中考复习因动点产生相似三角形

因动点产生的相似三角形问题例1如图1,在平面直角坐标系工中，顶点为M的抛物线y=aM+法(。>0)经过点A和x轴正半轴上的点8,A0=B0=2,乙4。8=120°.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连结。M,求NAOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且八48。与△AOM相似，求点C的坐标.图1思路点拨.第(2)题把求NAOM的大小，转化为求NBOM的大小..因为N8OM=NABO=30°,因此点C在点8的右侧时，恰好有NABC=NAOM..根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论AABC与△AOM相似.(1)如图2,过点A作AHLy轴，垂足为在RtZiAOH中，AO=2,NAO”=30°,所以AH=1,OH=>/3.所以A(-因为抛物线与x轴交于。、8(2,0)两点，设y=ax(x—2),代入点4(-1,回，可得a=乎.TOC\o"1-5"\h\z所以抛物线的表达式为)，=正/_2)=正/-3叵x.. 3 3 32)Fhy= r x= (x—1)- ,3 3 3 3得抛物线的顶点M的坐标为(1,一斗).所以tanZBOM=当.

所以N8OM=3(T.所以NAOM=150°.(3)由4(-1,我、8(2,0)、M(l,-得tanZA8O=且，AB=23,OM=3 3所以NA8O=30°,—=J3.OM因此当点C在点B右侧时，ZABC=ZAOM=150°.△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3,BC=丝=*=2.①如图3,BC=丝=*=2.此时C(4,0).当然筹3%BC=y/3BA=y/3x2^=6.此时C(8,0).考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标.如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形，ZABO=3Q°,因此△ABC也是底角为30。的等腰三角形，AB=AC,根据对称性，点。的坐标为（一4,0）.X图5X图5例2如图1,已知抛物线）,=」/一2（〃+1）工+2（〃是实数且b>2）与x轴的正

4 4 4半轴分别交于点A、8（点A位于点8是左侧），与），轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为，点。的坐标为（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形尸COB的面积等于24且△PBC是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、AQOA和△出8中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标：如果不存在，请说明理由.•>x•>x图1感珞点拨.第（2）题中，等腰直角三角形P8C喑示了点尸到两坐标轴的距离相等..联结。P,把四边形PCO8重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含〃的式子表示..第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点。最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.解答（1）8的坐标为（A0）,点C的坐标为（0,4（2）如图2,过点P作尸OL1•轴，PE_Ly轴，垂足分别为£＞、E,那么g△PEC.因此PD=PE.设点P的坐标为（x,X）.如图3,联结OP.所以S网边形pc・ob=S"co+Sk8o=—x—-x+—x/?x=—hx=2b.24 2 8解得.巴所以点P的坐标为解得.巴所以点P的坐标为（?必.（3）由了=!寸-，（〃+1）工+2=，（X一1）"—〃）,得A（l,0）,OA=1.4 4 44①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形。AQC,那么△OQC也△QQ4.当竺•="，即042=84。4时，△BQ—XQOR.所以昌2=人1.解得b=8±4#.所以符合题意的点。为（1,2+#）.4②如图5,以0C为直径的圆与直线4=1交于点。，那么。因此△OC0s40Q4.当竺■=0•时，XBQksXQOA.此时NOQB=90".所以C、。、8三点共线.因此吧=2，即2=丝.解得04=4.此时。（1,4）.COOAb1考点伸展第（3）题的思路是，A、。、。三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而NQOA与N0OC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样，先根据AQQA与△QOC相似把点。的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点8的位置.如图中，圆与直线x=l的另一个交点会不会是符合题意的点。呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与0B=40C矛盾.例3如图1，已知抛物线的方程Cl：,，=__L（x+2）（a■-加）与％轴交于点8、mC,与v轴交于点£,且点6在点。的左侧.9T（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点”，使得8H+E”最小，求出点”的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点忆使得以点8、C、尸为顶点的三角形与aBCE相似？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.图1

