高中数学一轮复习基础知识手册第十编：数列

第十编数列1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式、递推公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2.等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念.(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.知识能力解读(一)数列Nn的函数.可按研究函数的一般顺序——定义、表示方法、性质对数列进行研究.数列是指按照一定顺序排列的一列数.在函数意义下，数列是某一定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,...,n})的函数，其图象是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式12nnnn(1)a}与a的意义不同.a}表示数列a,a,...,a,...，而a表示的是这个数列的第n项.nnn12nn(2)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个项在数列中的位置，它是自变量的值. (3)在数列的定义中，只强调有顺序，而不强调有规律.数列中的每一项都和它的序号有关，因此给定一个数列，只要指明序号，对应的项就是确定的.2数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)解析法.3数列的通项公式Nn一个数是否为数列的项以及是第几项.n为a}中的第n项；若解出的nN*，则m不是a}中的项.nn式在形式上不唯一.4数列的分类(1)有穷数列、无穷数列按数列的项数是有限还是无限分为有穷数列和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限的，它就是有穷数列. (2)单调数列、摆动数列、常数列递增数列和递减数列，称之为单调数列.5数列的递推公式(1)递推公式如果已知数列a}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a与它的nn前一项a1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的ndd递推公式.(2)通项公式与递推公式的异同点不同不同点可根据某项的序号n的值，直接代入求出项an可根据第一项(或前几项)通过一次(或多需的项an相同点都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项通项公式递推公式注意：并不是所有的数列都有通项公式，也并不是所有的数列都有递推公式.nnnnnnlSn-Sn-1(n>2).nnnnnnlSn-Sn-1(n>2).7等差数列(1)等差数列的定义n+1nn+2n+1n+1n个常数，此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起，是一个等差数列.数列.因为差是常数，但却不一定是同一个常数.公差d可以为正数、负数或零.当d=0时，数列为常数列.n1nma=a+(n-1)d可整理为a=dn+(a-d).如果d=0，那么a是常数函数；如果d丰0，那么a是关于n的一次函数，它的图象是直线y=那么a是关于n的一次函数，它的图象是直线y=dx+(a-d)上的一群孤立的点.n1(3)等差数列的增减性(3)等差数列的增减性nnn (4)等差数列的求和公式(由倒序相加法推得)n2n12n12n2(12)2n12n2(12)2nnnnn.n一群孤立的点.点评 (1)由上面得到的数列S,S,S,...,S,...不是原等差数列{a}.(2)由二次函数的性质可dSdS(3)数列{a}为等差数nnnnBnn (5)等差中项个数的等差中项就是这两个数的算术平均数.在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项(5)等比中项的等差中项.比数列(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q士0)，等比数等比数列的公比q是一个与n无关的常数，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零. (2)等比数列的通项公式a=aqn_1(n=N*)，a=aqn_m(m,n=N*).由于a=aqn_1可以整理为a=a1.qn，因此等n1nmn1nq比数列{a}，即〈(a1.qn)卜中的各项所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限.当q>0nlqJqq(3)等比数列的增减性naG等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同.一个等比数列从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.(二)等差数列、等比数列的性质1等差数列的性质 (1)有穷等差数列{a}中，与首末两项距离相等的两项的和相等，并且等于首末两项之和.n间项的2倍，即a+a=a+a=a+a=...=2a1n2n_13n_2中.中 mnpkmnpknmnp.mnp.