2021-2022高三摸底测试数学知识全覆盖黄金8套仿真模拟（5）-备战2022年新高考全真数学模拟试卷（适用新高考地区）解析版

高考模拟试卷系列新高考2021-2022学年度高三摸底测试数学仿真模拟（5）时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数有意义，求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得或，所以集合或，根据集合补集的概念及运算，可得.故选：D.2．复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在复平面对应的点为（2,1），复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则，在根据复数的运算法则可得解.【详解】∵，且复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴．则．∴的虚部为．故选：C【点睛】注意的虚部为，在复平面对应的点为.3．已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（）．A．8 B． C．16 D．【答案】A【分析】由，，成等差数列可得，即，然后解出即可.【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以所以，即，解得或因为，所以，所以故选：A【点睛】本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，较简单.4．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点为Q，可得即为所求异面直线所成的角，求出各边长，利用余弦定理即可求出.【详解】如图，不妨设.取的中点为Q，连接，则且，故四边形为平行四边形，∴，∴即为所求异面直线所成的角.在中，，，则.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，可知，进而可得出，利用正态密度曲线的对称性可求得结果.【详解】设，，则，.故选：B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，考查正态密度曲线对称性的应用，属于基础题.6．设非零向量，的夹角为.若，且，则等于（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值.【详解】解：∵非零向量，的夹角为θ，若，且，∴，解得，∴θ=60°，故选：B.点睛：向量、垂直、夹角7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里【答案】A【分析】先确定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可直接求解.【详解】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.8．已知函数，则下列能正确表示函数（粗线）及导函数（细线）图象的是A． B．C． D．【答案】A【分析】根据的奇偶性，以及的大小，即可判断.【详解】，故可得，又，所以是偶函数，故排除；因为，故排除；，故排除；只有满足所有条件.故选：A.【点睛】本题考查原函数与导函数的图像，涉及导函数的求解，属综合基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．经过点的抛物线的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，分别代入点P的坐标，计算可得选项．【详解】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.故选：AC．【点睛】本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．10．下列各式正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，可判断A正确；根据反例可判定B不正确；根据对数运算性质和对数函数的单调性，可判定C正确；根据正弦函数的单调性，可判定D正确.【详解】对于A中，由，根据指数函数的单调性，可得，又由，根据幂函数的单调性，可得，所以，所以A正确；对于B中，当时，可得，所以B不正确；对于C中，由，可得，又由，所以，所以C正确；对于D中，由，根据正弦函数在上为单调递增函数，可得，所以，所以D正确.故选：ACD.11．已知函数，下列结论不正确的是（）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数f(x)的最小值为－2【答案】BCD【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【详解】解：由题意可得：，函数图象如下所示故对称轴为，，故A正确；显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；当，时函数取得最小值，故D错误；要使，则，则或，或，所以或，，故C错误．故选：BCD．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．12．已知函数，若在曲线的图象上存在四个点构成正方形，且该正方形的面积为，则下列说法中正确的是（）A．当取得最大值时，取得最小值，且的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．当取得最小值时，设，则有三个零点且各零点处切线斜率的倒数之和为【答案】BC【分析】利用函数图象与性质一一判断即可得出结果.【详解】曲线的图象上存在四个点构成正方形，设为ABCD，且该正方形的面积为则的图象关于对称，不妨设设，因为又，当且仅当时取等号当且仅当时取等号，当取最大值时，取不到最小，则A错误，B正确；因为，当且仅当时取等号故C正确；或，所以有三个零点，不妨设，各零点处切线斜率的倒数之和为0，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线的左､右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.【答案】3【分析】求出的坐标后可求三角形的面积.【详解】因为，，故直线的方程为，代入，整理得，解得或，故，故.故答案为：3.14．的展开式中，的系数是_________.【答案】【分析】因为，所以本题即求展开式中含的项的系数，求出通项公式解出，带入计算可求出系数.【详解】解：，通项公式为：，令，解得：，此时系数为.故答案为：.15．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为__________.点睛：球与棱柱相切【答案】【分析】设正三棱柱下底面和上底面的中心分别为，则的中点为球心，取棱中点，则为棱与球的切点，为球半径，而到棱的距离等于，这样利用勾股定理可求得半径，从而得体积．【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，由正三角形性质知，与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，球体积为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求球的体积，解题关键是利用对称性确定球心位置求得球的半径．