八年级数学各章知识点

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八年级（上）知识点整合

第一章勾股定理

重点知识：1、勾股定理，常用勾股数2、勾股定理逆定理

3、勾股定理的运用：最短距离

一、勾股定理的内容：

假使直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2?b2?c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

BaCcbA

二．勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如下图的正方形：12S正方形ABCD??a?b??c2?4?ab2?a2?b2?c2.ADBC（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如下图的正方形：HG12S正方形EFGH?c2?a?b??4?ab2?a2?b2?c2.（3）方法三：“总统〞法.如下图将两个直角三角形拼成直角梯形：EFCS梯形ABCD?(a?b)(a?b)11?2?ab?c2222DacbEcb?a2?b2?c2.AaB

三．勾股定理的逆定理：

假使三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即在?ABC中,假使AC2?BC2?AB2,那么?ABC是直角三角形。

四．勾股数：

满足a2?b2?c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大一致倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17

其次章实数

重点知识：1、无理数的概念，与有理数的区别2、实数比较大小

3、实数的运算、平方根、算术平方根、立方根4、二次根式的非负性

一、实数的概念及分类1．实数的概念

实数：有理数和无理数的统称．2．实数的分类

???正整数???????整数?0??负整数??有理数???有限小数或无限循环小数?????正分数?实数??分数?????负分数?????正无理数???无理数???无限不循环小数???负无理数??注意：

（1）实数还可按正数，零，负数分类．

（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n（n为整数)表示；奇数一般用2n?1或2n?1（n

为整数）表示．

（3）正数和零常称为非负数．

（4）带根号的数不一定是无理数，如9．

二、实数的大小比较

1利用数轴比较大小

由于数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数.

2利用绝对值比较大小

两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

3利用作差法比较大小

设a、b是任意两实数，若a?b?0,则a?b;若a?b?0,则a?b;若a?b?0,则a?b.4、利用作商法比较大小

设a、b是任意两同号实数，当a，b都为负数时，若

三、实数的运算1.运算律

加法交换律a+b=b+a加法结合律(a?b)?c?a?(b?c)乘法交换律ab=ba乘法结合律(ab)c?a(bc)分派律a（b+c）=ab+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时依旧成立.

2.混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最终算加减；假使有括号，先算括号里面的.

四、平方根、算术平方根、立方根

平方根：假使一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作?a，正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0.

算术平方根：正数a的正平方根，记作a;0的算术平方根为0.

立方根：假使一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作3a,正数有一个正的立方根，负数有

一个负的立方根，0的立方根是0.

注意：

（1）当被开方数扩大(或缩小)n2倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(n?0)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

?a(a?0)①若a?0，则(a)2?a；②不管a为何值，总有a2?|a|??

?a(a?0)?

aa?1,则a?b；若?1,则a?b.bb

（3）若一个非负数a介于另外两个非负数a1、a2之间，即0?a1?a?a2时，它的算术平方根也介于a1、a2之间，即：0?a1?a?a2利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．

五、二次根式的概念

二次根式的概念：形如a（a?0）的式子叫做二次根式．

?a(a?0)二次根式的基本性质：⑴a?0（a?0）双重非负性；⑵(a)2?a（a?0）；⑶a2?a??

?a(a?0)?

六、二次根式的乘除最简二次根式：

二次根式a（a?0）中的a称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则：a?b?ab（a?0，b?0）二次根式的除法法则：ab?a（a?0，b?0）b利用这两个法则时注意a、b的取值范围，对于ab?a?b，a、b都非负，否则不成立，如(?7)?(?5)?(?7)?(?5)

七、同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式以后，假使被开方数一致，这几个二次根式就叫做同类二次根式．分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，假使它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．

a?b与a?b互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．

第三章位置的确定

一、平面直角坐标系

1．有序实数对

b?．有顺序的两个数a与b组成的实数对，叫做有序实数对，记作?a，b?和?b，a?是不同的两个有序实数对．注意：当a?b时，?a，2．平面直角坐标系

楷体在平面内有两条公共点并且相互垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，寻常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x轴和y轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．

3．象限

楷体x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，其次象限，第三象限，第四象限．

注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．

（2）假使所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．楷体五号4．点的坐标

楷体对于坐标平面内的一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫b?叫做点A的坐标，记作A?a，b?．做点A的横坐标和纵坐标，有序实数对?a，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．

注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，〞号隔开，再用小括号括起来．楷体五号二、坐标平面内特别点的坐标特征

1．各象限内点的坐标特征

y?在第一象限?x?0，楷体点P?x，y?0；

y?在其次象限?x?0，点P?x，y?0；y?在第三象限?x?0，点P?x，y?0；y?在第四象限?x?0，点P?x，y?0．

2．坐标轴上点的坐标特征

y?在x轴上?y?0，x为任意实数；楷体点P?x，y?在y轴上?x?0，y为任意实数；点P?x，y?即在x轴上，又在y轴上?x?0，0?．点P?x，y?0，即点P的坐标为?0，3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征

y?在第一、三象限夹角的角平分线上?x?y；楷体点P?x，y?在其次、四象限夹角的角平分线上?x?y?0．点P?x，4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

楷体平行于x轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；

平行于y轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征

b?关于x轴的对称点是P??a，?b?，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．楷体点P?a，b?关于y轴的对称点是P???a，b?，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．点P?a，b?关于坐标原点的对称点是P???a，?b?，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．点P?a，b?关于点Q?m，n?的对称点是M?2m?a，2n?b?．点P?a，楷体五号三、用坐标表示地理位置