.第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当月落在线段EC上时，8/7+E”最小..第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作NCBF=NEBC=45°,或者作BF//EC.再用含机的式子表示点尸的坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于机的方程.满分解答TOC\o"1-5"\h\z(1)将M(2,2)代入y=-/(x+2)(x-w?)，得2=-^x4(2-〃7).解得rn=4.m ni（2）当加=4时，y=一！（工+2）（工一4）=一白/+」天+2.所以C（4,0）,E（0,2）.4 4 2所以S&bce=-BC-OE=—x6x2=6.2 2（3）如图2,抛物线的对称轴是直线4=1,当”落在线段EC上时，BH+EH最小.设对称轴与x轴的交点为尸，那么竺=竺.CPco因此与=（.解得〃p='.所以点”的坐标为（4）①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于凡过点尸作/轴于FL由于NBCE=NF8C,所以当££=竺_,即3c2=ce・8/时，ABCEsMBC.—(x+2)(x-/z?)得生 —(x+2)(x-/z?)得生 x+2设点F的坐标为（x,-L（x+2）（x-初），ni解得x=m+2.所以户Q〃+2,0).由普票得信T*,所以*』由8。2=。七・8/，得(m+2/=J/+4x("'+ +.m②如图4,作NC8尸=45°交抛物线于足过点尸作"」入轴于产，由于NEBC=NCBF,所以些=竺二gpBC2=BEBF^,/\BCE^/\BFC.BCBF在RtZXBFF中，由FF，=BF,得L（x+2）（x—m）=x+2.m解得％=2〃?.所以尸（2肛0）.所以BF=2，+2,8尸="（2m+2）.由BC2=BEBF,得（机+2）2=2jJx0（2〃?+2）.解得〃?=2±2五.综合①、②，符合题意的〃，为2+20.考点伸及第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点尸、尸的坐标后，根据两点间的距离公式求8尸的长.例4如图1,已知梯形QABC,抛物线分别过点O（0,0）、A（2,0）、B（6,3）.（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形QABC的上下底边所在的直线QA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点。】、A】、G、Bi,得到如图2的梯形设梯形的面积为S,4、为的坐标分别为（即，x）、（x2fV2）.用含S的代数式表示内一片，并求出当S=36时点4的坐标；（3）在图1中，设点。的坐标为（1,3）,动点尸从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段8c运动，动点。从点O出发，以与点P相同的速度沿着线段DW运动.P、0两点同时出发，当点。到这点M时，P、0两点同时停止运动.设尸、。两点的运动时间为，，是否存在某一时刻/，使得直线P。、直线AB、x轴围成的三角形与直线P。、直线AB、抛物线的对■称轴闱成的三角形相似？若存在，请求出/的值；若不存在，请说明理由.思路点拨.第（2）题用含S的代数式表示4一%］，我们反其道而行之，用内，X2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即以一山=3.通过代数变形就可以了..第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证..第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物

线的对称轴的夹角不变.变化的直线P。的斜率，因此假设直线P。与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在入轴的上方.满分解率（1）抛物线的对称轴为直线X=l，解析式为y= 顶点为M（l，8 4 8（2）梯形QASG的面积S=生二9二9=3（占+公）一6,由此得到23=yl>2于由1-3=yl>2于由1-42111-00=3.因此得到七一七72

T当5=36时，<尤+当5=36时，<尤+x.=14,- .解得4x2-xk=2.此时点4的坐标为（6,3）.K=8.（3）设直线与P。交于点G,直线A8与抛物线的对称轴交于点E,直线尸。与x轴交于点尸，那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角NG.在△GE。中，NGE。是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值.在△GAF中，NGAF是直线A8与x轴的夹角，也为定值，而且NGE0WNGAf.因此只存在NGQE=NGA/的可能，AGQE<^AGAF.这时NGAF=NG2E=NP。。.由于tanNGA尸=?,由于tanNGA尸=?,tanZPQD=卷=止7'所以?=止7.解得'=9.图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4,假如存在，说理过程相同，求得的/的值也是相同的.事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3.

