公开课抛物线和简单几何性质优秀教案（焦点弦的性质）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——公开课抛物线和简单几何性质优秀教案（焦点弦的性质）抛物线几何性质专题一抛物线的焦半径和焦点弦

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并把握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．

(二)能力训练点

从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(三)学科渗透点

使学生进一步把握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析

1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质推理和应用的方法渗透．三、课堂设计

提问、填表、讲解、演板、练习、探究、总结．四、教学过程教教学内容学环节（一）复习上节课的定义及各标准方程，提问学生。（二）（1）范围抛物线的由于p?0，由方程可知x?0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也几何增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．性质探究：（2）对称性

设计意图复习稳定从认识抛物线的几何直观入手，总结归纳常见的几何性质。以?y代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛1

物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知时，因此其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得．（5）探讨抛物线上一动点P到焦点F的距离（焦半径长度）和焦点弦长的问题。总结如下：方程图形范围y2=2px（p＞0）ylOFxy2=-2px（p＞0）ylFOxx2=2py（p＞0）yFOlxx2=-2py（p＞0）yOFlxx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0x∈Ry≤0关于y轴对称对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称顶点焦半径（0,0）p?x02（0,0）p?x02p?(x1?x2)（0,0）p?y02p?y1?y2（0,0）p?y02p?(y1?y2)焦点弦p?x1?x22023-11-13的长度（三）有关抛物线定义和焦半径的灵活应用。

稳定基例1.设O是坐标原点，F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，本方法：①?????????FA与x轴正向的夹角为60，则OA为坐标运算；2y2p,y)，F(,0)解一：设A(2p2②定义与几何分析结合。2

则kAF?yyp?2p22?3ByDAOBFx?3y2?2py?3p2?0?y?3p?A(?3p,3p)23p21|OA|?(?0)2?(3p?0)2?p.22解二：作AB?l于B,作FD?AB于D，Rt?ADF中，?FAD?600，设AF?r?AB?r,AD?r3r,DF?r?BD??p222?r?2p321?OA?(p)2?(3p)2?p.22已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上且|AK|=2|AF|，则⊿AFK的面积为：A．4B．822yBKOAFC．16D．32解：设A(x0,y0)?y0?8x0①又F(2,0),K(?2,0)2由|AK|=2|AF|得(x0?2)?y0?22(x0?2)②①②联立，解得：x0?2，即A(2,4)?S?AKF?8.（四）例2.若线段AB是抛物线y2?2px的一条过焦点F的弦，其中A(x,y),B(x,y)，1122进一2p直线AB的倾斜角为?（??0），求证：|AB|?.步研2sin?究抛物线p的焦证法1：若lAB斜率存在，设lAB：y?k(x?)2半径和焦点弦

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通过证明这些“幽美的性质〞，进一步熟练把握直线与圆锥2的特与方程y?2px联立，得：征和k2p2222性质：kx?p(k?2)x??0??（?）yA(x1,y1)4曲线位置关系的基本方法。k2?2p2?x1?x2?p，x1x2?24kk2?2?|AB|?x1?x2?p?p?pk222k?1tan??12p?2p2?2p?；ktan2?sin2?若lAB斜率不存在，则lAB：x?pF(,0)2B(x2,y2)xp，易解得2|AB|?2p?2psin2?，也满足上式.2p1，（其中m?,k?tan?）2k22证法2：设lAB：x?my?2与方程y?2px联立，得：y?2pmy?p?0??(*)?y1?y2?2pm,y1y2??p2?|AB|?x1?x2?p?(my1?12p?2p(2?1)?.2tan?sin?2pp)?(my2?)?p?m(y1?y2)?2p?2p(m2?1)22若线段AB是抛物线y?2px的一条过焦点F的弦，其中A(x1,y1),B(x2,y2)，(1)求证：112??；|AF||BF|p2（2）设l为抛物线y?2px的准线，作AC?l于C，BD?l于D，求证：A、O、D三点共线；B、O、C三点共线；证明：（1）若lAB斜率存在，设lAB：y?k(x?p)2k2p2?0??（?）与方程y?2px联立，得：kx?p(k?2)x?42222k2?2p2?x1?x2?p，x1x2?24k4k2?2p?p2x1?x2?p11112k???????pp|AF||BF|ppp2p2pk2?2p2x1?x2?x1x2?(x1?x2)????2224424k2p若lAB斜率不存在，则lAB：x?，易求得|AF|?|BF|?p2?112???|AF||BF|p综上，命题得证.（2）由A(x1,y1),B(x2,y2)得：C(?pp,y1),D(?,y2)，222?kODy2y1y2yy?p22p2px1??????1?1?kOApppy1x1y1x1y1x1??y1?y1222?A、O、D三点共线，同理可证：B、O、C三点共线；若线段AB是抛物线y?2px的一条过焦点F的弦，l为抛物线y?2px的准线，其中A(x1,y1),B(x2,y2)，则1.若直线AB的倾斜角为?（??0），则|AB|?x1?x2?p?222p；sin?2.112??；|AF||BF|pyCMODBF3.若准线l与x轴交于点M，则?AMF??BMF；4.作AC?l于C，BD?l于D，则：A、O、D三点共线；B、O、C三点共线；5.以AB为直径的圆与准线l切于CD中点N；以CD为直径的圆与直线AB切于点F．Ax5

（五）2例3．（09湖北，文）如图，过抛物线y?2px(p?0)的焦点F的直线与抛物线相交拓展应用：于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1；(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S2＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。2（备用题）如图，AOB为一水平放置的抛物线形容器的轴截面，容器口的长度|AB|为6cm，容器的深度为9cm，CD为放