南京师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省南京师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含解析南京师大附中2019-2020学年度第1学期高一年级期末考试数学试卷一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U=R，集合，则（）A.(1,2） B。［1,2］ C。（-2,-1) D.[—2，-1]【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合的表示，再利用补集的定义，结合数轴求出即可。【详解】因为，U=R,所以[1，2]．故选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合补集的定义，属于基础题.2.设,则a，b，c的大小关系为（）．A。c>a〉b B。b〉a>c C.c>b>a D.b〉c〉a【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用中间值比较方法判断出三个数的大小.【详解】,所以b>c〉a．故选:D【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题。3。如图，已知点C为△OAB边AB上一点,且AC=2CB,若存在实数m，n,使得，则的值为（）．A。 B.0 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出的值.【详解】,所以。故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理和共线定理，属于基础题.4.已知函数的图象如图所示，则的值为(）．A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】利用最高点和最低点的坐标，求出周期,利用周期公式求出的值，把其中一个点的坐标代入函数解析式中,最后求出的值。【详解】由图可知，，所以，所以，又因为，所以，解得，因为，所以.故选:D【点睛】本题考查了通过函数图象求函数的解析式，考查了识图能力，属于基础题.5.函数的定义域是()A。［1，+∞) B。(0，1) C。(—1,0］ D.（−∞−1］【答案】C【解析】【分析】根据对数的真数大于零，被开偶次方根数为非负数,得到两个不等式，解不等式组即可.【详解】由题意可得：且，解得且x≤0，所以定义域为(—1,0］．故选：C【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力。6.设a,b是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（a，1），B(-2，b）,且，则的值为（）．A.-4 B.—2 C。4 D。±4【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出的值.【详解】由三角函数的定义,,且a〈0，解得,所以。故选：A【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了数学运算能力。7。函数y=sin2x的图象可能是A。 B.C. D。【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数,排除选项A，B;因为时，,所以排除选项C，选D。点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；(2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势;（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4)由函数的周期性,判断图象的循环往复．8。若函数,则对于任意的，与的大小关系是(）．A. B。C. D.不确定【答案】B【解析】【分析】画出函数的图象利用数形结合思想可以判断出大小关系。【详解】观察图象，可得函数“凹凸性”如图。故选：B【点睛】本题考查了利用数形结合思想判断函数值之间的大小关系,属于基础题.二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列计算结果为有理数的有（)．A. B。lg2+lg5 C。 D.【答案】ABCD【解析】【分析】根据对数的运算公式和特殊角的三角函数值进行计算，根据结果判断出正确选项.【详解】；lg2+lg5=1；;，故选：ABCD【点睛】本题考查了对数运算公式和特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力。10.对于定义在R上的函数,下列判断错误的有（）．A。若,则函数是R的单调增函数B.若，则函数不是偶函数C.若，则函数是奇函数D。函数在区间(−∞，0］上是单调增函数,在区间(0，+∞）上也是单调增函数，则是R上的单调增函数【答案】ACD【解析】【分析】利用单调性的定义及性质,奇偶函数定义进行判断即可。【详解】A选项，由，则在R上必定不是增函数；B选项,正确;C选项,，满足，但不是奇函数;D选项,该函数为分段函数，在x=0处，有可能会出现右侧比左侧低的情况,故错误．故选：ACD【点睛】本题考查了函数的单调性的定义和性质，考查了函数奇偶性的性质,属于基础题.11.设a为实数，则直线y=a和函数的图象的公共点个数可以是(）．A。0 B。1 C。2 D。3【答案】ABC【解析】【分析】利用方程的思想即可判断出公共点的个数.【详解】y=a和联立消去得，。当时,方程有两个不相等的实根，故有两个公共点；当时，方程有一个实根，故有一个交点；当时，方程无实根，故没有交点。故选：ABC【点睛】本题考查了两个函数图象交点个数问题,考查了一元二次方程根的判别，属于基础题。12.设函数的定义域为D,若对于任意x∈D，存在y∈D使（C为常数）成立,则称函数在D上的“半差值”为C．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（）．A. B。C。 D.y=sin2x+1(x∈R）【答案】AC【解析】【分析】根据函数的定义域和特殊自变量的取值，结合所给的定义进行判断即可。【详解】即对任意定义域中的x，存在y，使得f（y）=f(x)-2；由于AC值域为R，故满足;对于B，当x=0时,函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为-1，故B不满足;对于D，当时，函数值为0，此时不存在自变量y，使得函数值为−2,故D不满足。故选：AC【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力，属于基础题.三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13.设m为实数，若函数在区间(−∞,2)上是单调减函数,则m的取值范围是_______________．【答案】m≤−4【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，根据题意得到不等式,解不等式即可求出m的取值范围.