例5如图I,抛物线经过点A(4,0卜B(1,0)、C(0,-2)三点.(1)求此抛物线的解析式；(2)P是抛物线上的一个动点，过P作尸M_L戈轴，垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△Q4C相似？若存在，请求出符合条件的点尸的坐标：若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线是有一点Z),使得△QCA的面枳最大，求出点。的坐标.图1图1恩路点拨.已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便..数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长..按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4•把△OCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于。人满分解冬(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点，设抛物线的解析式为)，=。(工一1)。一4),代入点。的坐标(0,-2),解得。=一』.所以抛物线的解析式为2y=一^(工-1)(1—4)=一1- •(2)设点P的坐标为(x--^(x-l)(x-4)).①如图2,当点尸在入轴上方时，1<a<4,PM=-j(x-l)(x-4),AM=4-x.,mAMAOc如果——=——,mAMAOc如果——=——=2,

PMCO--(x-l)(x-4)那么」 =2.解得x=5不合题意.,mAMAO1皿如果——=——=一，那么PMCO24-x-i(x-l)(x-4) =—・解得x=2.4-x 2此时点尸的坐标为(2,1).②如图3,当点P在点A的右侧时，％>4,PM=；(x-l)(x-4),AM=x-4.

—(x-1)(X-4)解方程2 =2,得X=5.此时点P的坐标为(5,—2).x-4-(x-l)(x-4)]解方程2 =—,得x=2不合题意.x-4 2③如图4,当点P在点8的左侧时，x<l,P/W=i(x-l)(x-4),AM=4-x.—(x-l)(x-4)解方程2 =2,得x=—3.此时点尸的坐标为(一3,—14).4-x-(x-l)(x-4)]解方程 =—,得x=0.此时点P与点。重合，不合题意.4-x 2综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).设点D的横坐标为m(1<rn<4),那么点D的坐标为一-nr+2加一2),点E的2坐标为(/«,—77?-2).所以DE=(--nr+—m-2)-(-m-2)=--nr+2m.2 2 2因此 /7?2+2m)x4=-m2+4/7?=-(in-2)2+4.22当〃?=2时，△OC4的面积最大，此时点。的坐标为(2,1).考点伸展第(3)题也可以这样解：如图6,过。点构造矩形OAMN,那么△OCA的面枳等于直角梯形CAMN的面枳减去ACDN和△AOM的面积.设点D的横坐标为(〃?，〃)(1<m<4),那么S=—(277+2)x4--〃?(〃+2)/?(4-m)=-in+2〃+4.2 2由于〃=-L“7。+*加一2,所以S=-m2+4机.2 2例61・曲物线y・a(N-1)(1-5)与x轴的交点为M、N.直线+6与x轴交于P(-2.0)•与y轴交于C.若A、8两点在直线y=+6上•且AO-BO-V2.AO±BO.D为线段MN的中点・OH为RtZ\OPC斜边上的高.<1)OH的长度等于▲ ■= ▲ ・6工 ▲ ,(2)是否存在实效使利粒物线ypaQ+D(i-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶点的三角形与AAOB相似？若不存在，说明理由：若存在•求所向符合条件的抛物线的解析式.同时探索所求得的抛物线上是否还标符合条件的E点(简要说明理由”并进一步探索对符合条件的诲一个E点.直线NE与直线A8的交点G是否总满足P8PGV10&•写出探索过程.感珞点拨.求等腰直角三角形。4B斜边上的高。从解直角三角形P。”求鼠〃的值..以。V为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a.当E在x轴上方时，NGNP=45°,APOB^APGN,把08-PG转化为PO・PN=14..当E在x轴下方时，通过估算得到P8・PG大于10点.满分解卷(1)OH=1,k=—,b=.3 3(2)由抛物线的解析式y=a(x+l)(x—5),得点M的坐标为(-1,0)，点N的坐标为(5,0).因此MN的中点。的坐标为(2,0),DN=3.因为AAOB是等腰直角三角形，如果ADNE与AAOB相似，那么ADNE也是等腰直角三角形.①如图2,如果ON为直角边，那么点上的坐标为(2,3)或任(2,-3).将反(2,3)代入y=