精选洛阳市2023-2023学年上学期尖子生第一次联考高三理科数学试题

洛阳市2023—2023学年上学期尖子生第一次联考高三理科数学试题第1页共12页洛阳市2023—2023学年上学期尖子生第一次联考高三试题数学〔理科〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合，，那么等于〔〕A． B． C． D．2.复数满足〔为虚数单位〕，那么为〔〕A． B． C． D．3.如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为〔图中阴影局部〕，随机往圆内投一个点，那么点落在区域内的概率是〔〕A． B． C． D．4.一个几何体的三视图如以以下图，那么该几何体的体积为〔〕A． B． C． D．5.设，，，那么〔〕A． B． C． D．6.图中的程序框图所描述的算法，假设输入，，那么输出的的值为〔〕A．0 B．11 C．22 D．887.在等比数列中，，是方程的根，那么的值为〔〕A． B． C． D．或8.点是锐角三角形的外心，假设〔，〕，那么〔〕A． B．C． D．9.设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，假设是双曲线上任一点到直线的距离，那么的值为〔〕A． B． C． D．无法确定10.球与棱长为4的正四面体的各棱相切，那么球的体积为〔〕A． B． C． D．11.函数，，那么以下说法正确的选项是〔〕A．函数是周期函数且最小正周期为 B．函数是奇函数C．函数在区间上的值域为D．函数在是增函数12.函数有三个不同的零点，，〔其中〕，那么的值为〔〕A． B． C． D．第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.，满足条件那么的取值范围是．14.随机变量，，假设，，那么．15.〔，为常数，〕的展开式中不含字母的项的系数和为243，那么函数，的最小值为．16.数列满足，其中，，假设对任意的恒成立，那么实数的取值范围是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.如图，在中，点在边上，，，．〔1〕求；〔2〕假设的面积是，求．18.如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，的如图2所示的几何体．

〔1〕求证：平面；〔2〕假设，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．19.随着移动互联的快速开展，基于互联的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．〔1〕由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2023年4月份〔即时〕的市场占有率；〔2〕为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购本钱分别为1000元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因〔如骑行频率等〕会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购本钱之外的其他本钱，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为，其中，．20.如图，点是抛物线：〔〕的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，斜率分别为，．〔1〕求抛物线的方程；〔2〕假设，点是抛物线在点，处切线的交点，记的面积为，证明为定值．21.函数，．〔1〕假设函数有三个不同的极值点，求的值；〔2〕假设存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．〔1〕求直线的普通方程；〔2〕设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．23.选修4-5：不等式选讲函数，，．〔1〕假设，求实数的取值范围；〔2〕假设存在实数，，使，求实数的取值范围．洛阳市2023—2023学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题〔理科〕答案一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：〔1〕在中，因为，，，由余弦定理得，所以，整理得，解得，所以，所以是等边三角形，所以．〔2〕由于是的外角，所以，因为的面积是，所以，所以，在中，，所以．在中，由正弦定理得，所以．18.〔1〕证明：因为平面平面，平面平面，又，所以平面，因为平面，所以，又因为折叠前后均有，，所以平面．〔2〕解：由〔1〕知平面，所以二面角的平面角为．又平面，平面，所以．依题意，因为，所以，设〔〕，那么，依题意，所以，即，解得，故，，．因为平面，过点作交于，那么平面，因为平面，所以，过点作于，连接，所以平面，因此，所以二面角的平面角为，由平面几何知识求得，，所以，所以，所以二面角的余弦值为．19.解：〔1〕由数据计算可得，，由公式计算可得，，所以月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为，当时，，故公司2023年4月份的市场占有率预计为．〔2〕由频率估计概率．每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，所以每辆款车可产生的利润期望值为〔元〕，由频率估计概率．每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，∴每辆款车可产生的利润期望值为〔元〕，∴，∴应该采购款单车．20.解：〔1〕设，由题知，所以，所以代入〔〕中得，即，所以抛物线的方程是．〔2〕过作轴平行线交于点，并设，，由〔1〕知，所以，又，所以，直线：，直线：，解得因直线方程为，将代入得，所以．21.解：〔1〕，令，那么方程有三个不同的根，又，令，得或，且在区间，递增，在区间递减，故问题等价于即有解得．〔2〕不等式，即，即，转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．设，那么，设，那么，因为，有，故在区间上是减函数，又，，，故存在，使得，当时，有，当时，有，从而在区间上递增，在区间上递减．又，，，，，，所以当时，恒有；当时，恒有．故使命题成立的正整数的最大值为5．22.解：〔1〕因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．〔2〕设椭圆的内接矩形在第