ1xz?

J?J1x1r??J1yxJ1yJ?1yz???J1zxJ1zyJ1z??J?AJT111rA1代入得，

h1??A1J1rω1同理，刚体2相对于其质心C2’的动量矩为

h?2?J2A2ω2其中，?J2xyJ2xz?

J?J2x2r??J2yxJ2yJ?2yz???J2zxJ2zyJ2z??J2?A2J2rAT2

25

(79)

(80)

(81)

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代入得，

??A2J2rω2h2刚体1相对于原点O的动量矩为，

?h1?h1??r1?m1v1?AJ11rω1?r1m1r1同理可得，刚体2相对于原点O的动量矩为，

??r2?m2v2?A2J2rω2?r2?m2r2h2?h2则刚体系统相对于原点O的动量矩为，

h?h1?h2

约束条件亦为刚体1和刚体2在连接点M?的位移和速度一致，

?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rCM1????C2?M??r2?A2rC2M?OC2?????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?AωrC2M?111CM222?1代入得，

26

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???h?A1J1rω1?r?1m1r1?A2J2rω2?r?2m2r2???1x??0?r?1zr1y??r1x???A1J?1r???????1y????r1z0?r1x?m1?r1y?????1z?????r1yr1x0????r1z??????2x??0?r2zr2y??r2x??A?2J2r????r0?r?m??r???2y????2z2x?2??2z?????r?2y?2yr2x0????r2z????rM??r1?A1rC1M?r2?A2rC2M???r1x?rC1Mx??r2x??rC2Mx?????r??A?r??1??r??A?r??1y?????r1z???C1My??r??2y?1?C2My?C??r????1Mz?2z?rC2Mz???vM??r1?A1ω?1rC1M?r2?A2ω?2rC2M???r1x??0??1z?1y??r?????r?1y?A???C1Mx??1??1z0??1x??rC1???My??r1z????1y?1x0??r??????C1Mz?????0??2z?2y???r2x????rC2Mx???r?2y??A???2??2z0??2x??rC2My????r2z??????2y?2x0????r?C2Mz?刚体系统的动能为

T?T1m1T1T11?T2?(21vT1v1?2ω1J1rω1)?(2m2v2v2?2ωT2J2rω2)约束条件同样为刚体1和刚体2在连接点M?的位移和速度一致，

??rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M???OC?2?C2?M??r2?A2rC?2M????vM??OC1??ω1?C1?M??OC?2?ω2?C?2M????r1?A1ω?1rC1M?r?2?A2ω2rC2M代入得

27

(82)

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??T???????????????????????????????1111?(m1r1Tr1?ω1TJ1rω1)?(m2r2Tr2?ω2TJ2rω2)2222??r1x???1x???1?r??1?????J?????=?m1?rrr1y1z?1r?1y???1x1y1z??1y?2?1x2?????r1z????1z??????r2x???2x???1?r??1??????????m2?rrr??J2y2z?2r?2y???2x2y2z??2y?2?2x2?????r2z????2z????rM??r1?A1rC1M?r2?A2rC2M?rC1Mx??r2x??rC2Mx??r1x???A?r???r??A?r???r?1y?1?C1My??2y?1?C2My????r????rr2z?r1z?????C1Mz??C2Mz??vM??r1?A1ω1?rC1M?r2?A2ω2rC2M?0?r1x???A????r1y??1?1z???1y???r1z???0?r2x???A????r2y2?2z?????2y??r2z?????1z?1y??rCMx????0??1x??rCMy????1x0?r??CMz???2z?2y??rCMx????0??2x??rCMy????2x0?r??CMz?111222(83)

对于完整约束系统，有其次类拉格朗日方程，

d?T?T??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,?)

将系统拆分成两个独立的刚体1和刚体2，将铰链M分别作用于刚体1和刚体2的力视作刚体1和刚体2所受外力。

刚体1的位置可以由6个独立的坐标r1x、r1y、r1z、?1、?1、?1来确定，则

d?T1?T1??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,3,4,5,6)

?T1?0?r1x?T1?0?r1y28

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?T1?0?r1z?T1?0?ψ1?T11?ω1TJ1rω1???12??1?T11?ωT1J1rω1???12??1?T1?r?m1r1x1x?T1?r?m1r1y1y?T1?r?m1r1z1z?T11?ωT1J1r???ω1??121?T11?ωT1J1rω1???12??1?T11?ωT1J1rω1???12??11的其次类拉格朗日方程为

