专题07三角变换解三角形(易错起源)高考数学(理)备考黄金易错点Word版含解析版2

1.【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且知足sin12cosC2sincosCcossinC，则以下等式建立的是（A）a2b（B）b2a（C）2（D）2【答案】A【分析】sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，选A.2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边对于y轴对1，cos()=___________.称.若sin37【答案】93.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延伸线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】15,1024【分析】取BC中点E，DC中点F，由题意：AEBC,BFCD，△ABE中，cosBE1cos1115ABC，DBC,sinDBC1，AB44164S△BCD1BDBCsinDBC15．22又cosDBC12sin2DBF1,sinDBF10，441cosBDCsinDBF10，4综上可得，△BCD面积为15，cosBDC10．244.【2017课标II，理17】ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sinAC8sin2B，21）求cosB；（2）若ac6，ABC的面积为2，求b。【答案】(1)cosB15；(2)b=217【分析】b=2（1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（2）由，故又由余弦定理及得所以b=2.1.【2016高考新课标2理数】若cos(3（）)，则sin245（A）7（B）1（C）1（D）7255525【答案】D2327【分析】cos22cos2121，44525且cos24cos22sin2，应选D.2.【2016高考新课标3理数】若tan3，则cos22sin2（）4(A)64(B)48(C)1(D)16252525【答案】A【分析】由tan3，得sin3,cos4或sin3,cos4，所以45555cos22sin21641264252525，应选A．7.【2016高考天津理数】在△ABC中，若AB=13,BC=3，C120,则AC=（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【分析】由余弦定理得139AC23ACAC1,选A.8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.【答案】8.【分析】sinAsin(B+C)2sinBsinCtanBtanC2tanBtanC，又tanA=tanB+tanC，因tanBtanC1-tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC8,即最小值为8.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAcosBsinC.abc（I）证明：sinAsinBsinC；（II）若b2c2a26bc，求tanB.5【答案】（Ⅰ）证明详看法析；（Ⅱ）4.3【分析】2226（Ⅱ）由已知，b+c–a=bc，依据余弦定理，有cosA=b2c2a2=3．2bc5所以sinA=1cos2A=4．5由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以4sinB=4cosB+3sinB，555故tanB=sinB=4．cosB10.【2016高考浙江理数】（此题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.I）证明：A=2B；II）若△ABC的面积S=a2，求角A的大小.4【答案】（I）证明看法析；（II）或．24【分析】（Ⅰ）由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，4故2sinAcosBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsinB，于是sinΒsinAΒ．又，B0,π，故0ABπBπAB或BAB，，所以所以AπA2B，（舍去）或所以，A2B．（Ⅱ）由Sa2得1absinCa2，故有sinBsinC1sin2BsinBcosB，4242由于sinB0，所以sinCcosB．又B，C0,π，所以CπB．2当BCππ时，A；22当CBππ时，A．24综上，Aππ或A．24易错发源1、三角恒等变换π3π例1、(1)已知α为锐角，若cosα＋6＝5，则cos2α－6＝________.510(2)已知sinα＝5，sin(α－β)＝－10，α，β均为锐角，则角β等于( )5ππA.12B.3ππC.4D.624答案(1)(2)C253分析(1)由于α为锐角，cos(α＋6)＝5>0，所以α＋π为锐角，sin(α＋π)＝4，665πππ4324则sin(2α＋3)＝2sin(α＋6)cos(α＋6)＝2×5×5＝25.ππ又cos(2α－6)＝sin(2α＋3)，524所以cos(2α－6)＝25.由于α，β均为锐角，ππ所以－2<α－β<2.10又sin(α－β)＝－，10310所以cos(α－β)＝10.525又sinα＝5，所以cosα＝5，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)5310251025×10－5×(－10)＝2.π所以β＝4.(1)已知sinπ72，cos2α＝7，则sinα等于( )【变式研究】α－4＝10254433A.5B．－5C．－5D.531(2)cos10°－sin170°等于()A．4B．2C．－2D．－4答案(1)D(2)D72分析(1)由sinα－4＝10，得sinαcosπ4－cosαsinπ4＝7102，7即sinα－cosα＝5，①7227又cos2α＝25，所以cosα－sinα＝25，7即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝25，1所以cosα＋sinα＝－5.②3由①②得sinα＝，应选D.56(2)3131cos10°－sin170°＝cos10°－sin10°＝3sin10°－cos10°＝－sin10°cos10°12sin20°2sin20°＝1＝－4，sin20°2应选D.【名师点睛】三角变换的重点在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵巧应用，要擅长察看各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防备出现张冠李戴的状况．(2)求角问题要注意角的范围，要依据已知条件将所求角的范围尽量减小，防止产生增解．【神机妙算，战胜自我】1．三角求值“三大种类”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；弦、切互化：一般是切化弦．易错发源2、正弦定理、余弦定理π1例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则cosA等于( )3101010310A.10B.10C．－10D．－10(2)(2015·北京)在△中，＝3，＝6，＝2π，则＝________.ABCabA3Bπ答案(1)C(2)4分析(1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1112则由题意得S△ABC＝2a·3a＝2acsinB，∴c＝3a.由余弦定理得2＝2＋c2－2cosBbaac7＝a2＋22－2××2×2＝52，9aa3a29a∴b＝5.3a52＋22－2∴cosA＝b2＋c2－a29a9aa102bc＝52＝－10.2×3a·3a应选C.6sin2πsinA32(2)sinB＝＝2，由正弦定理得a＝3由于A为钝角，所以＝π.B4【变式研究】如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD均分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．sinB(1)求；sinC2若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长．由于S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知222AB＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB，222AC＝AD＋DC－2AD·DCcos∠ADC.822222故AB＋2AC＝3AD＋BD＋2DC＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.【名师点睛】对于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及相关三角形的性质，常有的三角变换方法和原则都合用，同时要注意“三一致”，即“一致角、一致函数、一致构造”，这是使问题获取解决的打破口．【神机妙算，战胜自我】abca1．正弦定理：在△ABC中，sinA＝sinB＝sinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，2＝b2＋c2－2cos；abcA变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－2a.2bc易错发源3、解三角形与三角函数的综合问题例3(2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2πx＋.4求f(x)的单一区间；A在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．π解(1)由题意知f(x)＝sin2x－1＋cos2x＋222sin2x1－sin2x1＝2－2＝sin2x－2.由－π＋2π≤2≤π＋2kπ，∈Z，2kx2kππ可得－4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z；π3π由2＋2kπ≤2x≤2＋2kπ，k∈Z，π3π可得4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单一递加区间是－π＋kπ，π＋kπ(k∈Z)；44单一递减区间是π＋kπ，3π＋kπ(k∈Z)．449(2)由fAA－1＝0，得sinA＝1，＝sin222由题意知A3为锐角，所以cos＝.A2由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，且当b＝c时等号建立．所以1sin≤2＋3.2bcA4所以△ABC面积的最大值为2＋3.4【变式研究】已知函数f(x)＝cos2x＋23sinxcosx－sin2x.求f(x)的最小正周期和值域；A2(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别