初试电路分析基础

、电容二三、电容电感的串联与并动态电路方程及其一、电路方二、微分方程的经典电路的初始一、换路定二、初始值的求

一阶电路的三要素一、三要素 一阶电路的阶跃响二、阶跃响二阶电路分正弦激励下一阶电路的响点 ，进 关章

第3-1 前一 下一 电能的元件,它是实际电容 f(u，q)=0则称该元件为电容元件，简称电容

uC-第3-2 电容也分：时变 的，线性的和非线性的线性时不变电容的外特性 特性)是q~u平面上 直线，(t) 其中C就是电容元件的值，单位为：[拉](F)。对于线性时不变电容，C为正实常数

C 当电容两端的电压变化时 在电容上的电荷也相应发生变化，这表连接电容的导线上就有电荷移动，即有电流流过；若电容上电压不变化电荷也不变化，即电流为零。这与电阻不同若电容上电压与电流参考方向关联，如 i=dq/dt，q=Cu(t)，有 dui(t)C

uC-

d 第3-3 tt

u(t)C

i()du(t)

t0i()d

ti()du(t0)

i()d ,ttt1 t1式 u

)

t0i()d

u与u(t)1Ctu(tu(t)1Ctu(t)01Ct,t0(initialstate)，它包含了在0以前电流的“全部历史”信息 若电容电压、电流的参考方向非关联，如右图 示。电容VAR表达式可改ii(t)Cdd第3-4 wCwC(t)1Cu2(t2当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功 p(t)u()i(t)Cu(t)du(t)在吸收能量，处于充电状态p(t0时，说明电容是在释放能量，处于放电状态。放的能量总也会超过吸收的能量。 u(t对上式从-∞到t进行积分，即得t时刻电 u(twC(t)p()du()Cu()du( 1Cu2(t)1Cu2( 于是，电容在时刻t的储能可简化为：关，且储能≥0第3-5 4、举

解：写出uS(t)的表达 0 t

1uS(t)

t 0t

(t2) 1t

0 t

0 t

2 2

du

2 0t

2i(t)

2 1t

p(t)uS(t)i(t)

0 t0 t 0t

1

t

t 0t

12(t2) 1t2swC(t) Cu2(t)

1t 0 t

t

2第3-6 ①若u()=0，求 电压

4为 0 t

48 0t1 i(t)0

1t3 4 3t4 0 t根据电容VAR得

001t18d

,t,0t

u(t)u(0)1

ti()d

8d

210du(1)0

,1t w(2)1Cu2(2)2u(3)234d4w(2)1Cu2(2)2

,3t u(4)240du(4)

t第3-7 元件的伏安关系是代数关系，电阻是一个即时（瞬时）元件为直流电压时，则电流i=0，此时电容相当于开路，故电容有隔直流具有“”电流的作用，故电容是一个元件，而电阻是无元第3-8 Ψ时，将产生磁通Φ(t)，其中有磁场能量。绕，且有N匝，则磁链Ψ(t)=NΦ(t)。

u(t)

Φ(t)Ψ(流i(t)之间的关系能用Ψ~i平面上的曲线表征，即具 f(Ψ，i)=0第3-9

线性时不变 特性)是Ψ~i平面上一条过原点的直线且其斜率L不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写ΨΨ(t) (2、电感的VAR(或

L 拉第电磁感应定律，感应电压u(t)与磁链的变化率成正比，即

d u(t)Ldd

u(t) di(t) Ψ(t)u(t)(b)第3-10 tti(t)L

t0u()d

u()di(t0)

1u()d ,tt1

u与式i(

)

联t0u()d联ii(t)1Ltu()di(t)1tL)i(t)01Lt,t0称为电感电流在t时刻的初始值 u或0以前电压的“全部历史”信息。一般取0=0u若电感电压、电流的参考方向非关联，如右图 uu(t)Ldd第3-11 (t)1Li2(tL2当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功为 p(t)u(t)i(t)Ldi(t)i(收能量，处于充磁状态p(t0时，说明电感是在释放能量，处 i(t对上式从-∞到t进行积分，即得t时刻电 i(twL(t)p()di()Li()di( 1Li2(t)1Li2( 感在时刻t的储能可简化为：关，且储能≥0第3-12 i(0)=0；试求电感上电流i(t)及在t=1s时的储能wL(1)。解：写出u(t)

u(t)

