精选河北省石家庄市2023届高中毕业班3月教学质量检测理科数学试题(解析版)

河北省石家庄市2023届高中毕业班3月教学质量检测理科数学试题(解析版)PAGE1石家庄市2023届高中毕业班教学质量检测理科数学本卷须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设全集为，集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解M,N，再求交集即可.【详解】由题,∴应选：A.【点睛】此题考查集合的运算，熟练求解M是关键，是根底题.2.复数满足〔为虚数单位〕，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法计算即可.【详解】z=应选：D.【点睛】此题考查复数的运算，熟记复数的运算性质，熟练计算是关键,是根底题.3.甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别将甲、乙的数据列出，计算即可.【详解】由题甲次测评成绩为：10,11,14,21,23,23,32,34，所以甲的平均成绩为=21；甲次测评成绩为：12,16,21,22,23,23,33,34，所以乙的中位数为应选：D【点睛】此题考查茎叶图平均数与中位数计算，熟记运算性质，熟练计算是关键，是根底题.4.某几何体的三视图如以以下图〔图中小正方形网格的边长为〕，那么该几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将三视图复原为直观图求解即可.【详解】由题三视图复原为直观图如以以下图：即正方体截去一个三棱柱后得到的四棱柱ABCD-GHFE,由数据可得上下底面积为体积为3×2=6应选：B.【点睛】此题考查三视图，熟练掌握复原原那么，熟练计算棱柱体积是关键，是根底题.5.执行如以以下图的程序框图，输入的值为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次执行框图，直到k=4输出S即可.【详解】输入4，由题k=1,S=0；k<4,S=0+k<4,S=2+k<4,S=6+k<4不成立，输出S=14应选：C.【点睛】此题考查程序框图，熟练计算每次循环，确定何时结束循环输出结果是关键，是根底题.6.，那么以下不等式一定成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对每个选项逐一分析A,B选项举反例排除即可；对D用单调性排除.【详解】对A,当a=2,b=-1,不合题意；对B,当a=2,b=-1,不合题意;对D,由函数y=单调递减，知，错误应选:C.【点睛】此题考查不等式性质，是根底题，熟练掌握绝对值不等式，分式不等式，指数函数单调性是解题的关键.7.抛物线的焦点为，过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线MF:,与抛物线联立，求得N坐标，再利用抛物线焦半径公式即可求解.【详解】设直线MF:,与抛物线联立得,解得x=2或，即∴=应选：A.【点睛】此题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，熟记焦半径公式，熟练计算是关键，是中档题.8.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐〞、“校〞“园〞四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和〞、“谐〞两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和〞、“谐〞、“校〞、“园〞这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个.依次判断每个随机数即可.【详解】由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个,∴满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为.应选：C【点睛】此题考查古典概型，将题意转化，熟记古典概型运算公式是关键，是中档题，也是易错题.9.设函数的最小正周期为，且，那么〔〕A.在上单调递增 B.在上单调递减C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】A【解析】【分析】将f(x)化简，求得，再进行判断即可.【详解】∵最小正周期为得，又为偶函数，所以,∵,k=-1,,当,即,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，应选：A.【点睛】此题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.10.将函数〔为自然对数的底数〕的图象绕坐标原点顺时针旋转角后第一次与轴相切，那么角满足的条件是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设过原点的直线与相切，求得直线方程即可.【详解】设直线y=kx与相切，切点为又，解即tan应选：B【点睛】此题考查函数切线，熟练转化题意，准确计算切线方程是关键，注意逆向思维的运用，是中档题.11.双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.假设，且，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设=m,由定义得在三角形AB中由勾股定理，求得m=，在B中运用余弦定理即可求解.【详解】设=m,，由双曲线定义得又A所以AB=2m+2a,,∴,即，解m=解得e=应选：B.【点睛】此题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是难题.12.函数，其中为自然对数的底数，那么对于函数有以下四个命题：命题1：存在实数使得函数没有零点命题2：存在实数使得函数有个零点命题3：存在实数使得函数有个零点命题4：存在实数使得函数有个零点其中，正确的命题的个数是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出f(x)图像，令t=问题转化为a=，即直线y=a与h(t)=交点问题的讨论，及t与的交点个数问题.【详解】由题画出f(x)图像如以以下图：令t=那么a==,h(t)图像如图：当a>时，y=a与y=无交点，所以t=无解，故命题1正确；当a=-2时，y=-2与y=交点为横坐标为t=-1或t=2,此时t=-1和t=2分别与y=f(x)有一个交点，即t=有两个零点，命题2正确；当a=0时，y=0与y=交点横坐标为t=0或t=1,,此时t=0或t=1分别与y=f(x)有2个交点，即t=共4个零点，命题3正确；当0<a<y=a与y=交点有两个，横坐标均满足0<t<1，此时t与y=f(x)分别有3个交点，即t=有6个零点，故命题4正确应选：D.【点睛】此题考查函数与方程，函数的图像，将函数分为内外两层，研究其特征是关键，注意考虑问题要全面，是难题，易忽略命题1无零点的情况.二、填空题。13.