概率论历年考试卷及答案

名做工业大孽。8年(士)概率论与数理统计C试题(甲卷)

(A)不相互独立；(B)相互独立；

(。互不相容：(D)不互斥.

2)设F(x)=P{X0x}是连续型随机变量X的分布函数，则下列结论中不正确的是

(A)F(x)不是不减函数：(B)F(x)是不减函数；

(C)F(x)是右连续的：(D)F(-oo)=0,F(+x)=l.

3)如果随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min(X,2)的分布函数.

(A)是连续函数；(B)至少有两个间断点；

(C)是阶梯函数；(D)恰好有一个间断点.

4)由D(X+Y)=D(X)+D(Y)即可断定

<A)X与Y不相关；(B)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=Fx(x)FY(y)；(C)X与Y相互独立；(D)相关系数;\Y=L

5)设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为

(x,y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)

P(X=x,Y=y)3/81/41/81/4

则协方差Cov(X,Y)=

(A)l/16；(B)3/4：(C)4/3：(D)0.

6)设随机变量X的期望与方差都存在，则对任意常数e>0,有

DXDX

(A)P(|X-EX|<f)<-p^；(B)P(|X-EX|<f}>-^：

DXr)Y

(C)P{|X-EX|2£}VF：(D)P(|X-EX|>£)>—.

_1n

7)X।,X?,X0独立同分布NJ,/)，则又=-ZXj服从分布

(A)N(//,cr2)；(B)N(〃q)：

(C)N(0,l)；(D)N(//,ncr2).

8)掷•颗骰/600次，求“•点”出现次数的均值为

(A)50(B)100(C)120(D)150

二、填空题(本题共6小题,每小题2分，共12分.把答案填在题中横线上.)

9)设随机事件A,B互不相容，且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(BR)=.

10)设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验，则事件A至少发生一次的概率为.

11)已知随机变量X的分布函数为F(x),则P(X=x0)=.

12)随机变量X~N(4,9),则其中位数为.

DX

13)随机变量X服从参数为入=2008的泊松分布，则——=______.

EX一

X+X4-•••4-X-nu

14)设X,,Xz，…,X“，…为独立同分布的随机变量序列，均值为〃，方差为b?,则当"比较大时P{—!——=~~~-<x)»

三、判断题(本题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在下面的表格内，正确的填“，”，错误的填“X”.)

题号1516171819

答案

15.若X与Y都是标准正态随机变量，则X+Y~N(0,2).

16.边缘分布是均匀分布的二维随机变量一定是二维均匀分布.

17.假设随机变量X的分布函数为F(x)且X与-X有相同的分布函数，则F(x)=F(-x).

18.将一枚硬币重复掷1000次，以X与Y分别表示出现正面与反面的次数.则X与Y的相关系数为-1.

19.如果有5%的人是左撇子，而你和你的兄弟都是左撇子.那么你和你兄弟都是左撇子这样事件的概率是0.05x0.05=0.0025.

四、解答题(本题共5小题，满分44分，解答应写出文字说明和演算步骤.)

20.(本题8分)某一学生考试时做一道有四个选项的选择题，他会做该题的概率为0.5.该题只有一个答案正确，他不会做时将从四个备选答案中任选一个.问

该同学答对该题的概率是多少？

解：

21.(本题8分)你知道某封信等可能地在3个不同的文件夹的任意•个之中.若此信实际上在文件夹i中(i=1,2,3)而你经过对文件夹i的快速翻阅发现了你

的信的概率记为为(我们假定为<1).假定你查看了文件夹1且没有发现此信.问信在文件夹1中的概率是多少？

解：

22.(本题8分)设(X,Y)的分布律为

-112

-11/102/103/10

22/101/101/10

试求:(1)Z=X+Y的分布律；(2)W=XY分布律；(3)Cov(X,Z)

解:

23.(本题12分)设随机变量X的分布密度函数为：

[asinx,0<x<

f(x)=h其他

求⑴常数a.(2)X的分布函数.(3)求使P(XNk)=P(XWk)的数k.

(4)求X的期望和方差.

解：

Hi!别忘了背面还有哦！("％!!!)

24.（本题8分）•个电了•器件的寿命X（年）服从参数为3的指数分布.（1）求该电子器件寿命超过2年的概率.（2）如果该电子擀件已经用「2年，求它还能再

用2年的概率.