(0t 3 (tt0t0

i(t)L

u()dL

u()dL

tu()d0

i(0)2t3d0tttt

3i(t)L

u()dL

0.5u()d

u()d

i(0.5)

0d

ww(1) (1)0.50.5912L2第3-13 （1）电感元件是动态元件压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压u为有限值压u=0，即电感对直流相当于短路。 也是一 元件 第3-14

uk

1k1

i()d

u=u1+u2 tttttt

i()d

i()dL

i()d

(1

L

) i()d

t t

u1

uCu

11 1 L 1 1 u 212 12CC12第3-15 d d

u

i ik d

i=i1+i2

dud

duLCn dd dd LC)d

k dk∴∴Ceq=C1+C2

Ck

d Ceqd第3-16 d d

u

ukLkd u=u1+

nnd di

diL L1d 2d nd

LLn)d ddd∴Leq=L∴Leq=L1+L2

kuk

uLeqd第3-17 据电容VAR积分形 k u()k ttt i=i1+i2ttt

i

u()d

u()dL

u()d

(1

L

1) u()d

ik

i1

u()d1111L 1Li 212 L12 L12第3-18 第3-19 1应的电路称为tercircuit)程 一阶电路举论t>0时的电容电压uC(t)t>0时，根据KVL方程列出回路电压方程

C CRC串联电uR+uC–uS= du d根据元件的VAR， i d

uRRiRC dduC

代入上式，整理

d

ddd1C1uS令τ=RC，其单位是秒。因为[RC]=[V/A][C/V]=[C/A]=故τ称为时间常数，简称时常数第3-20 动态电路的方例2：图RL电路 开关S闭合 论t>0时的电感电流iL(t)t>0时，根据KCLiR+iL–iS=根 VAR，

Ld d

iR

LLdiL

RL代入上式，整理

d R Rdd1dd1LRLSy’(t)ay(t)bf y’(t)ay(t)bf 第3-21 3、二阶电路

以电 压

uR+uL+uC–uS=根据元件的VAR，d

d d2 d u

Rid

u

d

dt 上式 理

d2uCRduC dt

d

LCuyy”(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b0f第3-22 4、建立动态方程的一般步 第3-23 1、微分方程的经典解一阶和二y(t

程一般形=bf( ”(t)+ay’() )=bf对 上 的系数都是常数高等数学学过，线性常系数微分方程的解 p 即： 解= 通解 特齐次解yh(t：式取决于微 特征方程为s+a=yh(t)=Kest=Ke-at式中K为待定常数

特征根对于二阶微分方程，其特征方程为s2a1sa00，特征根为s1和当s1≠s2时 yh(t)=K1es1t+K2当s1s2syh(t)K1K2式中待定常数K1、K2将在完全解中由初始条件确定第3-24 特解yh(t)：特解具有与激励f(t)相同的函数形式。列表如下：(P99表3-激励f(t函数形特解直常数 Am-1tm- 当α不是特征根 当α是特征单根(A2t+A1 当α是二阶特征根(二阶 路A A 当特解yp(t)的函数形式确定后，将其代入原微分方程中，来求待定常数第3-25 2、举例如图RC电 始电压uC(0)=U0，求t≥0时的uC(t)。解 路 面已d 1 1

d

求齐次解uCh(t)。特征方 s+1/(RC)=其特征 s=-/RC)，

ChKestK

1t

串电求特解uCpt)。∵激励Us为常数，∴特解也是 令uCp(t)=A A 故得特 uCp(t)=A=

1 uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

Ke

US(t中常数K由初试条件uC(0)=U0确定。将该条件代入上uC(0)=K+Us=

,KU0UsuC(t)(U0US)

1t

U ,t第3-26 3、结果分析：固有响应和强迫响1

暂态响应和稳态响uC(t)(U0US)

