广东高二数学期末考试试卷上

高二数学期末考试大题（上）

一、命题及其关系

1、已知：P：方程％2+/加+1=0有两个不等的负实根，4：方程4炉+4（机-2）x+l=0无

实数，若"p或q"为真，"p且q”为假，求加的取值范围。

2、已知p：函数/（x）=》2+ax+l在［l,+oo）上为增函数，q：关于x的方程x?+ax+4=0

无实数解，若p或q为真命题，求实数。的取值范围。

3、已知命题p：关于x的方程/一6+4=0有实根；命题依关于x的函数y=

2?+ax+4在［3,+8）上是增函数.若p或q是真命题，p且q是假命题，求实

数a的取值范围.

4、已知不等式k—〃?1<1成立的充分不必要条件是求实数机的取值范围.

二、探索点的轨迹

1、设椭圆5+5=1(4>6>0)的左右顶点分别为4(一2,0),8(2,0),离心率e=@.

a-b~2

过该椭圆上任一点P作轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且IQPHPCI.

(1)求椭圆的方程；

(2)求动点C的轨迹E的方程

2、如图，设P是圆/+>2=2上的动点，PD，X轴，垂足为D,M为线段PD上一点，且

|PD|=0|MD|,点A、Fi的坐标分别为(0,、/2),(-1,0)。

求点M的轨迹方程

3、已知动点P(x,y)与两个定点〃(-1,O),N(1,O)的连线的斜率之积等于常数X(2。0)

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)试根据A的取值情况讨论轨迹C的形状

4、在平面直角坐标系内，动圆C过定点且与定直线x=-1相切.求动圆圆心C的

轨迹G的方程

三、立体几何

1、如图，四边形切是正方形，PB工平面ABCD,MA〃PB,PB=AB=2MA.

(I)证明：47〃平面PMD；

(II)求直线助与平面板所成的角的大小；

(III)求平面AM与平面所成的二面角(锐角)的正切值.

B

DC

2、如图3中，三棱锥S-ABC中，A4BC是边长为的正三角形，SA=SC=26，

SB=2瓜

M、N分别为A8、SB的中点.

(1)求证：平面S4CL平面ABC：

(2)求二面角N—CM—8的一个三角函数值；

(3)求点5到平面CMN的距离.

3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面ABCD,

点E在线段PC上，PC_L平面BDE.

(1)证明：BDL平面PAC；

(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值・

4、如图5,在四棱锥P—ABC。中，底面为直角梯形，AD//BC,NBAD=90'，PA垂

直于底面ABC。，P4=AO=A8=23C=2,M,N分别为PC,PB的中点。

⑴求证：PBJ.DM；

(2)求平面A0MN与平面A8CD所成的二面角的余弦值;

(3)求点5到平面PAC的距离.

四、不等式及其应用

1、某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量X(单位：吨)满足函数

关系式C=3+x,每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式

3xH——--1-5,(0<x<6)

S=<jx-8

14,(x>6)

已知每日的利润L=S—C,且当x=2时，L=3.

(1)求)的值;

(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.

2、某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,

6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个

单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位

的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费

用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预

订多少个单位的午餐和晚餐？

3、要将两种大小不同的钢板截成/、B.C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小

钢板的块数如下表所示:

类型

钢板遨4规格6规格。规格

第一种钢板211

第二种钢板123

今需要4B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得

所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

五、数学归纳法

1、已知数列他"｝的前"项和S"满足：S"=华+；—1,且。“>0,九£N*.

(1)求。1，做，。3，并猜想｛"”｝的通项公式；

(2)证明通项公式的正确性.

2、在平面直角坐标系，中，片（〃，〃2）（〃eN+）是抛物线y=/上的点,

AOP„P„+I的面积为5,,.

⑴求S“；

⑵化简-L+-L+L+」一

S]S2s“

⑶试证明4£+.•—=迎"2

.在各项为正的数列｛%｝中，数列的前n项和Sn满足SB=1（%+工）

2%

1）求（2）由（1）猜想数列｛%｝的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.

六、圆锥曲线

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1、已知椭圆上y+%=l的右焦点为6(3,0),离心率为e.

(1)若6=走，求椭圆的方程；

2

(2)设直线y=H与椭圆相交于A,B两点，M,N分别为线段居的中点.若

坐标原点。在以MN为直径的圆上，且一求攵的取值范围.

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2、已知椭圆j+斗•=](。>8>0)的离心率0=火，连