??m1r1x?f1x?m1r1y?f1y??m1r1z?f1z??1d?ωT1J1rω1?2dt???g1??1?1d?ωT1J1rω11?ωT1J1rω??2dt???1?g1?12??1?1d?ωTωT1J1rω1?1?1J1rω1??2dt???g1?12?12的位置也可以由6个独立的坐标r2x、r2y、29

(84)

r2z、?2、?2、?2来确

因此，刚体同理，刚体

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定，则

d?T2?T2??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,3,4,5,6)?T2?0?r2x?T2?0?r2y?T2?0?r2z?T2?0?ψ2?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T2?m2r2x?r2x?T2?m2r2y?r2y?T2?m2r2z?r2z?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T21?ω2TJ2rω2???22??2?T21?ω2TJ2rω2???22??2因此，刚体2的其次类拉格朗日方程为

30

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m2r2x?f2x??m2r2y?f2y??m2r2z?f2z?1d?ω2TJ2rω2??g2??2dt???2?1d?ωTJω1?ωTJω22r222r2???g2???22??2?2dt?TT?ωJω?ωJ2rω21d122r22???g2????22??2?2dt(85)

其中M铰链作用于刚体1和刚体2的力为作用力与反作用力，其大小相等方向相反，且刚体1和刚体2在连接点M?的位移和速度一致，

?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rCM1????C2?M??r2?A2rC2M?OC2?????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?AωrC2M?111CM222?13.2牛顿-欧拉（Newton-Euler）法

3.2.1坐标系的建立及基本参数的表示

图9示出?1和?2在M点联结，取?1上的O点作参考系F1的坐标原点，M点为

?F2的坐标原点，M点对O点的矢径用b表示。系统质量为m?m1?m2。其中，mj是

?j的质量。

31

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图9两刚体模型

?1和?2相对参考点O及M的一阶、二阶惯性矩为

c1??rdm

?1c2??r2dm(r2?r?b)?2J1??(r2U?rr)dm

?1J2?(r22U?r2r2)dm??2二阶惯性矩又称为惯量张量。其中U?为单位惯量张量。

U?????i?????100?????i1????1i2i????????????3?????010?001???i2???i1i1?i2i2?i3i3??????????i3??r?r?为矢量r?的并矢积。

两个矢量a??FT?Tia和b?Fib的并矢积定义为

a?b??FTTiabFi

其中

32

(86)

(87)

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a??a1a2a3?；b??b1b2Tb3?

T二阶矩（惯量张量）是对称的和正定的。

?1+?2对O点的一阶、二阶惯性矩为

可见

可定义

J12?r?b?r?U?r?b?r??dm?????2222c?c1?c2?m2b

J?J1?b?r???b?r?U??b?r??b?r??dm?????2222(88)(89)

?2J?J1?J2?m2(b2U?bb)?(2b?c2U?bc2?c2b)

(90)

J21??2?2b?r??rU??b?r?r?dm?????2222(91)

??JJ我们称12、21为混合惯量矩。这种混合惯量张量的计算是求两个矢量并矢的积

???分运算，它们是分别求?2的位置矢量r2及对?1的位置矢量b?r2并矢的积分运算。

3.2.2矢量运动方程

???定义v和ω为O点的绝对速度和?1的绝对角速度。在?1中位置r的速度为?????v?ω?r。同样ω2为?2的绝对角速度，在?2中位置r2的速度为

????????????v?ω?b?ω2?r2?v?ω?(b?r2)?ωM?r2，这里ωM为?2相对?1的相对角速度

???ωM?ω2?ω。

假设M点是万向接点，?1和?2在M点可以有任意方向的角位移。?1和?2的动量为

33

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p1?ω?r)dm?m1v?c1?ω

??(v?1p

2?2ωM?r2?????v?ω?(b?r)??dm2?m2v?(m2b?c2)?ω?c2?ωM系统总动量为

p?p1?p2?mv?c?ω?c2?ωM

?1和?2相对O点和M点的绝对角动量为

h1?ω?r)dm?c1?v?J1?ω??r?(v?1hr2??r

2?2)?ωM?r2????v?ω?(b??dm2?c2?v?J21?ω?J2?ωM系统相对O点的总角动量为

h?h1?h2?b?p2?c?v?J?ω?J12?ωM

总动能为

T?12?(v?ω?r)?(v?ω?r)dm?1?12?v?ω?(b?r2)?ωM?r2???v?ω?(b?r2)?ωM?r2???????dm2?12mv?v?12ω?J?ω?12ωM?J2?ωM?v?c?ω?v?c2?ωM?ω?J12?ωM图10两刚体分解图

