2021年高考数学专题复习专题16.1数列综合问题(考点讲析)解析版

专题16.1数列综合问题（考点讲析）提纲挈领点点突破热门考点01数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.【典例1】（2019·河南高三期中（文））已知是等差数列，，且.若.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得.因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得.因此，.【典例2】（2018·天津高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II）由（I），有由,可得，整理得解得（舍），或．所以n的值为4．【典例3】（2019·益阳市第六中学高一期末）已知等比数列的公比是的等差中项，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因为等比数列的公比，，是的等差中项，所以，即，解得，因此，；（2）因为数列的前项和为，所以，（）又当也满足上式，所以，；由（1），；所以其前项和①因此②①式减去②式可得：，因此.【总结提升】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0等比数列，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前SKIPIF1<0项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各项不为零的等差数列，SKIPIF1<0为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项需要掌握一些常见的裂项方法：=1\*GB3①SKIPIF1<0，特别地当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；=2\*GB3②，特别地当SKIPIF1<0时，；=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤5．分组转化求和法：有一类数列SKIPIF1<0，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列SKIPIF1<0是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.热门考点02等差数列与等比数列的综合问题等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．【典例4】（2017·全国高考真题（文））已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5或.【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1）∵，结合得，∴.（2）∵，解得或3，当时，，此时；当时，，此时.【典例5】（2018·浙江高考真题）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.【总结提升】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.热门考点03数列与函数的综合数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【典例7】（陕西高考真题（文））已知，若，则的表达式为________.【答案】【解析】试题分析：，，，，，即，当且仅当时取等号，当时，；当时，，，即，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，，，【典例8】（2019·河南高二期中（理））在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】由有，故数列为首项为，公比为的等比数列，可得.不等式可化为，令，当时；当时，.故当时，，故，，因此，实数的最小值是.故答案为：.【典例9】（2017山东，理19）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+=1\*GB3①又……+=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得=所以【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．热门考点04数列与不等式的综合1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．【典例10】（2019·广东高三月考（文））已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t的取值范围是______．【答案】（0，162）【解析】依题意,,∴．∵,即,显然,∴,又,当且仅当时,等号成立,∴,∴,即．故答案为：（0,162）【典例11】（2019·山东高二期中）已知数列的前和为，且满足，其中且.（1）证明：数列是等比数列；（2）当，令，数列的前项和为，若需恒成立，求正整数的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)10【解析】（1）①②由①-②得，又且是首项为，公比的等比数列.（2）当，则，且，，①②由①-②得，在为增函数，且，，又的最小值为10【温馨提醒】应用基本不等式，要注意条件“一正、二定、三相等”是否完全具备.热门考点05数列的实际应用问题解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【典例12】（2017·全国高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【解析】解法一：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.解法二(排除法)：记SN为数列的前N项和，由题意得，数列的前110项为20,20,21,20,21，…，20,21，…，213,20,21,22,23,24，所以S110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项D不正确．同理，S220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项C不正确．同理，S330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整数幂，故选项B不正确，所以正确的选项为A.解法三：不妨设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋2t)＝2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n)，则有N＝eq\f(nn＋1,2)＋t＋1，因为N＞100，所以n≥13.由等比数列的前n项和公式可得2n＋1－n－2＋2t＋1－1＝2m.因为n≥13，所以2n＞n＋2，所以2n＋1＞2n＋n＋2，即2n＋1－n－2＞2n，因为2t＋1－1＞0，所以2m＞2n＋1－n－2＞2n，故m≥n＋1，因为2t＋1－1≤2n＋1－1，所以2m≤2n＋2－n－3，故m≤n＋1.