使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边作和的项数应是一样多的. (3)在等差数列{a}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍nkkk 等差数列中依次每k项之和构成的新数列仍然是等差数列，即S,S_S,S_S,...k2kk3k2k仍为等差数列. (5)若数列{a}与{b}均为等差数列，则{ma+kb}仍为等差数列，其中m,k均为常数.bnn11nn其中k为等差数列的公差，它可以是任意实数. n另外，等差数列中还有以下性质需注意：①等差数列{a}中，若a=m,a=n(m丰n)则a=0.nnmm+n④若{a}与{b}均为等差数列，且前n项和分别为S与T，则am=S2m_1.nnnnbT⑤项数为偶数2n的等差数列{a}，有m2m_12n12nnn+1nn+1偶奇Sa项数为奇数(2n_1的数列{a}，有2n_1nn奇偶n奇=偶S、S分别为数列所有奇数项的和与所有偶数项的和.偶2等比数列的性质q1111常数列；公比q想0，数列为摆动数列.等比数列公比不等于零是一大特点. (2)在有穷等比数列{a}中，与首末两项等距离的两项的积相等，并且等于首末两项之积.n特别地，若项数为奇数，则其还等于中间项的平方，即a1.an=a2.an_1=a3.an_2=...=a. 积的项数是一样多的. (4)在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.剩下的项按原顺序排列构成的数列不一定是等比数列.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂.aa)，{a}皆为等比数列，公比分别为q和q.nnnq为公比的等比数列{a}，〈(1)卜仍为等比数列，公比为1，{a2}也是等比数列，公比为q2.nlanJqn (6)等比数列中依次每k项之积构成的新数列仍然是等比数列.nnnnlbnJ零的常数.q(9)等比数列{a}的前nn1_q1_q1_qnn1_q3等差数列与等比数列的相互关系 (2){a}是正项等比数列一{loga}是等差数列(其中c>0且c丰1).ncn注意(三)判定方法1等差数列的判定方法有以下几种 (1)定义法:a_a=d(d为常数，n=N*)一{a}是等差数列. (2)通项公式：=pn+q(p,q为常数，n=N*n)一{a}是等差数列. (3)中项公式法:2an=a+a(n=N*)一{a}列. (4)前n项和公式+Bn(A,B为常，n=N*)一{a}是等差数列.nn2等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：an+1=q(q是不为0的常数，n=N*)一{a}是等比数列.an(2)通项公式法n:a=cqn(c,q均是不为0的常数n=N*)一{a}是等比数列.nqqq_1n是等比数列.注意 (1)只能用定义法来严格证明这两类特殊数列，其余三种方法一般在填空题、选择题中使用.(2)证明数列不是这两类特殊数列，只要举反例即可.解题方法荟萃数学思想方法(一)函数与方程思想(二)分类讨论思想1对n的奇偶性进行讨论2对公比q的讨论(三)构造法Ⅱ.解题规律技巧(一)等差数列的性质在解题中的应用(二)等比数列的性质在解题中的应用高考命题研究数列的概念、性质、通项公式及求和公式等，对基本的计算能力要求比较高.解答题是以考查数列的通项与求和为主，涉及函数、方程、不等式知识的综合运用，在解题过程中通常用目.(一)有关等差、等比数列基本量的运算(二)等差、等比数列的综合熟练地应用等差、等比数列的性质，并结合数列求和的常用方法，有时也其他章节内容.nnan为零的常数).(四)求数列的通项公式而有了数列的通项公式便可求出其任意一项以及前n项和等.看来，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.1求递推数列的通项公式的方法对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换而转化成等差数列或等比数列问题. (1)递推式为a=a+d及a=qa(d、q为常数，其中q士0) (2)递推式为an+1=an+f(n)n+1nn+1n (3)递推式为a=pa+q(p、q为常数，其中p士0)n+1n (4)递推式为a=pa+mqn(n,p,q为常数，其中m,p士0)n+1n (5)递推式为a=pa+qan+2n+1nn+2n+1n+1nn+2n+1n可得〈求出a,b，此时{an+1一aan}是公比为b的等比数列. (6)递推式a=f(n)a(n仁N*)n+1n己知数{a的前n项和S的公式，求{a}的通项公式，nnn(五)数列求和在试题中经常出现，它常用来考查我们对基础知识的掌握程度和分析问题、解决问题的能力.1n前n项和都是从第1项一直加到第n项.数列的求和主要有以下几种求解方法.直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和、立方和公式等求和的方法.2倒序相加法在一个数列{a}中，如果与首末两项等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这n个数列的前n项和可用倒序相加法.错位相减法使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.由于数列{a}中每一项n样多的，切不可漏写未被消去的项.列、等比数列或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可.附录常用公式定理常用公式及结论(1)等差数列等比数列a定义a一a=dn+1=qn+1n