2020届高三数学(理)复习题模块四立体几何与空间向量限时集训(十三)Word版含答案

基础过关1.如图X13-1所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形,点O为AC的中点,平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明:A1O⊥平面ABC;(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.图X13-12.在如图X13-2所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠BCD=60°.(1)证明:BD⊥平面ACDE;(2)求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值.图X13-23.如图X13-3所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1⊥平面ABCD,M为棱DD1的中点,N为棱AD的中点,Q为棱BB1的中点.(1)证明:平面MNQ∥平面C1BD;(2)若AA1=2AB,棱A1B1上有一点P,且=λ(λ∈(0,1)),使得二面角P-MN-Q的余弦值为,求λ的值.图X13-34.如图X13-4①所示,四边形ABCD是一个直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,E为BC上一点,AE,BD订交于点O,AD=EC=3,BE=1,AB=.将△ABE沿AE折起,使平面ABE⊥平面ADCE,获得如图X13-4②所示的四棱锥B-AECD.(1)求证:CD⊥平面BOD;(2)求直线AB与平面BCD所成角的正弦值.①②图X13-45.如图X13-5所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=60°,EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,EB=2FD=a.(1)求证:EF⊥AC;(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值.图X13-56.如图X13-6①所示,在等腰直角三角形S'AB中,S'A=AB=4,S'A⊥AB,C,D分别为S'B,S'A的中点,将△S'CD沿CD翻折到△SCD的地点,使平面SDC⊥平面ABCD,如图X13-6②,SA=2,E为线段SB的中点.(1)求证:CE∥平面SAD;(2)求二面角A-EC-B的余弦值.①②图X13-6能力提高7.如图X13-7所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=AC=2,AD=2,PB=3,PB⊥AC.(1)求证:平面PAB⊥平面PAC.(2)若∠PBA=45°,试判断棱PA上能否存在与点P,A不重合的点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明原因.图X13-78.如图X13-8所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=BC=PA=1,AD=2,PAD=∠DAB=∠ABC=90°,点E在棱PC上,且CE=λCP(0<λ<1).(1)求证:CD⊥AE.(2)能否存在实数λ,使得二面角C-AE-D的余弦值为?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明原因.图X13-8限时集训(十三)基础过关1.解:(1)证明:∵AA1=A1C,且O为AC的中点,∴A1O⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,且A1O?平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC.所在直线分别为x,y,z轴成立空间直角坐标系,(2)如图,连结OB,以O为原点,OB,OC,OA1则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,),∴=(,1,0),=(,0,-),=(0,2,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=0,z=1,∴n=(1,0,1).设直线AB与平面A1BC1所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|===,故直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值为.2.解:(1)证明:在△BCD中,由余弦定理得BD2=22+12-2×1×2cos60°=3,因此BC2=BD2+DC2,因此BD⊥CD.又AC⊥平面BCD,因此AC⊥BD.由于AC∩CD=C,因此BD⊥平面ACDE.(2)易知DB,DC,DE两两垂直,因此以D为原点,DB,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,成立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,可得D(0,0,0),B(,0,0),C(0,1,0),E(0,0,2),A(0,1,4),则=(-,1,4),=(0,1,2).设n=(x,y,z)是平面BAE的法向量,则令z=,得n=(2,-2,).易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面BCD与平面BAE所成二面角的平面角为θ,则|cosθ|==,进而sinθ=.3.解:(1)证明:∵M,Q分别为棱DD1,BB1的中点

,∴MDBQ,∴四边形MQBD为平行四边形,∴MQ∥BD,又BD?平面C1BD,∴MQ∥平面C1BD.的中点,∴MN∥AD1,连结AD1,∵N为棱AD的中点,M为棱DD1又AD1∥BC1,∴MN∥BC1.∵BC1?平面C1BD,∴MN∥平面C1BD.又MN∩MQ=M,∴平面MQN∥平面C1BD.(2)由题意知DA,DC,DD1两两垂直,以D为原点,,,所在的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如下图的空间直角坐标系,设AB=1,则A(1,0,0),N,M(0,0,1),Q(1,1,1),A1(1,0,2),B1(1,1,2),∴=(0,1,0),=,=(1,1,0).设P(x,y,z),则由=λ,得∴P(1,λ,2),∴=(1,λ,1).设平面PMN的法向量为m=(a1,b1,c1),则即令c1=1,则a1=2,b1=,∴m=.设平面MNQ的法向量为n=(a2,b2,c2),则即令c2=1,则a2=2,b2=-2,∴n=(2,-2,1),由题知==2,即64λ-252λ+153=0,解得λ=或(与0<λ<1矛盾,舍去),故λ=.4.解:(1)证明:在Rt△AEB中,由于BE=1,AB=,因此∠BAE=30°,同理∠BDA=30°,因此∠AOD=90°,即AE⊥BD.由于AD∥EC,AD=EC,因此四边形ADCE是平行四边形,因此∠CDO=∠AOD=90°,因此CD⊥DO.由于平面ABE⊥平面ADCE,平面ABE∩平面ADCE=AE,BO⊥AE,BO?平面ABE,因此BO⊥平面ADCE,又CD?平面ADCE,因此BO⊥CD.由于BO∩DO=O,BO?平面BOD,DO?平面BOD,因此CD⊥平面BOD.(2)由(1)可知,直线OA,OB,OD