34

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(98)

(97)

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?????用f1、f2、g1、g2分别表示作用于?1和?2上的外力和外力矩，注意g1是???相对于O点的力矩，g2是相对于M点的力矩（见图10）。此外fM和gM是在P点处?1对?2的作用力和力矩。应用式（52）、（53）有

p1?f1?fMp2?f2?fM

h1?v?p1?g1?gM?b?fMh2?(v?ω?b)?p2?g2?gM

(99)(100)(101)(102)

式（99）和（100）相加得

作用在系统上的总外力定义为

p?f(103)

f?f1?f2

(104)

此两刚体系统中总外力为系统自身重力。式（101）、（102）相加得

其中

h?v?p?g(105)

g?g1?g2?b?f2

(106)

此式为作用在系统上的总外力矩。3.2.3标量运动方程

在航天器力学中一般采用三个坐标系Fi、F1、F2。F1、F2是固连在刚体?1和?2

上的。而惯量矩cj和Jj在坐标系Fj（j=1,2）中是常量。下面将矢量和张量按其在不同坐标系中的分量表达为矩阵：

?p?c

f?v??F1?pc1ωhbg??F1????c??fv

??????c1ωhbg

?35

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?J1?J??F1?J1??TJ?F1

??c2ωMh2gg??F?c?2M2?ω?2Mh?g?22g?M?J?FJ?T22?2?F2

由式（56）得

p?F1?p?F1?(mv?c?ω?c2?ωM)?mv?c?ω?F1?cTT2F2?F2ωM?mv?c?ω?FT1?F2c?2ωM?mv?c?ω?A?12c2ωM????czcy??0?c2zc2y???Mx??m??v?0y????cz0?c???x??x???A?c0?c???2x????vz?????cycx0???y?12?2z????z?????c2yc2x0??My?????Mz??由式（57）得

h?F1?h?F1?(c?v?J?ω?J12?ωM)?c?v?Jω?F1?J12?FT2ωM?c?v?Jω?J12ωM?0?czcy?????c????c???x????Mx?z0x??J?????cycx0??vy??y?J??????vz????12??My??z?????Mz??J12部分在F1，部分在F2中，

J?F?T121?J12?F2J21?F?T2?J21?F1

简单看出

JT12?J21

由式（96）得

h?2?c2A21v?J21ω?J2ωM

??0?c2zc2y???c2z0?c??A??????x????????Mx??2x?21?vy??J21y??J2??My??c2yc2x0???v??z?????z?????Mz??动能为

36

(107)

(108)

(109)

(110)

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111T=mvTv?ωTJω?ωMTJ2ωM222?vTc?ω?vTA12c2?ωM?ωTJ12ωM1?m?vy?21???Mx?My?2????x??v??1?????J???vz???y?2?xyz??y????vz????z???0?czcy???x???Mx?????????vvv??c?Mz?J0?cx???y??2?My??xyz??z??cycx??0???Mz????z????

????x?y?0?c2zc2y???Mx???Mx?????????vvv?A?c?z?J0?c12Myxyz122z2x???My?????????c2yc2x????0?Mz??Mz??????(111)

系统的惯量矩阵

?mE?M=?c???c2?A21?c?JJ21???A12c2?J12?J2??(112)

其中

?p??p??h????h2??;p=Mv

1T?vTMv

2(113)(114)

?v??v??ω????ωM??;?f??f??g????g2?gM??(115)

系统的惯量矩阵M是对称、正定但是时变的。旋转矩阵A12,J,J12,J21都是时变的。假使把参考点取为系统的质心，那么c?0，但质心在?1中并不是固定的，从式（88）可知

c?c1?A12c2?m2b

(116)

因A12是时变的。从式（114）有

?T?p?v;?T?h?ω;?T?h2?ωM(117)

方程（103）、（105）和（102）的矩阵形式为

37

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p??ω?p?f

?0?????z???y?h??ω?h?v?p?g??z0?x?y??px??fx????????x??py???fy?0??pz????fz????(118)

?0?=-??z???y???z0?x?y??hx??0????v??x??h?y??z?vz00??hz???????vyvy??px??gx?????????py???gy?0??pz????gz????(