《高等数学B》 导数、微分、边际与弹性 第6节 边际与弹性

§6

边际与弹性

一、边际的概念定义1设函数y=f(x)在x处可导,则称导数

为f(x)的边际函数.在处的值为边际函

数值.即:当时,x改变一个单位,y改变个

单位.第三章导数、微分、边际与弹性

二、经济学中常用的边际函数1.边际本钱

总本钱函数C(Q)的导数称为边际本钱.也就是说,边际本钱定义为产量增加一个单位时所增加的总本钱.

称为边际平均本钱.

平均成本

的导数例1设某产品的成本函数为求其边际成本,并给出产量为10或100个单位时边际成本的值。

解

在任意产值Q处的边际本钱为因此,在Q=10和Q=100处的边际本钱分别为和这就说明,产量水平不同时,每增加一个单位的产品,总本钱的增加额度不同.当产量为10个单位时,每增加一个单位产品,总本钱增加了34,或者说生产第11个产品的生产本钱为34;当产量为100个单位时,每增加一个单位产品,总本钱增加124,或者说生产第101个产品的生产本钱为124.

2.边际收益

总收益函数R(Q)

的导数称为边际收益,即它是指增加一个单位的销售量所增加的总收益

.设P为价格,且P=P(Q),假设价格函数是可导的,那么这个数学公式的经济学解释是：

(1)如果销售价格P与销售量Q无关,即价格P=P(Q)为常值函数,那么边际收益就等于价格.(2)一般情况下,价格函数为单调减少函数,即因此边际收益小于价格.我们也称价格函数的导数为边际价格.

例2某商品的价格P是销量Q的函数,且求边际价格与边际收益,并作经济学解释

.

解

边际价格为假设设销量的单位是件,价格的单位是元,那么边际价格的经济学解释为多售出一件商品价格减少元。

收益函数为那么任意销量Q处的边际收益为由于这些数值说明:

(

此时总收益为销售第81件商品时收益增加36.8元

;

销售第

1201

件商品时收益减少了

.销售第

31

件商品时收益增加

38.8元

;

3.边际利润

总利润函数L(Q)的导数为边际利润.即它表示已生产了Q单位的产品,假设再生产一个单位产品所增加的总利润。即有

根据L(Q)=R(Q)–C(Q)可得下述关系成立边际利润=边际收益—边际本钱例3设利润函数为

(L的单位为元

,Q的单位为吨),

试确定每月生产20吨,25吨,35吨的边际利润.解

边际利润

则上述结果说明:当产量为每月20吨时,再增加一吨产量,利润将增加

50元;当产量为每月35吨时,再增产一吨,利润将减少100元.当产量为每月25吨时,再增加一吨,利润不增加;

4.边际需求与边际供给需求函数Q=f(P)的导数称为边际需求.即价格为P时,需求量的变化率,也即价格增加(减少)一个单位,需求增加(减少)的量.供给函数Q=

(P)的导数称为边际供给.例4已知需求函数为则边际需求为多少?P=8时的边际需求如何?解边际需求为这说明:当P=8时价格上涨(下跌)

1

个单位,需求将减少(增加)4个单位.5．最大利润原那么根据极值存在的有关结论,有最大利润原那么:由于总利润为L(Q)=R(Q)–C(Q),

L(Q)取得最大值的必要条件为即也即,取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本.L(Q)取得最大值的充分条件为例5某产品的需求函数为本钱

函数为求产量为多少时总利润最大?解由f(P)=50–5P解出由于收益函数那么边际利润为

令其为零可解出Q=20.

因此Q=20时总利润最大。例6某商店以每件10元的进价购进一批衬衫,并设此种商品的需求函数为Q=80–2P.问该商店应将售价定为多少,才能获得最大利润?最大利润是多少?收益函数R=PQ=P(80–2P),本钱函数等于需解

求量乘以进价为C(P)=Q

10=10(802P),因此则

令其为零可解出P=25

,而

因此

,P=25元时

L

最大,此时L(25)=450(元).

三、弹性的概念

前面学习过的函数值改变量

y和函数的变化率是绝对改变量和绝对变化率。

从实践中我们体会到,仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率是不够的.例如,商品甲、乙的单价分别为

10

元和

1000

元,它们各涨价

1

元,尽管绝对改变量一样,但各与其原价相比,两者涨价的百分比却有很大的不同:商品甲涨了10,而商品乙仅涨了

.因此有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.定义

2设函数y=f(x)

在点处可导.函数值的相对改变量与自变量的相对改变量的比称为函数

y=f(x)

从到两点间的弹性.