命题,，那么是_____；【答案】【解析】【分析】由特称命题的否认直接写出结论即可.【详解】由题命题p的否认为：故答案为【点睛】此题考查特称命题，熟记特称与全称命题的否认是关键，是根底题，易错点是改为14.向量，，，假设，那么______；【答案】【解析】【分析】由求得x,得到的坐标，再求模长即可.【详解】，∴2x+2=0,∴x=-1,∴,∴故答案为【点睛】此题考查向量的坐标运算，模，熟记垂直性质，熟练计算模长是关键，是根底题.15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面.为对角线与的交点,假设，，那么三棱锥的外接球的体积是____；【答案】【解析】【分析】由底面为菱形，得BD⊥AC,进而推得BD⊥面PAC,得三角形PBO与PAO为直角三角形，确定球心位置为PA中点即可求解.【详解】底面为菱形，为对角线与的交点,∴BD⊥AC,又底面，∴,BD∩PB=B,∴AC面PBD,∴AC即三角形PBA与PAO均为直角三角形，∴斜边中点即为球心，∵，，∴PA=2=2R,∴R=1,故三棱锥的外接球的体积是=故答案为【点睛】此题考查三棱锥外接球，线面垂直判定,熟练运用线面垂直与线线垂直证明是关键，是中档题.16.在中，、、分别是角、、的对边，假设，，且，那么的最大值是____________.【答案】2【解析】【分析】由正弦定理化简,，求得A=,平方得b,c的关系式，运用根本不等式求解即可.【详解】由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,即sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,又sinA≠0,所以cosA=,平方得,整理9=,即,当且仅当b=2c取等，解得2故答案为2【点睛】此题考查三角变换，向量运算，根本不等式，熟记三角公式，熟练计算向量运算，且善于构造根本不等式是关键，是难题.三、解答题：解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.是首项为的等比数列，各项均为正数，且.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】〔1〕由得q方程求解即可；〔2〕变形为裂项求和即可.【详解】〔1〕设的公比为，由得，解得，或，因各项都为正数，所以，所以，所以，【点睛】此题考查等比数列通项公式，裂项相消求和，熟记等比数列通项，熟练计算裂项求和是关键，易错点是裂项时提系数，及剩余项数，是根底题.18.某公司为了提高利润，从2023年至2023年每年对生产环节的改良进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2023202320232023202320232023投资金额〔万元〕年利润增长〔万元〕〔1〕请用最小二乘法求出关于的回归直线方程；如果2023年该公司方案对生产环节的改良的投资金额为万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？〔结果保存两位小数〕〔2〕现从2023年—2023年这年中抽出三年进行调查，记年利润增长投资金额，设这三年中〔万元〕的年份数为，求随机变量的分布列与期望.参考公式：.参考数据：，.【答案】(1),11.43万元(2)见解析【解析】【分析】〔1〕先求，，代入公式求得；由〔，〕在回归直线上求得即可；〔2〕列出年份与的表格，得到的可能取值为1,2,3，分别计算概率，写出分布列，求出期望即可.【详解】〔Ⅰ〕，，，那么回归直线方程为：将代入方程得即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元.〔Ⅱ〕由题意可知，年份20232023202320232023202320231.521.92.12.42.63.6的可能取值为1,2,3，;;那么分布列为123P【点睛】此题考查回归直线，离散型随机变量及分布列，熟记回归直线求解方法，熟练计算，分布列是关键，是中档题.19.如图，三棱柱，侧面为菱形，.〔1〕求证：平面；〔2〕假设，，，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】〔1〕由为菱形，得，又由，连接，得，即可证明平面；〔2〕法一：证明得到进一步证得，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立坐标系求平面的法向量与平面的法向量，利用二面角向量公式求解即可；法二：证明得到设，得，因此为等腰三角形，证得也为等腰三角形，取的中点，连接，那么为二面角的平面角，在中，运用余弦定理求解角即可.【详解】〔1〕因为侧面为菱形，所以，因为，连接，所以，，所以平面〔2〕解法一：因为，那么所以，又，可得，，令，那么，如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立坐标系．设平面的法向量为，令，那么同理平面的法向量为,所以，二面角的余弦值为〔2〕解法二：因为，那么所以，设，因为，侧面为菱形，所以，又因为，可得，所以，因此为等腰三角形，那么也为等腰三角形，取的中点，连接，那么为二面角的平面角在中，可得所以所以，二面角的余弦值为【点睛】此题考查线面垂直的判定，空间向量求二面角，熟练掌握线面垂直判定定理，熟练计算向量是关键，第二问法一先证明三线两两垂直才能建系，法二寻找二面角的方法是难点，是中档题，20.椭圆〔〕的离心率为，且经过点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】〔1〕由题得a,b,c的方程组求解即可〔2〕直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意那么由韦达定理可得，，.直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.特别地，当直线为轴时，也符合题意.综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】此题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.21.函数，为常数.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设函数有两个极值点，，且，求证：.【答案】(1)见解析(2)见证明【解析】【分析】〔1〕分子所对应的二次函数,分情况讨论的正负以及根与1的大小关系，即可；〔2〕由〔1〕得两个极值点满足，所以，那么，将化简整理为的函数即，构造函数求导证明不等式即可.【详解】(1)函数的定义域为.由题意，.〔i〕假设，那么，于是，当且仅当时，，所以在单调递减.〔ii〕假设，由，得或，当时，；当时，；所以在单调递减，单调递增.〔iii〕假设，那么，当时，；当时，；所以在单调递减，单调递增综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，上单调递增；当时，函数在上单调递减，上单调递增.〔2〕由〔1〕知，有两个极值点当且仅当，由于的两个极值点满足，所以，那么，由于.设..当时，，所以.所以在单调递减，又.所以，即.【点睛】此题考查函数导数与单调性，证明不等