【详解】为开口向上的二次函数，对称轴为直线,要使得函数在（−∞，2)上递减，则，解得.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，属于基础题.14。把函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象为；再把上每一点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变），得到图象为，则对应的解析式为____________．【答案】【解析】【分析】根据正弦型函数的图象的变换规律直接写出解析式即可。【详解】因为函数图象上每一点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变），得到图象为，所以的解梦式为，再把上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）,得到图象为，所以的解析式为.。故答案为：【点睛】本题考查了正弦型函数图象变换规律，属于基础题。15.若，其中θ∈[0，π］，则的最大值为__．【答案】3【解析】【分析】利用平面向量的减法的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式，求出平方的表达式，最后根据同角的三角函数关系式化为关于正弦函数的二次函数，最后求出的最大值。【详解】所以因为，令，所以所以当t=1时，取最大值9,所以的最大值为3．【点睛】本题考查了平面向量的减法几何意义,考查了求向量模的最值问题，考查了同角的三角函数关系式,考查了二次函数的单调性的应用。16。已知函数，那么________；若存在实数a，使得,则a的个数是_______________．【答案】(1）。1（2）。4【解析】【分析】(1）直接代入求值即可；（2）运用换元法,结合函数的图象，分类讨论求出a的个数。【详解】（1）（2）令,即满足，①t=1,即a=±1时,经检验，均满足题意;②t<1，即−1〈a<1或a〉1时,，由，解得t=0或1（舍去）；再由解得a=0或2；③t〉1，即a<−1时,，由t=2−t，解得t=1（舍去）；综上所述：共有4个a．【点睛】本题考查了求函数值，考查了方程有解求实数个数问题，考查了分类讨论法、换元法.四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设t为实数，已知向量（1）若t=3，求和的值；（2）若向量与所成角为135°，求t值．【答案】(1）=5，；（2）t=2;【解析】分析】(1)根据平面向量运算的坐标表示结合平面向量模的公式直接求解即可；（2）求出与的坐标表示，根据夹角公式直接求解即可。【详解】(1）当t=3时，,,所以=5，;（2）,，,平方化简得：，解得经检验，当时，夹角为45°舍去，故t=2．【点睛】本题考查了平面向量的运算的坐标表示,考查了平面向量模的坐标公式,考查了平面向量夹角公式,考查了数学运算能力。18。设实数x满足sinx+cosx=c，其中c为常数．（1)当c=时,求的数值；（2)求值：（用含c的式子表示）．【答案】(1）;（2);【解析】【分析】(1）对已知的式子进行平方，利用完全平方和公式，最后求值即可;（2）利用诱导公式、立方差公式、平方差公式对所求式子进行恒等变形，再利用同角的三角函数关系式，求出所求式子的值.详解】(1）sinx+cosx=，平方得:1+2sinxcosx=2，所以sinxcosx=;；（2）由sinx+cosx=c，所以平方得：1+2sinxcosx=，sinxcosx=所以原式=。【点睛】本题考查了同角三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了完全平方和公式、立方差公式、平方差公式，考查了数学运算能力。19.设a为正实数．如图，一个水轮的半径为am，水轮圆心O距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动5圈．当水轮上的点P从水中浮现时（即图中点）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度h（m)表示为时间t(s）的函数;（2）点P第一次达到最高点需要多少时间．【答案】(1）（2)4s;【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，根据题意结合三角函数定义可以求出点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；（2）根据正弦型函数的单调性求出最大值即可。【详解】（1）如图，以水轮圆心O为原点,与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．当t=0时，点P的坐标为，角度为;根据水轮每分钟逆时针转动5圈，可知水轮转动的角速度为rad/s,所以t时刻，角度为；根据三角函数定义，可得⑵当时，,所以，解得t=4+12k，所以当k=0时，t=4，即第一次达到最高点时需要4s．【点睛】考查了数学阅读能力,考查了建模能力，考查了正弦型函数的最值，属于基础题。20.设向量，，其中．(1)若,求证：；（2）若，求证：．【答案】(1）证明见解析（2)证明见解析【解析】【分析】(1）根据平面向量花线定理可以直接证明出结论；(2）根据平面向量花线定理可以直接证明出结论；【详解】,，其中，所以不全为0，不妨设；（1）如果，则存在实数，使得,即，所以,则（2）反之，如果，因为,所以，令,则,所以．【点睛】本题考查了平面向量共线定理，属于基础题.21.（1)运用函数单调性定义，证明:函数在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）设a为实数，0<a〈1,若0〈x<y,试比较和的大小,并说明理由．【答案】（1)证明见解析；（2)〈【解析】【分析】(1）运用单调性的定义直接证明即可；（2）运用指数函数的单调性可以比较出两个式子的大小关系。【详解】(1)对任意的，且，因为，所以，即，所以函数在区间（0,+∞）上是单调减函数；（2）因为0〈a<1,所以在R上是单调减函数，因为0〈x〈y，所以0〈3x〈3y，0<4x+3y〈3x+4y，所以,且,所以<.【点睛】本题考查了利用函数单调性证明函数的单调性，考查了指数函数的应用，考查了不等式的应用.22。（1）已知函数，试判断函数的单调性，并说明理由；(2）已知函数。（i)判断的奇偶性，并说明理由;(ii）求证:对于任意的x，y∈R，且x≠±1,y≠±1，xy≠−1都有①。（3）由⑵可知满足①式的函数是存在的，如．问：满足①的函数是否存在无穷多个?说明理由．【答案】（1）（−∞,−1）和（—1,+∞）上单调递增，理由见解析；(2）（i）奇函数，理由见解析;（ii)证明见解析（3)存在无穷多个，理由见解析.【解析】【分析】(1）利用函数单调性的定义进行判断即可；（2）（i）利用奇偶函数的定义进行判断即可;（ii）利用对数的运算法则通过计算可以证明出结论；（3)通过取特例,结合（2），可以判断存在存在无穷多个.【详解】（1）对任意的，且,则，因为，所以，即，所以函数在区间（−∞，−1）上是单调递增，同理可得在区间（—1