首都师范2013年数学分析真题解析

（每618

1)x2【解答1

x

sinx

lim

lime x0 x1x3o(x3 1

lime

limex3

en【解答

3 lim limn 0，故 n n nn n limtanxsin sin【解答 3 3 tanxsinxlimx3!o(x)x60(x)lim2 sin3 x0 （本题15 x求函f(x

x

的导函数，并讨论导函数的连续性【解答x0f'(x)2xsin1x21cos12xsin1cos1 x2sinx0时f'(0)

f(xf(0) xlimxsin10， xf'(x)

xlim2xsin10limcos1不存在，故limf'(xf'(xx0 （本题15fRR【解答

x

f(xfRx

f(x)存在，故对任意0，总存在X0，使得对任意xyXf(xfy)1f(x在[0,f(x在[0,Xf(x在[0,X]上一致连续，故对任意0，存在0，使得对任意x,y[0,X，只xy，1有f(x)f(y) 。现在任取xy[0,)，使得xy。若x,y[0,X]，2f(xfy)1xyX，则f(xfy)1x[0XyX, 则f(x)f(y)f(x)f(X)f(X)f(y)11 f(x在[0,)上一致f(x在(,0上一致连续。故f(xR上一致连续（本题15 x2y2判读函数f(x,y)x2 在原点（0，0）处是否连续，偏导数是否在，是否可微x2x2

x2y2(xy0

f(x,y)

x0，(x,y)(0,0)故(x,y

f(xy0f(0,0f(xy在（0，0）fy(0,00。(xy0f(x,y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)y

，x2xy0

10f(xy在(0,0) (x2y2)（本15分，第(17分，第(28判断下列级数的敛散 1 (1) 1 cosn(1)nn

ln

n1 【解答

~n

)n (lnn limnlnnnlnlnnlimxlnxxlnlnx

1lnxlnlnx xln ln xlimx(1lnxlnlnx

ln

)故 收敛，故

1

(lnn

nnn 1 1 (2)1cosn~2n2n1cosn~2nn收敛，故n1cosn （本题15求三重积分y(xz)dxdydz其中是由平面y0，z0xz及曲面y 成的区域【解答

xy(xz)dxdydz2 xdy2xy(xz)dz12 x(x

1

2 1

1 2 y( x2)dy 2 x2)dx 2x( x2122 44

4 x4

4( 4)20（本题15S为非空数集，有上界，并且上确界supSaS。证明：存在严格单调递增数列{x}S，使得limxn n【解答axamin(1,ax)；存在xS，使得axa x)

min(3, 如此可得到一个严格单调递增数列{x}S，使得limxn n（本题15证明级数

sin在(0,2内闭一致收敛n【解答对任意(0,x[,2

0x n

2sin2sinkxcos(k2)xcos(k

cos(n)x k nsinkxk

cosxcos(n1 22nsinkxk

2sin2

22

sin，2，1 sinn单调递减趋于0， 雷判别法，级数 在[,2]一致收敛，由的 任意性，级数

sin在(0,2内闭一致收敛n（本题15f在[0,f(0)0，a0，b0gyf(x反函数。证明 ab0f(x)dx0gy)dy，而且当且仅当bf(a)当11，有e1ln成立【解答如下图所示bfbf ab0f(x)dx0gy)dy，而且当且仅当bf(a)，等号成立 aba(ex1)dxbln(y1)dyea1a(b1)ln(b1) 即1abab(1a)(1b)eab1ln(b1，令1a1be1ln成立（本题15设级数anSna0a1an，n有极限limS

S0S1 S0S1 n nan 0nanxn在(1,1) 在(1,1)上成立axn1x)2(n1)xn 【解答

n

(n

n，SaS

n

(n1)n1 n故limanlim(n1)n12nnn1)n1S2SSn alima

0,故an有界即存在正常数M使得对任意n0 M即aMnn 对任意固定的a(0,1)，对任意x[a,a]，

nxnMnannan收敛，故axnn [aa]一致收敛。由a的任意性，

nxn在(1,1)内闭一致收敛 2

2

2 (1x)(n

x(1x)Sx