1．直角坐标系法

楷体先确定原点，然后画出x轴和y轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．楷体五号2．方位角法

楷体从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．楷体五号

四、用坐标表示距离

y?到x轴的距离是y；点P(x,y)到直线y?m的距离是y?m；楷体点P?x，y?到y轴的距离是x；点P(x,y)到直线x?n的距离是x?n；点P?x，22y?到原点的距离是x2?y2；点Py1?到点P2?x2，y2?的距离PP点P?x，1?x1，12?(x1?x2)?(y1?y2)，

特别地，当P12?x1?x2；当P12?y1?y2．1P2平行于x轴时，PP1P2平行于y轴时，PP楷体五号五、用坐标表示平移

1．点的平移

y?向右（或向左）平移a个单位可得对应点?x?a，y?或?x?a，y?；楷体将点?x，y?向上（或向下）平移b个单位，可得对应点?x，y?b?或?x，y?b?．将点?x，楷体五号2．图形的平移：

楷体把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位．

假使把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位．楷体五号

第四章一次函数

重点知识：1、一次函数的图像

2、一次函数的解析式3、一次函数的应用

一、一次函数的概念

一般地，形如y?kx?b（k，b是常数，k?0）的函数，叫做一次函数，当b?0时，即y?kx，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是y?kx?b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当b?0，k?0时，y?kx仍是一次函数．⑶当b?0，k?0时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

二、一次函数的图象

⑴一次函数y?kx?b（k?0，k，b为常数）的图象是一条直线．

⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成

直线即可．

0?，?1，k?两点；①假使这个函数是正比例函数，寻常取?0，?b?b?，??，0?，即直线与两坐标轴的交点．②假使这个函数是一般的一次函数（b?0），寻常取?0，?k?

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y?kx?b的点?x，y?在其对应的图象上，这个图象就是一条直

线l，反之，直线l上的点的坐标?x，y?满足y?kx?b，也就是说，直线l与y?kx?b是一一对应的，所以寻常把一次函数y?kx?b的图象叫做直线l：y?kx?b，有时直接称为直线y?kx?b．

⑷|k|的几何意义：|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越远离y轴。

三、一次函数的性质

一次函数k?kx?b?k?0?k，bk?0k?0

符号b?0b?0b?0b?0b?0b?0yOyyOOyOyOy图象Oxxxxxx性质

1．一次函数图象的位置

在一次函数y?kx?b中：

y随x的增大而增大y随x的增大而减小⑴当k?0时，其图象一定经过一、三象限；当k?0时，其图象一定经过二、四象限．

⑵当b?0时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当b?0时，图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．

反之，由一次函数y?kx?b的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号．2．一次函数图象的增减性在一次函数y?kx?b中：

⑴当k?0时，一次函数y?kx?b的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；

四、含绝对值的一次函数

对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们寻常采用零点探讨法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．

我们知道，函数y?x?a，当x?a时，y取最小值0．函数y?x?a1?x?a2(a1?a2)，若x?a2，则y?(x?a1)?(x?a2)?2x?(a1?a2)?a2?a1；若x?a1，则y?(a1?x)?(a2?x)?(a1?a2)?2x?a2?a1；当a1?x?a2时，y取最小值y?(x?a1)?(a2?x)?a2?a1．在数学竞赛中，有这样一类问题十分普遍：

设a1?a2?…?an?1?an，当x为何值时，函数y?x?a1?x?a2?…?x?an?1?x?an取最小值？下面我们给出这类问题的一般性结论．对于函数y1?x?a1?x?an，

当a1?x?an时，y1取得最小值an?a1．同理，

当a2?x?an?1时，函数y2?x?a2?x?an?1取得最小值an?1?a2；

⑵当k?0时，一次函数y?kx?b的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．

当a3?x?an?2时，y3?x?a3?x?an?2取得最小值an?2?a3；……于是我们得到：

⑴若n为奇数，当x?an?1时，yn?1?x?an?1取最小值0，此时，y1，y2，…，yn?1都取得最小值，则

2222????y?y1?y2+…+yn?1取得最小值?an?an?1?…?an?1???a1?a2?…?an?1?．

?2??2?2⑵若n为偶数，当an?x?an时，yn?x?an?x?an22?1222?1取得最小值an?an，此时，y1，y2，…，yn都

2?122????取得最小值，故y?y1?y2?…?yn取得最小值?an?an?1?…?an???a1?a2?…?an?．

?1?2??2?2这一点从图象上也不难看出．当x?a1或x?an时，图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线，而中间各

，2，…，n?1)上均为线段，它们首尾相连形成折线，在中间点或中间段处最低，此时函段在区间?ai，ai?1?(i?1数有最小值．

五、用待定系数法求一次函数解析式

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．

用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

②将x，y的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或

方程组；

③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

系是：

（1）“二合一〞问题：假使ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，

即

（2）“三合一〞问题：假使甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等

关系式是：

某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，假使一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

4、行程问题

（1）基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）.注：“相向而遇〞和“同向追及〞是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间具体表现在：“相向而遇〞时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及〞时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．2.航行问题的数量关系：

A、顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程

B、顺水（风）速度=_________________________逆水（风）速度=_________________________

在某条高速马路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以一致的速度驾车沿高速马路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后马上以一致的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？

5、货运问题

注：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加确凿度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要