解：

五、证明题（本题共1小题，满分5分，解答应写出证明过程和演算步骤.）

25.若P（A）=0.9,P（B）=0.8,证明P（AB）>0.7

证明：

名微工业大孽。82概率论与数理统计C参考答案（甲卷）

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内.）

题号12345678

答案DADAAcBB

二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.把答案填在题中横线上.）

9）4/7;注：写成0.57也对10）l-（l-p）”或

配"（1-P）"-。

k=\

F（xj）-F（x。］；'注:写成以下答案也对：；

II)F(.r0)-F(,r0-］Ffa)-Ffa-0)住上岖父小F(%)-P(X<%)或0

4;13)1;14)①(x)或_r

12)一意―

三、判断题（本题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在下面的表格内，正确的填“J"，错误的填“X”.）

题号1516171819

答案XXXJX

四、解答题（本题共5小题，满分44分，解答应写出文字说明和演算步骤.）

20.（本题8分）解：

（2分）设A表示该同学会做该题，彳表示该同学不会做该题，8表示同学答对该题，则

(4分)P(B)=P(BA)+P(BA)

（6分）P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

（8分）lx*xl=5

2l+248

21.（本题8分）解：

（3分）以Aj（i=1,2,3）记此信在文件夹i中这个事件.而E是通过对文件夹1搜索但并未看到信这个事件.我们要求P（AJE）.由贝叶斯公式，得

(8分)P(AJE)=：(EIA逆(AQ(l-a,)l/3_l-a,

(l-a/1/3+1/3+1/3-3-a1

£P(EIA,)P(A,)

Hi!别忘了背面还有哦！（灸信4力！！！,

22.（本题8分）

解：

1）Z=X+Y的分布律：

r-20134、

（2分）Z~12511

<Toloioioio>

2）W=XY分布律

f-2-1124）

（4分）W~52111

<10lo76loio>

、、…2…216

3）EX=—»DX=----»

10100

Q5

（6分）EY=—,EXY=EW=——

1010

cov（z,x）=cov（x+y,x）=ox+COV（X,Y）

（8分）=DX+EXY-EX.EY

=1.5

23.（本题12分）

解：⑴

（3分）1=，f（x）dx=fasinxdx，解得a=g

（2）F（x）=ff⑴dt

（当xWO,F（x）=O,当x之兀F（x）=1

（6分）当0<%<乃F（x）=（gsintdt=（cost｝：=-;cosx+；

（3）P（X>k）=P（X<k）

=£4sinxdx=j|sinxdx

,7T

nk=一

2

（9分）（或利用密度图形的对称性得出结论也对）

「8]

（4）Ex=—xsinxdx

L2

1F•/n

=—xsinxdx=—

21）2

Ex2=f—x2s\nxdx=—^2-2

〃22

DX=EX2-（EXf

（12分）=g/-2-6）■一2

24.（本题8分）解：

1）：

,、｛3e-3xx>0

（3分）X~E（3）,/（叫。其他

P（X>2）=「〃x）dx

（5分）二『3""公二]

2）：P（X>2+2|X>2）=P（X>2）（指数具有无记忆性）

（8分）

五、证明题(本题共1小题，满分5分，解答应写出证明过程和演算步骤.)

25.证明：

(2分)因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

所以P（AB）=P（A）+P（B）-P（AuB）

Hi!别忘了背面还有哦！("％!!!)

（3分）乂因为P（A=B）KI,故

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AoB)

(5分)>P(A)+P(B)-l=0.9+0.8-l=0.7

名做工Q大孽2008-2009（T）概率论与数理统计C试题（甲卷）

考生注意：1.试卷共27小题，满分100分，考试时间为120分钟.2.答案必须写在试卷上3.字迹要清楚，卷面要整洁

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内.）

题号12345678

答案

1.设当事件A和B同时发生时,事件C必发生，则下列选项正确的是

(A)P(C)=P(AB)：(B)P(C)=P(4UB)；

(C)P(C)<P(A)+P(B)-1：(D)P(C)NP(A)+P⑻-1.

2.将3个人以相同的概率分配到4个房间的每一间中，恰有3个房间各有

一人的概率为

3,3〜1

（A）4(B)-；(D)

O©W8

3.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量y=1-不”

（A）服从（0,1）上的均匀分布：（B）仍服从指数分布:

（。服从正态分布;（D）服从参数为2的泊松分布.

4.设区域G由曲线/与），=x所围，二维随机变量（X,Y）服从G上的均匀分布，贝iJ（X,Y）的联合概率密度函数为

1/2,(X,>')€G1fo2.,(xty)eG

(A)/(")=(B)f(x,y)=其他;

0,其他；

1/6,(X,J)€G(D)/(")={6,(x,y)eG

(C)/(x,y)=其他；

0,0,其他.