两两垂直

,以

O为原点

,OA,OD,OB

所在直线分别为

x,y,z轴成立空间直角坐标系O-xyz,如下图

,则A,B0,0,,C,D,因此=,=0,,-,=(2,0,0).设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),则令b=1,则a=0,c=3,因此n=(0,1,3).设直线AB与平面BCD所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==,因此直线AB与平面BCD所成角的正弦值为.5.解:(1)证明:连结BD.由于四边形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.由于FD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,因此AC⊥FD.又BD∩FD=D,因此AC⊥平面BDF.由于EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,因此EB∥FD,因此B,D,F,E四点共面,又EF?平面BDFE,因此EF⊥AC.(2)如图,取AB的中点Q,连结DQ.由于四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,因此△ABD是正三角形.又Q为AB的中点,因此DQ⊥AB,因此DQ⊥DC,则DQ,DC,DF两两垂直,以D为坐标原点,分别以,,所在的方向为x,y,z轴的正方向,成立空间直角坐标系D-xyz.易得A,B,F,C(0,a,0),Ea,a,a,因此=(0,a,0),=-a,a,a.设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=0,z=1,因此n=(1,0,1).又=,因此|cos<n,>|==,因此直线CE与平面ABF所成角的正弦值为.6.解:(1)证明:取SA的中点F,连结DF,EF,SE=EB,SF=FA,∴EFAB,又CDAB,∴CDEF,∴四边形CDFE为平行四边形,∴CE∥FD.CE?平面SAD,FD?平面SAD,∴CE∥平面SAD.(2)∵平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,SD⊥CD,SD?平面SCD,∴SD⊥平面ABCD,又AD,CD?平面ABCD,∴SD⊥AD,SD⊥CD.又∵AD⊥DC,DA,DC,DS两两垂直.如下图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴成立空间直角坐标系D-xyz,由题易知DA=DC=DS=2,则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,4,0),E(1,2,1),∴=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0).设平面ECA,平面ECB的法向量分别为=(xm111222则即令x1=1,则y1=1,z1=-1,∴m=(1,1,-1),即令x2=1,则y2=-1,z2=-1,∴n=(1,-1,-1),∴cos<m,n>===.由图易知,二面角A-EC-B的平面角为钝角,∴二面角A-EC-B的余弦值为-.能力提高7.解:(1)证明:由于四边形ABCD是平行四边形,AD=2,因此BC=AD=2,又AB=AC=2,因此AB2+AC2=BC2,因此AC⊥AB.由于PB⊥AC,AB∩PB=B,因此AC⊥平面PAB,又AC?平面PAC,因此平面PAB⊥平面PAC.(2)由(1)知AC⊥AB,AC⊥平面PAB,如图,以A为原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴,平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴,成立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),因此=(0,2,0),=(-2,2,0),由∠PBA=45°,PB=3,BA=2,可得P(-1,0,3),因此=(-1,0,3),=(-3,0,3).假定棱PA上存在点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为,设此时=λ(0<λ<1),则=λ=(-λ,0,3λ),=-=(-λ,-2,3λ).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=1,y=1,因此n=(1,1,1).设直线CE与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,>|===,22无解,整理得3λ+4λ=0,由于0<λ<1,因此3λ+4λ=0因此棱PA上不存在与点P,A不重合的点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.8.解:(1)证明:过点C作CF∥AB交AD于点F,AB=BC=1,AD=2,∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABCF为正方形,且AF=FD=1,AC=.在Rt△CFD中,CD=,在△ACD中,CD2+AC2=4=AD2,∴CD⊥AC.∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA?平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵PA,AC?平面PAC,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由题知,PA,AB,AD两两垂直,x,y,z轴成立空间直角坐标系,如下图,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),∴=(-1,1,0),=(0,2,0).假定存在实数λ(0<λ<1),使得二面角C-AE-D的