U

,t固有响固有响式中第二项（即特解）与激励具有相同的函数形式，称为强迫响应第3-27 前面可以看到，求解微分方程时，需要根据给的初其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0)、iL(t0)由电路的初始储能一、换路1、换路

换路后瞬间为：t0

我们解微分方程所需要的初始值实际上是指在我们解微分方程所需要的初始值实际上是指在0第3-28 3、说（） LLCLC换路定律可以从能量的角度来理LLCLC

各处电压电流C由于wC(t)C

(t)、

(t)=

(t)，如果

若电容电流 电感电压若电容电流 电感电压uL在t=为电C电感电流iL是连续的（不发生跃变C(t0+)=i(t0+)=iL(t0-有∞，这在实际电路中是不可能的。但在某些理想情况下，有可能通常t0=0。此时uC(0+)=uC(0- iL(0+)=iL(0-第3-29 基本思路先求出独立初始值，然后再由独立初始值求出非独立初始首先根据换路前电路的具体状况，求出u( -)和iL(0-)。然后 i(-)例电路如图所示，已知t<0 开关S是闭合的，电路已处于稳定。在

解：t 在直流电源作 稳态，此时 、电流 为直 电容可视为 短路。得 -时的等效 ()由图(b)电路容易求得

iL(0-)=8/(2+6)=1uC(0-)=6iL(0-)=6由换路定律得uC(0uC(0-6iL(0+)=iL(0-)=1

S

iL(0-

第3-30 2、非独立初始值的求 态求出后，根据置换定理，在t=0+时刻，将电容用电压等C0+)的电压源替代[若uC(0+)=0时用短路替代 感用电流等iL0)的电流源替代[若iL(0+)=0时用开路替代]，独立源均取t=0+时刻 路,如图(b)。由该电路求得各电流、电压

L

t>0时的原电

第3-31 3、初始值计算举 ()所示， 知<0时，开关 在t=0iR(+)iC(0和uL解(1)计算uC(0-)和iL(0-)。由 t<0时 t= 如图b)。可

2×10/(2+3)=

C(0-)=3iL(0-)=12根据换路定律

uC0)

uC(0 uC(-=2V，i(0+=iL(0-)=计算非 值 关切

2，画出0+等效电路，如图(c)iR(0+)=12/4=iC(0+)=-iR(0+)–4=-uL(0+)=12-3×4=

第3-32 4、初始值计算步骤总结 由=0-时的等 uC0-)和iL(0-)（特别注意：直流稳 当开路）。 根据换 律 始状态u(0)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)画出0+等效电路，利用电阻电路分析方法，求出各非独立初5值。容电压、电感电流发生强迫跃变的情况（了解况下，电容电流和电感电压可以为∞，uC和iL可能强迫跃变。可能情况①换路后，电路中存在有全部由电容组成的回路或由电容和理 电源组成的回，那么，电容压能发生跃变关初始值。q(0+)=q(0-),Ψ(0+)=Ψ(0-)第3-33 一、零输入响

例电图(a所，已t0时开关S是处至位置2，求t≥0时，电容电压uC(t)(零输入

i uC(0

)

(0)

R1R2

SS–uR+uC=0，其中uR=Ri,i=-CduC/dt，故

dd

uC

d

1

式中，τ=RC为时常定外加激励均为定外加激励均为零时，仅由初始状所引起的响应，称为零输响应yx)

3-34

为1uC(t)Ke将初始值uC0)代入，可得 K=uC(0+)，最后

uC(t)uC(0)d

1

R U R1R

1

ii(t)C C e

d

C波形如图(c)、 可见 这一变化过 态过程或过渡过程 (

续的；而电流i(0-)=0，i(0+)=

也满足可加性。这种性质称为零输入性5

暂态过程与时常数τ之间的不同t值对应的

y(t)e τ1>τ2>τt0τt0τ45…∞e01e-1e-2e-3e-4-5…03τ￣5τ的时间后，暂态

10.3680

y(t)eτ

3τ 3-36

知R=4Ω L= .H，US=24 t=0打开，求t≥时的电流iL 其中电压表的内阻RV=10kΩ，量程为100V，问开关打开时，电压表有 解因t0-时，电感相当与短路，故u(0