1

5,设随机变量X的概率密度为/（%）=M4RCVR'则服从NQD的随机变量是

X+3c、X+3X-3「X-3

(A)--(D)

2©丁；^r

6,设随机变量X1相互独立,且都服从p=0.5的07分布，则必有

（A）x=y；(B)P(x=y)=o；

（C）P（X=y）=o.5；(D)P(X=Y)=\

.设随机变量与不相关,

7xy即pXY=0,则与之等价的条件是

（A）o（xy）=o（x）o（y）；（B）D（xr）^D（x）D（r）；

（oo（x+y）=o（x—丫）：(D)o(x+y)(X—Y)

2

8.设随机变量序列X”Xz，…，X”,…相互独立同分布，E（Xj）=0,D（Xz）=cr,且E（X；）存在，则对任意£>0,下列选项正确的是

(A)HmP1：(B)limP-a2<£=0;

n-yx>/1-X2C

Hi!别忘了背面还有哦！（"％!!!）

(C)lim<j=](D)limP<££1

〃fc\]ni=1|)〃f8[〃i=i|)

二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分.把答案填在题中横线上.)

9.甲、乙、丙三位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5,则恰有两位同学不及格的概率为

10.设随机变量X)相互独立且都服从标准正态分布N(0,l),则

P(min{X,r)<0)=

11.设随机变量X1,X2相互独立，FLX1~P(3),X2

记y=X|-2X2+3,则。丫=

12.设随机变量x的方差为3,则根据切比雪夫不等式有估计

P(\X-EX\>2)<

1»

13.设随机变量七,、2,…，尤独立同分布，旦方差标>0,令卜=一»「则&n，(X1,y)=

14.已知P(AuS)=0.8,P(B)=0.4,则/>(川历=

[2e~2xx>01

15.设随机变量X的概率密度/")=，0'其他，则对X独立观察3次，3次的结果都大于耳的概率为

16.设X服从参数为』的指数分布，则E[(X-l)(X-2)]=_______

2

三、判断题(本题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在下面的表格内，正确的填“，”，错误的填“X”.)

题号171819202122

答案

17.设P(A)=0，则事件A和任何事件B一定相互独立.

18.若事件A和8为对立事件，则A和B互不相容，反之不真.

19.F(x)是正态随机变量的分布函数，则一定有F(-x)=1-F(x).

20.X与丫服从标准正态分布，则X+Y-N(0,2).

21.二维均匀分布的边缘分布不定是均匀分布.

2"1

22.设随机变量X的分布列为P(X=(-1)"*1—)=—(n=1,2,…),则X的数学期望存在.

n2"

四、解答题(本题共5小题，满分42分，解答应写出文字说明和演算步骤.)

23.(本题10分)某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒险的”，他们在被保险人中依次占20%,50%和30%,一年内他们出事故的概率

分别为0.05,0.15和0.30,现有一投保人出了事故，求其是“谨慎的”客户的概率。

解：

24.(本题8分)设二维随机变量(X,丫)的联合概率分布为

01

02/31/12

1ab

且E(XY)」

12

求(1)的值

Hi!别忘了背面还有哦！("％!!!)

<2）X和y的相关系数0xy

解：

25.（本题8分）设二维随机变量（X,丫）的联合概率密度为

（、\k,0<x<1,0<y<x

其他

试确定常数k,并求E（X+y）

解：

26.（本题8分）设二维随机变量（X,丫）的联合概率密度为

[6x,0<^<>,<1

/Uy）=|0.其它

求（1）x,y的边缘概率密度：（2）P（X+Y<I）

Hi!别忘了背面还有哦！（为W/4！！！）

27.（本题8分）某商店出售某种贵重商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数4=1的泊松分布，假定各周的销售量是相互独立的，用中心极限定理计算该

商店在36周内共售出该商品的件数在30件到42件之间的概率。

（0（1）^0.8413）

解：

名做工Q大孽2008-2009（下）概率论与数理统计C参考答案（甲卷）

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内

题号12345678

答案DBADBCCC

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分.把答案填在题中横线上.）

9）0.2910）0^511）10/312）0.75

13）—14）213_15）e~316）4_

n---

三、判断题（本题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在下面的表格内，正确的填“J"，错误的填“X”.）

题号171819202122

答案VXXVX

四、解答题（本题共5小题，满分42分，解答应写出文字说明和演算步骤.）

23.（本题10分）解：

（2分）设A1,A”A3分别表示被保险人是“诬慎的”、“一般的”和“冒险的”，6表示一年内被保险人出事故，则由题意

（4分）尸（AJ=0.2,P（A2）=0.5,尸（4）=03

（6分）尸（BIA）=0.05,P（5IA2）=0.15,尸（BI4）=0.3

（8分）尸⑷⑶=普邺3

£P（A）P（8IA）

Hi!别忘了背面还有哦！（"％!!!）

__________0.5x0.15___________3

（10分）

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3~7

24.（本题8分）解:

01

（1）由题意XY~

\-bb

（2分）—=E（XY）=b,:.h=—

1212

211

（4分）又。+力+—+—=1,.,.。=一

3126

（2）x,y的边缘分布律为：

仅n’0]、

（5分）X~31丫~51

J4><66;

13

EX=一,EX2DX=—t

4416

1EY2^

（6分）EY=一,DY=—

6636

Cov（X.Y）E（XY）-石x"

P=

XY4DX4DY4DX/DY

叵

（8分）

15

25.（本题8分）解：

由归一-性，

（2分）1=

（4分）解得2=2

（6分）E（X+r）=2（x+y）dy

（8分）=1

26.（本题8分）解：

（2分）£（X）=56M，=6MD,0<X<1

0,其他

[f6xdx=3y2,0<y<1

（4分）九（〉）=">7

〔0，其他

（6分）0（X+丫V1）=f加j'6xdy

（8分）J

27.（本题8分）解：

设X,表示该商品第i周的销售量,i=l,…,36

设X表示该商品在36周内的总销售量，则依题意

（2分）⑴，EXj=l,DX.=1,i=l,…,36

fix,相互独立，i=l,…,36,故

36

（4分）X=£Xj,EX=36,DX=36

i=i

（6分）由中心极限定理知X~N（36,36）（近似）

Hi!别忘了背面还有哦！（灸信4力！！！,

__....42,—3630—36

P(30<X<42)h0(----------)-0(----------)x

66

(8分)=2<^(1)-I«0.6826

之微工9大学2009-2010(L)概率论与数理统计C试题(A卷)

-、选择题(将你认为正确的答案填在卜.列表格中,3分X8=24分)

题号12345678

答案

1、一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任意取出一

件，结果不是三等品，则该产品为二等品的概率为()

111?

(A)-(B)-(C)-(D)-

2433

2、若两事件A和B同时出现的即率P(48)=0,则()

(A)A和8不相容(8)是不可能事件

(C)45未必是不可能事件(。)P(4)=0或P(B)=0

3、设随机变量X的密度函数为/*)=一L_厂，则y=2X的概率密度

4(1+JT)

函数为()

I22I

⑷--------------⑻-----------------(C)------------------(D)-------------

乃(1+4)2)"(4+/)^,(1+y2)^(4+y2)

4、设随机变量X~N(",bZ),则随。的增大，概率P{IX-〃kb}()

(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定

Hi!别忘了背面还有哦！(灸信4力！！！,

密封线

5、设x~N(O,I),Y~N(I,2),X,Y相互独立，令z=2x-y,则z~()

(4)N(-2,5)(B)N(-1,6)(C)N(0,5)(£>)N(2,9)

6、设二维随机变量(X,y),的概率密度函数为

[4xy,0<x<1,0<y<1…、

f(x,y)=\甘…，则p(x<y)=()

[0,其匕

(4)[£4xydy)dx4)，([4Mdy)公

(C)j(£4孙dy)dx(D)4xydy)dx

7、设X与丫为任意随机变量，则下列等式中成立的是()

(A)D(X+Y)=D(X)+D(Y)(B)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

(C)D(XY)=D(X)D(Y)(D)E(XY)=E(X)E(Y)

8、〃个随机变量X,(i=123,…，⑶相互独立且具有相同的分布，且

EXj=a,DXj=",则又」之Xj的数学期望和方差分别为()

(A)a巴(B)a,[(C)-,^2(D)-,—

nnnnn

二、填空题(3分X8=24分)

1、设尸(A)=1/3,P(5)=\/2,P(AB)=1/8,则尸(5彳)=_

2、甲闹钟闹响的概率为0.7,乙闹钟闹响的概率是0.8,某人怕误点，同时定甲、乙两闹钟，则有闹钟闹响的概率是L

0,x<0

3、设随机变量X的分布函数为尸(x)=卜，0c<1,则

1,x>l

尸(0.3<X<0.7)=,X的概率密度/'*)=;

4.设二维随机变量(X.Y)的概率分布律如下：

123

10.10.050.10

200.150.20

30.050.050.05

40.1500.10

贝ijP(X>2)=o

5、一般地，在大量重复试验中，随机事件发生的频率总是在某个确定的

值附近摆动，而且试验次数越多，事件的频率就越接近该值，这种现象6、设随机变量X的分布律为

称为频率具有.

