函数与方程三年高考荟萃

第二知识块基本初等函数函数与方程三年高考荟萃考点点击1.结合函数的图像，判断方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系。函数的零点问题放到方程中则是解决方程根的问题，方程根的问题放到函数中，用函数的观点来考虑这个问题时，就是函数的零点问题。2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.3．能够结合导数，判断根的大致范围考纲导读1、了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2、理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。学习重点难点函数与方程的相互转化命题趋势函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解和函数有零点的判断也一定会是高考的考点。预计2022年高考对本节的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考查函数与方程的关系为目标来考查学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考查函数方程的思想。高考真题答案与解析2022年高考题一、选择题1.（2022上海文）17.若是方程式的解，则属于区间（）（A）（0，1）.（B）（1，）.（C）（，）（D）（，2）答案D【解析】知属于区间（，2）2.（2022湖南文）3.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A.B.C.D.答案A3.（2022陕西文）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 （A）y＝[] （B）y＝[] （C）y＝[] （D）y＝[]答案B解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设，，所以选B3.（2022浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+的一个零点.若∈（1，），∈（，+），则（A）f()＜0，f()＜0（B）f()＜0，f()＞0（C）f()＞0，f()＜0（D）f()＞0，f()＞0解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题4.（2022山东文）（11）函数的图像大致是答案A5.（2022山东文）（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A）13万件(B)11万件(C)9万件(D)7万件答案C6.（2022山东文）（5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3（B）-1（C）1(D)3答案A7.（2022四川理）（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－于是－＝1m＝－答案A8.（2022四川理）（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A）（B）（C）（D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案D9.（2022天津文）（10）设函数，则的值域是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。依题意知，10.（2022天津文）（4）函数f（x）=(A)（-2,-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f（0）=-1<0f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。11.（2022天津理）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。12.（2022天津理）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。13.（2022福建文）7．函数的零点个数为()A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。14.（2022湖北文）3.已知函数，则 B. D-【答案】B【解析】根据分段函数可得，则，所以B正确.二、填空题1.（2022上海文）14.将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则。【答案】【解析】B所以BO⊥AC，=所以2.（2022湖南文）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用法安排试验，则第一次试点的加入量可以是g【答案】或【解析】根据法，第一次试点加入量为110＋（210－110）＝或210－（210－110）＝【命题意图】本题考察优选法的法，属容易题。3.（2022陕西文）13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝.答案2【解析】f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=24.（2022重庆理）（15）已知函数满足：，，则=_____________.解析：取x=1y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)联立得f(n+2)=—f(n-1)所以T=6故=f(0)=5.（2022天津文）（16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________【答案】m<-1【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。已知f（x）为增函数且m≠0若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。6.（2022浙江文）（16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x的最小值。答案207.（2022天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解8.（2022广东文数）9.（2022江苏卷）11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_____。【解析】考查分段函数的单调性。三、解答题1.（2022福建文）21．(本小题满分12分)某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。2.（2022湖北文）19.（本小题满分12分）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取=）2022年高考题 1.（2022福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是A.B.C.D.答案A解析的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，只有的零点适合，故选A。2.(2022山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.答案解析设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答3.(2022山东卷理)（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。ABCx解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,ABCx其中当时，y=,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,,令得,所以,即,当时,,即所以函数为单调减函数,当时,,即所以函数为单调增函数.所以当时,即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.解法二:（1）同上.（2）设,则,,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.设0<m1<m2<160,则,因为0<m1<m2<160,所以4>4×240×2409m1m2<9×160所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则因为1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240,9m1m2>9×所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.5.(2022湖南卷理)（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解（Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；当时，>0.在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。6.（2022年上海卷理）有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1）证明当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。证明（1）当而当，函数单调递增，且>0……..3分故单调递减当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分（2）由题意可知+15ln=……………….9分整理得解得…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分7.（2022上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f(x)总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.证明（1）当时，而当时，函数单调递增，且故函数单调递减当时，掌握程度的增长量总是下降(2)有题意可知整理得解得…….13分由此可知，该学科是乙学科……………..14分2022年高考题1.（2022年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （）sstOA．stOstOstOB．C．D．答案A2.（2022年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （）答案D3.（2022年江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一