iL( =iL(0-=Us/R=24/4=6换路后，等效电路如图(b)。由KVL方程uL–u=将uL=LdiL/dt和u=-RVi

Ld

L

dL V

令τ=L/R=10-5s，方程变为diL1 d

iL(t)iL(0)e 6eu(t)=-RViL(t)=-10×103×6t=-60e

3-37

前一

返二、零状态响零时，仅 为零态应，记为yf() 例：电路 ()所示，已知t<0时 关S 已达稳态。在t=0时，开关S开，求t≥0时，电容电压uC(t)

uC 解：t<0时开关闭合，uC( =uC(0)=0，故 为零状态响t≥0时，根据KCL iC+iR由于i=Cdu/dt， =u/R，代入上式

CduC1

d 或写

d

1

1

式中τ=RC，初始值u(0d uC(t)=uCh(t)+

对应的齐次解为uCh(t)K 3-38

前一

返其特解为常 令Cp(t) ，将其代入 方程 1

1IC故得特 uCp(t)=t 解为uC() 态C(0+)=0代入确定K，于是得电路的零状态响

uC(0KRIS，解得K=C ( ) t

物理电容电

d

程：充iCC CISed规律衰减，当达到稳态时，iC(∞)=0。

3-39

前一

返输入响应分量；而外加激励单独作用时[即令uC(00]时定义加态定义加态生响应，称 响应始态（初始储能）全响应零输入响应零状态响应，即y(t)yx(t)

前一

返、三要素的推出由于一阶电路只含一个动态元件，因此，路后，可利 将任何一阶电路简化为如图(a)(b两种形式之根据基氏定律和元件VAR很容易别列出以电容电压uC(t)和电感电 iL(t)为响应的方程，整理后 duC

CSd CSdiLR 1d 若用y(t)表示响应uC或iL，用f(t)表示外加激励uS，则可将上述方程统一表示dy(t)1y(t)bf(t)dt

τ=RC；对RL电路，τ=L/R。 3-41

前一

返y(t)=yh(t)+ Ke-因 y(t)=Ke-t/τ+y( 应y(t) 为 它代入上式y(0+)=K+yp0+)，K=y y(t)=y(t)=[y(0+)-yp(0+)]e-t/τ+yp

dy(t)1y(t)bfd ， 就可直接写出电路的响应y()。当激励f(t)为直流时yp(t)A代入上式，有y(t)y(0A]et/τy[yy[y(0+)(∞)]e-t/τ+=y(0+)tτ+)(1-e-tτ)，t

前一

返二、三要 说 （ 要素：y(0)表示该响应（电压或电流）的 值 表示响应的稳定值，ττ<0时，电路不稳定。但 （5）若初始时刻为t=t0，则三要 y(t)=[y(t0+)-y(∞)]e-(t-t0)/τ+y(∞)，t≥3-43

前一

返三、三要素的计算（归纳步骤（1）先计算uC(0-)和iL(0 然后由换路定律uC(0)=uC(0-)，iL(0+)=（2）画0+等效电 求其它电压 初始值2、稳态值y换路后t→∞时，电路进入直流稳态，此时，电容开路，电感短路。（2）求解该电路得稳态(或平衡）值y(∞)3、时常数对于一阶RC电路，τ对于一阶RL电路，τL这里R0就是换路后从动态元件C或L看进去 等效内阻3-44

前一

返四、举例1如图()所示电 IS= US R1= ，R=6Ω，L=2H，在t<0时电 处

i i iL 解 iL(0+)=iL(0-)=US/R1=（2）画0+等效电路，如图(b)。列节点方

uL(0

11 )186 6u

V，i(

L(0+)

（）画 路，

(c)

显然 uL(∞)=0，i(∞)=iL(∞)=18/3+3=（4）计算时常数τ

τ= R0=3//6=τ=2/2=

3-45

前一

返代入三要 得tiL(t)[iL(0)iL()]eiL()(69)et993tuL(t)[uL(0)uL()]euL()6 ti(t)[i(0)i()] i() ( t