X-100.512

P0.350.150.100.150.25

则，E(X2)=.

7、随机变量X的分布未知，但已知X的期望为5,方差为2,利用切

比雪夫不等式也能估计事件的概率，如P(2<X<8)2.

三、解答题(第一-题4分，其余每题8分)

1、袋中有10只球，其中白球4只，红球6只，从中任取2只，求恰

好取到一只白球一只红球的概率.

Hi!别忘了背面还有哦！(余欣/“"!!!)

密封线

2、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产

量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间的次品率分别为5%,4%,2%,

现抽验到该厂一只次品，求该次品是由甲车间生产的概率.

3、设随机变量X的概率密度为“X)=ce-"'-oo<x<8,求

(1)常数C;(2)X落在(-1,1讷的概率;(3)X的分布函数.

4,设x、y相互独立，分别在［0』上服从均匀分布，求z=x+y的

概率密度函数.

Hi!别忘了背面还有哦！(余欣/“"!!!)

密封线

5、设P(A),P(8)分别表示事件A、8出现的概率，随机变量

[1,若A出现ft若8出现

[-1,若A不出现1-1,若6不出现

⑴列出X、y及XHKJ分布列(用P(A)、P(8)及P(A8)表示)；

(2)若X和丫不相关，证明A与8是相互独立的.

6、市场上对某种产品每年的需求量为X吨，X-(/[2000,4000]

(即2000到4000ft勺均匀分布)，每出售1吨，可获利3万元，售不出去，

则每吨需付保管费1万元，问每年应该生产这种产品多少吨，才能使

平均利润最大？

右微3Q大学2009-2010(£)概率论与数理统计C试题

评分标准与参考答案

三、选择题(将你认为正确的答案填在下列表格中,3分X8=24分)

题号12345678

答案CCBCBBBA

I、•批产品的•、二、三等品各占60%,30%10%,从中任取件，结果不是三等品，则该产品为二等品的概率为(C)

(4)-(B)-(C)-(D)-

2433

2、若两事件A和B同时出现的概率尸(A8)=0,则(C)

Hi!别忘了背面还有哦！(独W44!!!)

(A)A和B不相容(8)A8是不可能事件

(CMB未必是不可能事件(O)。(4)=0或「(硝=0

3、设随机变量X的密度函数为〃x)=—二•,则Y=2X的概率密度函数为(B)

江(1+%)

1221

⑷--------(B)—(C)----------(D)--------

4(1+4厂)4(4+y~)乃(1+y)乃(4+y)

4、设随机变量X~可(必。2),则随o•的增大，概率P(IX-〃kb}(C)

(A)单调增大(8)单调减少(C)保持不变(。)增减不定

5、设X~N(0,l),y~N(l,2),X,y相互独立，令Z=2X-y,则2~(B)

(A)N(—2,5)(3)N(-1,6)(C)N(0,5)(D)/V(2.9)

6、设二维随机变量(X,y)的概率密度函数为八.")=[4孙则p(x<y)=(B)

[0,其匕

4xydy)dx(8)工([4xydy)dx

(C)(£^xydy)dx(D)|(£4xydy)dx

7、设X与Y为任意随机变量，则下列等式中成立的是(B)

(A)D(X+丫)=O(X)+D(K)(B)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

(C)D(Xr)=D(X)D(r)(D)E(XY)=E(X)E(r)

8、n个随机变量X,(i=l,2,3,…，而相互独立且具有相同的分布，且EX,=",DX,=/>2,fflX=-!-yX,的数学期望和方差分别为(A)

n,-i

(A)a,—(C)-,b2(D)-.—

nn'nnn

四、填空题(3分X8=24分)

1、设P(A)=1/3,尸(B)=1/2,P(AB)=1/8,则。(84=3/8.

2、甲闹钟闹响的概率为0.7,乙闹钟闹响的概率是0.8,某人怕误点，同时定甲、乙两闹钟，则有闹钟闹响的概率是0.94.

0,x<0

3、设随机变量X的分布函数为尸。)=,一,0<x<l,则

1,x>\

12x,0<x<1

P(0.3<X<0.7)=014»X的概率密度，(x)=jo,其它

4、设二维随机变量(X,Y)的概率分布律如下：

XL123

10.10.050.10

200.150.20

30.050.050.05

40.1500.10

则P(X>2)=0.4o

5、一般地，在大量重复试验中，随机事件发生的频率总是在某个确定的值附近摆动，而且试验次数越多，事件的频率就越接近该值，这种现象称为频率具有

稳定性.

6、设随机变量X的分布律为

X-100.512

P0.350.150.100.150.25

则，E(X2)=1.525.