所以m＝n＋1，从而有n＝2t＋1－3，因为n≥13，所以t≥3.当t＝3时，N＝95，不合题意；当t＝4时，N＝440，满足题意，故所求N的最小值为440.【典例13】（2019·上海高三）某足球俱乐部对“一线队引援”和“青训”投入分别规划如下：2018年，该俱乐部在“一线队引援”投入资金为16000万元，“青训”投入资金为1000万元.计划每年“一线队引援”投入比上一年减少一半，“青训”投入比上一年增加一倍.（1）请问哪一年该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少?（2）从2018年起（包括2018年）该俱乐部从哪一年开始“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万元?（总投入是指各年投入之和）【答案】（1）2020年，投入总和最少；（2）2022年开始，总投入之和不低于62000万.【解析】（1）从2018年算起，设第n年“一线队引援”投入资金为an，“青训”投入资金为bn，投入总和为cn，则{an}是以16000为首项，以为公比的等比数列，{bn}是以1000为首项，以2为公比的等比数列，，，，当且仅当，即时取等号，所以2020年，该俱乐部“一线队引援”和“青训”投入总和最少；（2）设{cn}的前项和为Tn，则，令，令，则，解得，（舍去），即，，所以从2018年算起的第5年即2022年开始，“一线队引援”和“青训”总投入之和不低于62000万.【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．巩固提升1.（2017·全国高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：B．2．（2009·宁夏高考真题（理））等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式.3.（2019·北京四中高二期中）设是等差数列，为等比数列，其公比,且，若,，则与的大小关系为（）A． B． C． D．不确定【答案】B【解析】由于是等差数列，为等比数列，所以，而,，所以，由于，根据基本不等式可知，即.故选：B.4.（2019·浙江高一期中）数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数的前项和为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，熟练数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则，即成立，所以成立，故选B.5.（2019·四川高三（理））正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.6.（2019·北京高考模拟（文））天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.7．（2019·上海华师大二附中高三期中）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点，接着它按图所示在轴、轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点______.【答案】【解析】如图，设粒子运动到A1，A2，…，An时所用的间分别为a1，a2，…，an，则a1=2，a2=6，a3=12，a4=20，…，an-an-1=2n，将a2-a1=2×2，a3-a2=2×3，a4-a3=2×4，…，an-an-1=2n相加得：an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2，则an=n(n+1)，由44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A44(44，44)，又由运动规律知：A1，A2，…，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，故粒子到达A44(44，44)时向左运动38秒即运动了2018秒到达点(6，44)，则所求点应为(6，44).故答案为：.8.（2019·天津一中高二期中）已知等差数列的公差，首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）比较与的大小.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由题意，，即，解得d＝2．∴an＝2n﹣1；（2）（3）由，设f（n），则f（n+1）﹣f（n）．当n≥3时，f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，f（n）≥f（3），Pn，则f（n）＞Pn；当n＝1时，f（1）＝2；当n＝2时，f（2）＝1．综上，Pn．9.（2019·上海高三）对年利率为的连续复利，要在年后达到本利和，则现在投资值为，是自然对数的底数.如果项目的投资年利率为的连续复利.（1）现在投资5万元，写出满年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?（精确到1年）【答案】（1），万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元.【解析】（1）由题意：.当时，本利和为万元.（2）由题意：.设年后共有本利和超过一百万元，则年后：第一年年初的投资所得的为：.第二年年初的投资所得的为：.以此类推：第年年初的投资所得的为：.则满年后，基金共有本利和：.由题意：.故至少满23年基金共有本利和超过一百万元.10.（2019·上海高二期中）已知，，对任意，有成立.（1）求的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求正整数，使得对任意，恒成立；（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）或（3）【解析】（1）由题可得,则,当时,可得.时,,则,即,故数列是以2为首项,公比为2的等比数列,通项公式为.（2）,等式两端同时除以得:,即,故是以为首项,公差为的等差数列,通项公式为,则.因为当，，当时,,所以当或时,取最大值,对任意，恒成立.（3）由题意,,则,故.所以的最小值为.11．（2019·山东高三期中）已知数列的前项和满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时，，解得或（舍）又①当时，②①－②，得，整理得，因为，所以，故，所以是以为首项，为公差的等差数列．故．（2），所以，因为，所以是递增数列故．12．（2019·北京四中高二期中）已知二次函数，，恒有.数列满足，且N*.（1）求的解析式；（2）证明：数列单调递增；（3）记.若，求.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）由得，即；因为恒成立，即恒成立，即恒成立，从而，所以；所以表达式为；（2）由于，又因为N*，所以，因此，所以数列单调递增；（3）因为，所以，即，所以数列是等比数列，其首项，公比，其前项和为，即，所以.13．（2019·全国高三月考）黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效