从而求得球的体积．利用对称性知正三棱柱上下底面中心连线的中点为球心，而各棱与球相切的切点为各棱中点．从而易求得结论．16．函数在上不单调，则实数a的取值范围是_____．【答案】【分析】求得函数的导函数，根据在区间上有极值，求得的取值范围.【详解】，令得，由于，分离常数得.构造函数，，所以在上递减，在上递增，.下证：构造函数，，当时，①，而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.由于，所以当时，，故，也即.由于，所以.所以的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，，点在边上，___________，求的长.请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分).【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，化简可得；（2）若选①由余弦定理可求的值，在，中，分别用余弦定理，结合，可求得的值；若选②，由，利用三角形的面积公式即可求解的值；若选③，由余弦定理可求得的值，利用三角形的面积公式可得，进而可得的值.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得.因为为锐角三角形，所以，所以.所以.又因为，所以.（2）若选①.在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，即.又，所以.所以，所以.若选②.在中，，即，即，解得.若选③.在中，由余弦定理，得，所以.因为，又，所以，解得.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△中，，，分别为内角，，的对边，，，___________，求角及△的面积.【答案】选择见解析；，.【分析】选择条件①由正弦定理可得，求出角C,利用面积公式求解；选择条件②由二倍角的余弦公式化简即可求解，三角形面积解法同①；选择条件③由正弦定理及余弦定理可求出，三角形面积解法同①.【详解】选①，因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以或.若，由，而，，从而，矛盾，舍去.故，接下来求△的面积.法一：设△外接圆的半径为，则由正弦定理得，，，，.法二：由（1）得，即，，，，，或，当时，又，，，由正弦定理得，，当时，同理可得，故△的面积为.选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为，所以.以下同解法同①，选③，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，，，以下解法同①.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.19．医学研究表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命存续期一般不会超过三天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势，这就是大家所说的“黄金72小时”．某煤矿由于开采不当发生了矿难，发现有3个矿工被困井下．其中2个人在“黄金72小时”被营救的概率均为，另外1个人在“黄金72小时”被营救的概率为．设每个人是否被营救成功相互独立．（1）求在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率；（2）由于发生了生产安全事故，政府将对该企业罚款100万，另外，假设每个矿工在“黄金72小时”内获得营救需要赔偿10万元，否则需赔偿80万元，求该企业由于此次事故造成钱财损失的期望（精确到0.1）【答案】（1）；（2）223.3万元．【分析】（1）法一：正面考虑，分别求得在“黄金72小时”内有2个矿工营救成功的概率为和在“黄金72小时”内有3个矿工营救成功的概率，求和即可；法二：反面考虑，在“黄金72小时”内有1个矿工营救成功的概率为在“黄金72小时”内所有矿工均未营救成功的概率为，则即为解；（2）设钱财损失为随机变量，，分别求得对应数据的概率，，，，，再求期望即可得解.【详解】（1）法一：在“黄金72小时”内有2个矿工营救成功的概率：在“黄金72小时”内有3个矿工营救成功的概率：在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率：．法二：在“黄金72小时”内有1个矿工营救成功的概率：在“黄金72小时”内所有矿工均未营救成功的概率：在“黄金72小时”内至少有2个矿工营救成功的概率：（2）设钱财损失为随机变量，3个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，3个矿工中有1个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，3个矿工中有2个矿工在“黄金72小时”内获得营救的概率：，3个矿工全部在“黄金72小时”内获得营救的概率：该企业由于矿难发生钱财损失的期望223.3万元．20．如图，在四棱中，，，，平面平面ABCD.（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30°？证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析.【分析】（1）由平面平面ABCD得出平面PBD，进而得到，再通过得出，进一步得到平面ABCD，由此证得.（2）以D为坐标原点，分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由二面角的余弦值为得到，设，其中，由BM与平面PAC所成的角为可以得到，即存在这样的点M满足题意.【详解】（1）因为，，所以四边形ABCD是平行四边形，且.因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PBD，所以.因为，所以.所以，即.又因为，所以平面ABCD.因为平面ABCD，所以.（2）设.以D为坐标原点，分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，，，，.所以，，.设平面PAC的一个法向量为由，得，即.取，得，，即.取为平面ACD的一个法向量.则.因为二面角的余弦值为.所以，解得，所以.假设这样的点M存在，设，其中.由，得.则.设BM与平面PAC所成的角为，则.因为，所以，解得.所以，存在这样的点M，即当时，BM与平面PAC所成的角为.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问关键点在于由二面角的余弦值为得到.21．已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，且抛物线经过点，是坐标原点.（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值.【答案】（1）椭圆；抛物线；（2）.【分析】（1）将代入抛物线可求得，得到抛物线方程；由抛物线方程得，结合离心率和椭圆之间关系可求得椭圆方程；（2）根据内切圆圆心特点可确定平分，得到斜率之和为，由此可构造方程得到，进而求得；将与抛物线和椭圆方程联立可求得范围，并得到韦达定理的形式；利用弦长公式和点到直线距离公式表示出和到距离，将所求面积表示为关于的函数，由函数最值的求解方法可求