( t3-46

前一

返例2如图6.5所示电路，US=5V，IS =1Ω，R=R=4Ω，C05F，在t<0时开关

t=0 关S 合到“2”，经过2s后，开关S又由“2”到“3”。求t≥0时的电压uC(t)

解 出

。接于1，路流

态 uC0

51

当 ， S接 零输入状态 稳 )=0；时常数τ1=R2C=4×0.5=2(s)，由换 uC(0+)=u(-)V；代 要 uC(t) e-t2(V)，<t (2)=4e-1=当t>2s时，开关S闭合至“3”，由换路定律 此时电路的稳态值uC(∞R2//R3)Is2×24(V)时常数τ2(R2//R3)CuC(t)=4-2.53e-(t-2)(V)，t3-47

前一

返例3如图(a)所示电路，R1=6Ω，R2 R3=3Ω，在t<0时开关S位于“1”，电路已处于 “1”闭合到“2”。求t≥0时的 流iL(t)和电压u(t)的零输入响应和零状态响应解(1)首先求出iL(0-)。S接于1，电路直流感短路，利用分 iL(0+)=iL(0-求解零状态响应iLf(t)和uf(t)零状态响应是初始状态为零，仅由独立源

1iR iR S 0，电感相当于S

Su(0 12S

R3/

1

3 R3

6

R3/R4 0iLf(∞)=uf(∞)/R3=3/3 R0τ=L/R0=

R2R4R2R4

R336iLf(t)=1-e-2t(A)，uf(t)=3+3e-2t(V)3-48

前一

返ux 的响应；故iLx(0+)=iL0)=3A，电压源 路，画出其0+ ，如图(c)所示u(+)=-(R//R4)ix0+)=-3×=-ux(∞0ix∞0，时常数

Lx(t)=3e- A

(t)=-9e- V) 法求出iL(t)的全响应，iLt)=iL(0+)e- 时，可直接从全响应的三要 中把其零输入响应和零状态响应分离出di

d[iLx(t)iLfu(t)=R3iL(t)+

=R3[iLx(t)+iLf(t)] ddd

d ux(tR3iLx(t

L ，uf(t)=d

iLf(t)+ Ld3-49

前一

返例4如图(a)所示电路，在t<0时开关S是断开 已处于稳态。=0时开关S闭合。求

解分析开关S闭合后电路变为两个一电路，先利用三要素法分别求出两个一阶路i1(+i2(t)t=0-时开关断开，电路为直流稳态

2Ω

(0)

(0

uC(0+)=uC(0-)1×iL(0-)=4τ

C=×=2s，τ=/R=2/(2/2+1)

画出换路后的0+ 电路如 d)所示

2(0+) i1(0)=2A，i2(0)= i1(∞0，i2(∞i1(t)=2e-0.5t(A)，i2(t)=1.5-0.5e-t(A)i(t)=i1(t)+i2(t)=2e-0.5t+1.5-0.5e-t(A)

iL(0

3-50

前一

返例5如图(a所电路，在0时t=0时开关S由b点切换至a点。求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t) 解化简路进 等效uC(0+)=uC(0-)=-uC(∞)=

26

5τC=R0C=1×.用三 ， uC ( 回到原电路计算电流i(t)2i(tuC(t–120i(t)12uC(t)17.5e10t(A),t0

3-51

前一

返单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为

ε1

,t该函数在

,t处发生单位跃

形如图()

下的开关动作。如图(b)所示的开关动作，表示在t=0时把电路接入1V直流源u(t)的值，即u(t)=ε(t)电路简画为图(c)

ε 若单位直流电源接入的时刻为t0，则可延迟单位阶跃函数表示，其波形如图(d)

ε(t-1(tt

,t

0 ,t0

3-52

前一

返阶跃函数另一个重要应用是可以简洁地表示某些信如图(a)的矩形脉冲信号，可以看成是图(b)和(c)两个阶跃 之和f(t=Aε(t)- f

2(

1(201(