而极限

即称为函数y=f(x)在点处的弹性

,或称为函数y=f(x)

在点处的相对变化率

,记为或对任意一点

x

,我们定义弹性函数为函数f(x)在点

x

的弹性反映随着自变量

x

的变化f(x)变化幅度的大小,也就是f(x)对

x

变化的强烈度或灵敏度.例如,表示在点

x

,当

x

产生

1

的改变时,f(x)

近似地改变了例7求函数的弹性及解

因为那么

由弹性的定义

这样,弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比.为了加深对弹性的了解,我们就如下几个方面作一些讨论.

1.常见函数的弹性(a,b,c,为常数)

(1)常数函数f(x)=C的弹性

(2)线性函数f(x)=ax+b的弹性

(3)幂函数

的弹性

(4)指数函数

的弹性

(5)对数函数

的弹性

(6)三角函数的弹性

2.弹性的四那么运算:3.函数弹性的图解方法函数y=f(x),由定义,弹性应为边际函数与平均函数之比,而边际函数的几何意义为y=f(x)所示曲线上各点的切线斜率,即又平均函数为,因而假设我们仅考虑弹性的绝对值,那么因而,如果我们知道了一条函数y=f(x)

所示的曲线,则在曲线上任一点

A处对应的弹性,只要通过

A作曲线的切线

AB

和线段

OA

,就可得夹角和,进而就可求

得

四、经济学中常见的弹性函数

1.需求的价格弹性

当弹性定义中的y被定义为需求量时就是需求弹性.

所谓需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反响程度.用公式表示为例8某需求曲线为

Q=–100

P+3000

,求当

P=20

时的弹性

.

解

因为当

P=20

时,Q=1000

,所以

需求的价格弹性计算出来的结果总是负值,本章为了讨论方便,取其绝对值.另外,在实际应用中,也常用符号

表示,即

(一)几种特殊的价格弹性

不同的商品,其需求的价格弹性是不同的.即使是同一种商品,在不同的价格水平下,其需求的价格弹性也不一样.从理论上来说,有以下四种特殊的需求弹性:

(1)需求的价格弹性等于0.

也就是说,这种商品完全没有弹性,不管价格如何变,其需求量都不发生变化.显然完全符合这种情况的商品是没有的,然而近似符合这种情况的商品还是存在的.例如,在一定范围内消费者对食品的需求,对生活用品的需求等.这种商品的需求曲线的图形是一条垂直的直线(如右图);POQD

(2)需求的价格弹性为无穷大.

它说明商品在一定价格条件下,有多少就可以卖掉多少;然而想把价格稍微提高一点点,就可能一个也卖不掉.这种商品的需求曲线为一条水平的直线(如右图);POQD

(3)单位弹性.即需求曲线上各点的弹性均为1.也就是说,在任何价格水平下,价格变动一个百分比时,需求量均按同样的百分线是一条双曲线(如右图);POQD

(4)需求曲线是一条倾斜的直线(如右图).这里,需求曲线上各点的弹性都是变化的.POQBAM在其上端点(A),

在其下端点(B),

需求曲线的中点(M),

需求曲线的AM局部,称之为弹性需求;需求曲线的MB局部,称之为非弹性需求.

例9设某产品的需求函数为Q=100–2P,0≤P≤50,其中

P

为价格,Q为需求量:(1)当P=10,且价格上涨1%时,需求量Q是增加还是减少,变化百分之几?(2)讨论商品价格变化时,需求量变化的情况

.

解

(1)需求弹性

故由于P和Q是按相反方向变化的,在P=10,且价格上涨1%时需求量Q那么减少%%.(2)当0

<

<

1,即时,因P≥0,故50–P

>0,从而P

<

50–

P,即P

<

25,因而当价格

P在0与25之间变化,且上涨(下降)1%时,需求量减少(增加)%,小于价格上涨(下降)的百分比(因

<

1);

当=1,有P=25,这说明当P=25时,需求量的变动与价格变动按相同的百分比进行;当>1,显然得P>

25,于是当25<P<50且价格P上涨(下降)1%时,需求量减少(增加)%,大于价格上涨(下降)的百分比(因>1).

(二)需求弹性与总收益(市场销售总额)的关系

总收益

R=P

·

Q=P

·f(P)边际总收益

(1)假设<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度.此时边际收益大于零,即价格上涨,总收益增加,价格下跌,总收益减少;(2)假设>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.此时,边际收益小于零,即价格上涨,总收益减少,价格下跌,总收益增加;(3)假设=1需求变动的幅度等于价格变动的幅度.此时,边际收益等于零.即总收益保持不变.综上所述,总收益的变化受需求弹性的制约,随商品需求弹性的变化而变化,其关系如以下图所示.2.供给弹性供给弹性,通常指的是供给的价格弹性.设供给曲线Q=f(P),那么供给弹性式中为供给的价格弹性

.

例10设某产品的供给函数为Q=2+3P,求供给弹性函数及当P=3时的供给弹性.解

当

P